Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2015 - 2016 môn: Toán lớp 11 thpt – vòng 2

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
 Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC	 Môn: TOÁN
 LỚP 11 THPT- VÒNG 2
SỐ BÁO DANH:. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
 Đề gồm có 01 trang
Câu 1(3.0 điểm)
Giải phương trình: 
Chứng minh rằng phương trình (ẩn x)
luôn có nghiệm, biết , và là hai số thực bất kì.
Câu 2(2 điểm)
 Cho dãy số xác định bởi : Tìm 
Câu 3(2.5 điểm)
 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC; IJ cắt (O) tại M (khác A). Gọi N là điểm chính giữa của cung ; NI và NJ lần lượt cắt (O) tại S và T.
Chứng minh M là trung điểm của IJ.
Chứng minh IJ, BC và TS đồng quy.
Câu 4(1.5điểm)
 Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kỳ một cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.
Câu 5(1.0điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương.
 HẾT
 SỞ GD& ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11.
 NĂM HỌC 2015 - 2016
	 Môn thi: Toán (VÒNG2)
	 (Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016) 
	 HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 5 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
Nội dung
Điểm
1a
Giải phương trình: .
2.0
điểm
ĐK : 
Phương trình tương đương với
0,5
 0,25
0,25
Giải phương trình 
Đặt 
Ta có hệ phương trình 
0,25
0,25
Giải hệ
Với a=0, b=1 ta được x=1 là nghiệm của phương trình
0,5
Đáp số : x=0 và x=1.
1b
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, biết , và là hai số thực bất kì.
1,0 điểm
Xét hàm số liên tục trên 
Nếu thì phương trình có nghiệm 
0,25
Nếu hoặc , không mất tính tổng quát giả sử khi đó
0,5
Vậy phương trình luôn có nghiệm.
0,25
2
Cho dãy số xác định bởi và 
Tìm 
2,0 điểm
Ta chứng minh 
Ta có 
Giả sử khi đó 
0,25
Từ 
Do đó là dãy tăng
0,25
Giả sử bị chặn trên suy ra tồn tại 
Chuyển qua giới hạn ta được.
 (vô lý) , do đó 
0,5
Ta có.
Nên 
0,25
 ( vì )
0,5
 vì 
0,25
Đáp số : 
3
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi (J) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC; IJ cắt (O) tại M(khác A). Gọi N là điểm chính giữa của cung ; NI và NJ lần lượt cắt (O) tại S và T.
Chứng minh M là trung điểm của IJ.
Chứng minh IJ, BC và TS đồng quy.
2,5 điểm
(Hình vẽ đến câu 3a cho 0,25)
0,25
3a
Ta có: 
0,25
0,25
Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBI cân tại M, do đó MI=MB=MC (3)
0,25
Hơn nữa tứ giác IBJC nội tiếp đường tròn đường kính IJ (4)
Từ (3) và (4) suy ra M là trung điểm của IJ.
0,25
3b
Ta có 
Mặt khác và 
Từ (*) và (**) suy ra 
Do đó tứ giác JTIS nội tiếp đường tròn (O1)
0,5
Hơn nữa tứ giác IBCJ nội tiếp đường tròn (O2) có đường kính IJ.
0,25
Ta thấy IJ là trục đẳng phương của (O1) và (O2); BC là trục đẳng phương của (O2) và (O), TS là trục đẳng phương của (O) và (O1)
Theo tính chất tâm đẳng phương của ba đường tròn có tâm không thẳng hàng O, O1 và O2 suy ra IJ, BC và TS đồng quy.
0,5
4
Xác định số cách chọn bộ 100 số từ tập hợp 2016 số nguyên dương đầu tiên sao cho bất kỳ một cặp 2 trong 100 số được chọn có hiệu số giữa số lớn và số bé lớn hơn hoặc bằng 2.
1.5 điểm
Gọi là tập hợp tất cả các bộ 100 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Kí hiệu B là tập hợp các bộ 100 số phân biệt của 1917 số nguyên dương đầu tiên
0,25
Ta xét ánh xạ theo quy ước sau
 trong đó 
0,25
Vì  
0,25
0,25
Như vậy với mỗi phần tử thuộc ứng với duy nhất một phần tử thuộc qua ánh xạ 
tương tự với mỗi phần tử luôn tồn tại duy nhất để 
0,25
Do đó f là một song ánh nên số phần tử của A bằng số phần tử tập B
. 
Đáp số : 
0,25
5
Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là số chính phương
1.0 điểm
là số chính phương khi và chỉ khi 
Xét khi đó ( thỏa mãn)
0,25
Xét khi đó từ , suy ra m lẻ và 
Ta có
0,25
Đặt 
Khi đó ta có mọi thì và 
Mặt khác vì lẻ nên chẵn
Hơn nữa suy ra và 
0,25
Thế vào ta được 
Thử lại thỏa mãn
Đáp số: .
0,25