Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 7 - Năm học 2021-2022

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
Năm học: 2021 - 2022
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (6,0 điểm).
1. Thực hiện phép tính
 	a) 	 	b) 
2. Tìm x biết
a) 	b) 
3. Tính tổng: 
Câu 2 (3,0 điểm). Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh của mỗi tổ.
Câu 3 (3,0 điểm).
1. Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện: 
x. f(x+1) = (x+2). f(x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1.
2. Tìm số tự nhiên chia hết cho 7 có ba chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 14.
Câu 4 (6,0 điểm). 
1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC tại H. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:
a) BA = BH
b) DBK=450
c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK.
2. Hai Robot cùng xuất phát từ một vị trí A, đi theo hai hướng tạo với nhau một góc 900. Robot 1 đi với vận tốc 2 m/s, Robot 2 đi với vận tốc 1,5m/s. Hỏi sau 10 giây hai Robot cách nhau bao nhiêu mét?
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
------------------------Hết------------------------
Họ và tên thí sinh: 	.......... SBD: 	
Giám thị 1:	 Giám thị 2: 	
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học: 2021 - 2022
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
I. Hướng dẫn chung:
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết:
Câu
Đáp án
Điểm
1
(6.0 điểm)
1.a. (1.0 điểm)
0.25
0.5
0.25
1.b. (1.0 điểm)
0.25
0.25
0.25
0.25
2.a. (1.5 điểm)
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2.b. (1.5 điểm)
ĐK: 
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3. (1.0 điểm)
0.5
0.25
0.25
2
(3.0 điểm)
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z (học sinh)
ĐK: 
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2 
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh.
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.75
0.25
3
(3.0 điểm)
1. (1.5 điểm)
Ta có: x. f(x+1) = (x+2). f(x) với mọi x (1)
Thay x = 0 vào (1) ta được: 0. f(1) = 2. f(0)
Do đó 0 = 2. f(0) nên f(0) = 0
Khi đó: 0 là một nghiệm của f(x)
Thay x = -1 vào (1) ta được: -1. f(0) = 1. f(-1)
 Nên -f(0) = f(-1)
Mà f(0) = 0 => f(-1) = 0
Khi đó: -1 là một nghiệm của f(x)
Vậy đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và -1
0.25
0.2 5
0.25
0.25
0.25
0.25
2. (1.5 điểm)
Ta có: 
 ó 
 ó 
 ó (1)
Theo đề bài ta có: a + b + c =14
 (2)
Từ (1) và (2): 
 ó 
Mà b , c 
TH1: b – c = 7 có:
c
0
1
2
b
7
8
9
a
7
5
3
TH2: b – c = -7 có:
c
7
8
9
b
0
1
2
a
7
5
3
TH3: b – c = 0 có:
c
6
5
4
3
b
6
5
4
3
a
2
4
6
8
Vậy tất cả có 10 số thoả mãn là: 770; 581; 392; 707; 518; 329; 266; 455;644; 833.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
(6.0 điểm)
1. ( 4.0 điểm)
-Vẽ hình đúng
1.a. (1.0 điểm)
Xét vuông ABD và vuông HBD có: 
BD chung
 ( Do BD là tia phân giác của góc B)
Do đó ABD = HBD (cạnh huyền – góc nhọn)
0.5
0.5
1.b. (1.5 điểm)
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK, cắt EK tại I
 (khoảng cách giữa hai đường thẳng song song)
Ta có: 
Suy ra BH = BI
Xét vuông HBK và vuông IBK có
BH = BI (cmt)
BK chung
Suy ra: (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
mà (cmt) 
Lại có BI // AE ( Vì cùng ⊥ IE) mà AB ⊥ AE suy ra AB ⊥ BI 
Do đó: 
0.5
0.5
0.5
1.c. (1.5 điểm)
Từ ABD = HBD (cmt) suy ra: AD = DH
Từ HBK = IBK (cmt) suy ra: HK = KI
Do đó: KD = DH + HK = AD + KI 
Chu vi tam giác là : 
= AE + IE 
 = 2. AB = 2.4 = 8 cm
0.25
0.25
0.5
0.5
2. (2.0 điểm)
*) Hình vẽ minh họa bài toán:
*) Mô tả bài toán: Tam giác ABC vuông tại A
+ Điểm A là vị trí lúc đầu của hai Robot.
+ AC là quãng đường Robot 1 đi được sau 10s
+ AB là quãng đường Robot 2 đi được sau 10s
+ BC là khoảng cách của hai Robot sau 10s
*) Lời giải:
Sau 10s Robot 1 đi được quãng đường dài là AC = 10.2 = 20m
Sau 10s Robot 2 đi được quãng đường dài là AB = 10.1,5 = 15 m
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có 
BC2 = AB2 + AC2 = 202 + 152 = 625 suy ra BC = 25
Vậy sau 10s hai Robot cách nhau 25m.
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
5
(2.0 điểm)
Cách 1: Ta biết rằng một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. 
Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9
Khi đó, tổng của chúng bằng : 
 là số chính phương
0.5
1.0
0.5
Cách 2: Nếu một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó 
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M phải chia hết cho 4
Nên 2 chữ số tận cùng của M phải là : 16, 36,56,76, 96.
Từ đó ta có:
 là số chính phương
0.5
0.5
0. 5
0.5
----------------------Hết----------------------