Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán ; lớp: 9 thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập –Tự do –Hạnh phúc
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN ; LỚP: 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi chính thức
Câu 1: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng: 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n 24 với mọi n Î Z
b) Tính: sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750 
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng: với n Î N* 
Áp dụng: Cho 
Chứng minh rằng 18 < S < 19
Câu 3: (4điểm)
Giải phương trình: 
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
Câu 4: (4 điểm) 
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết ; 
AC = 5,3 cm ; BD = 4 cm Tính diện tích tứ giác ABCD (làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân)
Câu 5: (4 điểm) 
 Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng: AC.cosA = BC.cosC
- Hết -
Họ và tên: .....................................................................
Số báo danh: .................................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi : TOÁN - LỚP 9
Đề thi chính thức
Nội dung
Điểm
Câu 1: a) 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n = n(3n3 – 14n2 + 21n – 10) 
= n(3n3 – 3n2 – 11n2 + 11n + 10n – 10) 
= n(n – 1)(3n2 – 11n + 10)
= n(n – 1)(3n2 – 6n – 5n + 10)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 5)
= n(n – 1)(n – 2)(3n – 9 + 4)
= 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + 4n(n – 1)(n – 2)
 Mà n, n – 1, n – 2, n – 3 là 4 số nguyên liên tiếp nên có hai số chẵn liên tiếp, một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên n(n – 1)(n – 2)(n – 3) 8
 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) 24 
Mặt khác: n, n – 1, n – 2 là 3 số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 nên n(n – 1)(n – 2) 6
 4n(n – 1)(n – 2) 24 
Vậy 3n4 – 14n3 + 21n2 – 10n 24 với mọi n Î Z
2 đ
b) sin2150 + sin2250 + sin2350 + sin2450 + sin2550 + sin2650 + sin2750 
= (cos2750 + sin2750) + (cos2650 + sin2650) +(cos2550 + sin2550) + sin2450 
= 1 + 1 + 1 + = 
2 đ
Câu 2: Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2đ
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:
Vậy 18 < S < 19
2 đ
Câu 3: 
x4 – 2x3 + 4x2 – 3x – 10 = 0
Û x4 + x3 – 3x3 – 3x2 + 7x2 + 7x – 10x – 10 = 0
Û ( x + 1) ( x3 – 3x2 + 7x – 10) = 0
Û ( x + 1) ( x3 – 2x2 – x2 + 2x + 5x – 10 ) = 0
Û ( x + 1) ( x – 2) ( x2 – x + 5) = 0 (*)
Vì x2 – x + 5 = (x – )2 + > 0 
Nên (*) Û ( x + 1) (x – 2) = 0
 Û x = – 1 hoặc x = 2
Vậy S = { –1 ; 2 }
4 đ
Câu 4: 
Vẽ BH ^ AC ; DK ^ AC. Đặt 
Xét tam giác vuông HOB có BH = OB.sina. Xét tam giác vuông KOD có DK = OD sina.
SABCD = 10,0 (cm2)
4đ
Câu 5: 
Vẽ EF ^ BH thì 
DHOC DFOE Þ 
Vì nên 
Do đó 
Xét DHAB vuông có AH = AB.cosA ;
Xét DHBC vuông có CH = BC.cosC 
Thế vào (1) ta được
AB.BC.cosC = AC.AB.cosA hay BC.cosC = AC.cosA 
4đ
TỔNG