Đề thi học kỳ 2 chuyên toán 11 năm học 2015 – 2016 thời gian: 90 phút

ĐỀ THI HỌC KỲ 2 CHUYÊN TOÁN 11 NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian: 90 phút
Câu 1 (1,5 điểm).Tìm tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn .
Câu 2 (2,5 điểm) Cho hàm sô 
Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (3,0 điểm). 
Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Câu 4 ( 2,0 điểm).
Tìm hệ số của trong khai triển biết rằng là số tự nhiên thỏa mãn
.
 b. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?
Câu 5 ( 1,0 điểm). Tìm GTLN – GTNN của hàm số
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,5 điểm).
a) Tìm tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn .
	b) Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện .
Câu 3 (1,5 điểm). 
 Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (1,5 điểm). 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm của cạnh là điểm, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh đi qua điểm và đường thẳng chứa cạnh đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng điểm đối xứng của đỉnh qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm .
Câu 5 (1,5 điểm). 
 Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
.
----------Hết---------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh 	.Số báo danh.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT
(Gồm 06 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,5 điểm)
Nội dung
Điểm
a) 1,0 điểm
Ta có 
0,25
 . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 có hai nghiệm thoả mãn 
0,25
.
0,25
Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 
0,25
b)
1,5 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Đặt 
0,25
Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .
0,25
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có .
0,25
Tiếp tuyến tại có hệ số góc là 
Ta có 
0,25
Dấu bằng xẩy ra 
0,25
Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
0,25
Câu 2. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
a) Giải phương trình:
1,0 điểm
 Phương trình 
0,25
0,25
0,25
Vậy phương trình có một họ nghiệm 
0,25
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện .
1,0 điểm
Ta xét 4 trường hợp sau:
TH1. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 3 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH2. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH3. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH4. 
Số các số thỏa mãn là .
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
0,25
Câu 3. (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Điều kiện 
0,25
Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 
0,25
Thay vào ta được phương trình: 
Phương trình 
0,25
Từ là một nghiệm của hpt. 
0,25
Từ phương trình vô nghiệm do 
0,25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
0,25
Câu 4 (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Gọi là trực tâm của tam giác , ta chứng minh được là hình bình hành nên là trung điểm của suy ra . Đường thẳng có vtcp là vtpt là .
0,50
Do nên vtpt của là 
Do nên vtpt của là .
0,25
Do là giao của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
0,25
Do là trung điểm của nên . Vì vuông góc với nên có vtpt là 
Do là giao điểm của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
. 
0,25
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là 
0,25
Câu 4 (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Ta thấy là hình thoi, tam giác cân tại suy ra 
0,50
Gọi là giao điểm của và , ta thấy 
Suy ra nên vuông tại .
Xét ta có 
0,25
Thể tích 
0,25
Gọi là trung điểm của nên 
Suy ra 
Thể tích (1).
0,25
Ta có ( sử dụng công thức đường trung tuyến)
Theo định lý hàm số cosin trong ta có 
Vậy (2).
Thay (1), (2) vào ta được .
0,25
Câu 6. (1,0 điểm)
Nội dung
Điểm
1,0 điểm
 Không mất tổng quát giả sử . Mà 
0,25
 Nhận xét ta có bất đẳng thức thật vậy 
 ( đúng )
 ( do ). Đặt mà 
0,25
Áp dụng ta có 
Xét hàm số 
Có đạo hàm , 
0,25
 Lập Bảng biến thiên 
Dấu bằng khi và chỉ khi 
 Vậy nếu thỏa mãn , thì dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
0,25
. Hết.
Nội dung
Điểm
Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 
Điều kiện xác định 
0,5
0,5
0,5
Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là 
0,5
Vì 
0,5
Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn gồm 2014 nghiệm lập thành một cấp số cộng có công sai 
Tổng các nghiệm là 
0,5
Câu 2 (6,0 điểm).
1 (3,0 điểm). Tìm hệ số của trong khai triển biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 
0,5
Từ giả thiết suy ra n=1007
0,5
Xét khai triển
1,0
Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn
0,5
Vậy hệ số của x4 trong khai triển là 
0,5
 2.(3,0 điểm). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?
Gọi số cần tìm là với 
Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có cách. Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 3 vị trí còn lại có 3! Cách. Vậy có tất cả số.
1,0
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho 4.
Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi trường hợp có cách sắp xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho 4.
0,5
Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4”
Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là 
0,5
Số phần tử của không gian mẫu là 
0,5
Xác suất của biến cố A là 
0,5
Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số xác định như sau: 
Đặt . Tìm 
1,0
0,5
0,5
1,0
Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
ABMD, ACND là hình bình hành suy ra 
1,0
Xét phép tịnh tiến theo vectơ 
Suy ra , suy ra OI = AD = R. Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm (O,R).
1,0
Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh . Gọi I là tâm của hình vuông CDC’D’, K là trung điểm của CB.
a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). Tính diện tích của thiết diện theo .
b.Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’. 
a. (4, 0 điểm). Gọi J là giao điểm của AK và CD.
Q là giao điểm của JI và CC’; N là giao điểm của IJ và DD’.
Thiết diện là tứ giác AKQN.
Chứng minh được AKQN là hình thang có 2 đáy là KQ, AN.
1,0
Chứng minh được C là trung điểm của JD, K là trung điểm JA, Q là trung điểm của JN.
1,0
Tính được 
1,0
1,0
B (2,0 điểm).
Vì A’D’//AD nên góc tạo bởi A’D’, AQ bằng góc tạo bởi AQ, AD
0,5
Tính được 
1,0
0,5