Đề thi giao lưu học sinh giỏi khổi 8 môn Toán năm học 2013 – 2014

PHÒNG GDVÀ ĐT 
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỔI 8
MÔN TOÁN. NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:( 6 điểm)
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
b. Giải phương trình: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 2: (6điểm)
1. Cho biểu thức: 
 	a. Rút gọn biểu thức A. 
 	b. Tính giá trị của A , Biết |x| =.
 	c. Tìm giá trị của x để A < 0.
 	d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
2. Tìm số dư trong phép chia của đa thức:
 (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 cho đa thức x2 +10x +21
Câu 3: (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM Cùng đi qua 1 điểm.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4: (2 điểm)
 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và a2010 + b2010 = a2011 + b2011 = a2012 + b2012 
 Tinh: S= a2013 + b2014
PHÒNG GDVÀ ĐT 
HD CHẤM THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI KHỔI 8
MÔN TOÁN. NĂM HỌC 2013 – 2014
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
a. * x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 * ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(1 điểm)
 (1 điểm)
b. (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
Vậy tập nghiệm của phương trình: 
(0.5 điểm)
(0.5 điểm)
(1 điểm)
c. Nhân cả 2 vế của: 
với a + b + c; rút gọn đpcm	
(2 điểm)
Câu 2
(6 điểm)
Biểu thức: 
a. Rút gọn được kq: 
(1 điểm)
b. hoặc 	
 hoặc 
(1 điểm)
c. 
(1 điểm)
d. 
(1 điểm)
2,Tìm số dư trong phép chia của đa thức:
(x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 cho đa thức x2 +10x +21
Đặt P(x) = (x + 2)(x + 4)(x+ 6)(x + 8) + 2012 
 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 24) + 2012
Đặt (x2 + 10x + 21) = t
 Ta có: P(x) = (t - 5)(t + 3) + 2012 = t2 – 2t + 1997
Vậy số dư của phép chia là 1997 
(1 điểm)
(1 điểm)
Câu 3
(6 điểm)
(1 điểm)
a. Chứng minh: 	
 đpcm
(2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(2 điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 không đổi
 lớn nhất (AEMF là hình vuông)
 là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Câu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
(1 điểm)
b. (a2011 + b2011).(a+ b) - (a2010 + b2010).ab = a2012 + b2012
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Vì a = 1 => b2010 = b2011 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2010 = a2011 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2013 + b2014 = 2
(1điểm)