Đề thi giao lưu học sinh giỏi huyện Tam Dương năm học 2010-2011 môn: Toán 7

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT
KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
Năm học 2010-2011
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1. (2,5 điểm)
a) Tính giá trị 
b) Tìm x biết 
c) Tìm x thỏa mãn 
Bài 2. (3 điểm)
a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn: 
Bài 3. (2,5 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Tìm số có bốn chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) là hai số nguyên tố;
ii) + c = b2+ d.
 Bài 4. (2 điểm)
Cho tam giác ABC có < 900 và . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D.
a) Chứng minh rằng: DA = DC.
b) Chứng minh rằng: AE = HC.
.HẾT..
	Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
	Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:.....................
UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT
HDC THI GIAO LƯU HSG 
Năm học 2010-2011
Môn: Toán 7
(HDC gồm 03 trang)
Bài 1. (2,5 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
a)
(1đ)
Ta có A = 1000 - {(-125).(-8) – 11.[49 – 40 + 8. (121 – 121)]}
	 = 1000 - [1000 – 11. (9 + 8.0)]
	 = 1000 – (1000 – 11. 9)
	 = 99
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
(0,75đ)
Ta có 
Vậy x = 0; -4
0,25
0,25
0,25
c)
(0,75đ)
- Nếu x > 11 hoặc x 1 hoặc x – 11 < -1. Suy ra (loại)
- Nếu 10 < x < 11 thì 0 < x – 10 < 1, 0 < 11 – x <1. Suy ra . Do đó 
Suy ra (loại)
- Nếu x = 10 hoặc x = 11 thỏa mãn
Vậy x = 10; 11
0,25
0,25
0,25
Bài 2. (3 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
a)
(1,5đ)
Gọi hai số phải tìm là x và y (x > 0, y > 0 và x y)
Theo đề bài ta có: 35.(x + y) = 210.(x - y) = 12x.y
Chia các tích trên cho BCNN của 35, 210, 12 là 420 ta được:
hay (1)
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Từ (1) và (2) ta có: 
Vì x > 0; y > 0 nên 7y = 35 Þ y = 5; 5x = 35 Þ x = 7
Vậy hai số phải tìm là 7 và 5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
(1,5đ)
Do x, y, z khác 0 nên 
Suy ra 
Do đó , t ≠ 0
Ta có
Suy ra (do t ≠ 0)
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3. (2,5 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
a)
(1đ)
Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 5 Þ y(3x – 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x – 2
Þ 9.(x2 + 5) chia hết cho 3x – 2
Þ 9.x2 + 45 chia hết cho 3x – 2 Þ 9.x2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
Þ 3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
Þ 49 chia hết cho 3x – 2 Þ 3x – 2 Î 
Þ 3x Î Þ x Î 
Thay x lần lượt vào (1) ta được y Î 
Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
(1,5đ)
Do là các số nguyên tố nên b và d lẻ khác 5 (1)
Mặt khác từ điều kiện ii) ta có 9d + c = b(b-1)	(2)
Có 9d + c 9 nên từ (2) suy ra b >3 mà b lẻ b = 7; 9
+ b = 7 9d + c = 42 3 < d 4 trái với (1)
+ b = 9 9d + c = 72 6 < d 8 mà d lẻ d = 7
Thay vào điều kiện (2) được c = 9. 
Do là các số nguyên tố nên a chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 1; 2; 5; 7; 8 hoặc 1; 3; 4; 6; 9. Suy ra a = 1 và , thử lại thấy đúng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4. (2 điểm)
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
a)
(1đ)
a) Ta cóBEH cân tại B Þ ÐBEH = ÐBHE
Ta có ÐABC = 2. ÐBHE = 2. ÐDHC mà ÐABC = 2. ÐACB Þ ÐDHC = ÐDCH (1)
Suy ra DCH cân tại D nên DH = DC
Xét ACH: ÐCAH + ÐDCH = 900, ÐCHD + ÐDHA = 900 (2).
Từ (1), (2) suy ra ÐDAH = ÐDHA, do đó DAH cân tại D, suy ra DA = DC.
0,25
0.25
0,25
0,25
b)
(1đ)
b) Lấy B’ đối xứng với B qua H, suy ra ABB’ cân tại A (AH là trung trực của BB’) 
Þ AB = AB’, B’H = BH, ÐAB’H = ÐABC.
Ta có ÐAB’H = ÐABC = 2. ÐC = ÐC + ÐCAB’ ÞÐC = ÐCAB’, do đó B’AC cân tại B’ nên B’A = B’C
Vì AB < AC nên AB’ = AB < AC nghĩa là B’ ở giữa H và C nên HC = HB’+B’C = HB + AB’ = BE + AB = AE
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý:
- Trên đây chỉ là một cách giải, HS nếu giải theo cách khác mà đảm bảo tính khoa học và chính xác thì vẫn cho điểm tối đa.
- Bài hình, nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ quá sai lệch thì không cho điểm.
- Các điểm thành phần chấm đến 0,25đ. Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu và không làm tròn.