Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2021-2022 (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2021 - 2022
MÔN:TOÁN 8
Thời gian làm bài:150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01trang)
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2- 3x - 28
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
2. Cho biểu thức: . 
a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. 	
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (4,0 điểm).
1.Giải phương trình: (4x+3)3- (2x-5)3 = (2x+8)3	
2.Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Câu 3(4,0 điểm).
1. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
2.Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Câu 4(6,0 điểm).
Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MBMD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H. Chứng minh rằng:
a) .
b) Các đường thẳng đồng quy.
c) Diện tích tứ giác và diện tích tứ giác là bằng nhau.
Câu 5(2,0 điểm).
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x2 + 4y2 = 6x + 13
-----------------------Hết------------------------
Họ và tên thí sinh: 	.......... SBD: 	
Giám thị 1:	 Giám thị 2: 	
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2021 - 2022
MÔN:TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05trang)
I. Hướng dẫn chung:
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết:
Câu
Đáp án
Điểm
1
(4,0 điểm)
1. ( 2,0 điểm): 
a) 1,0 điểm
x2 – 3x – 28 
= x2 – 7x + 4x – 28 
0,5
= x(x - 7) + 4(x - 7)
0,25
= (x - 7)(x + 4)
0,25
b)1,0 điểm
 x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + 6x3 + 9x2 – 2x2 - 6x + 1 
0,5
= (x2 + 3x)2 – 2(x2 + 3x) + 1
0,25
= (x2 + 3x - 1)2
0,25
2. (2,0 điểm).
a. 1,5 điểm
+ A xác định Û
Vậy ĐKXĐ : 
0,5
+ Rút gọn A:
0,25
0,25
0,25
0,25
b) ( 0,5 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
* Î Z Û x +1 2x Þ 2x + 2 2x Mà 2x 2x
Þ 2 2x Þ 1 x Þ x = 1 hoặc x = -1 
0,25
* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) 
Vậy A= Î Z Û x = 1 hoặc x = -1
0,25
2
(4,0 điểm)
1. (2,0 điểm)Giải phương trình: (4x+3)3- (2x-5)3 = (2x+8)3	
Ta thấy 
Đặt ; . Ta được pt
0,5
0,5
0,75
KL : Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 
0,25
2. (2,0 điểm)
 Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Có: (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b
0,25
Áp dụng (*) , có: 
; 
0,25
Suy ra: 
0,25
0,25
 (vì a + b = 1)
0,25
Với a, b > 0, chứng minh (vì a + b = 1)
Dấu “=” xảy ra khi a = b
suy ra: 
0,25
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khi 
0,25
3
(4,0 điểm)
1. (2,0điểm). Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức .
Có:
0,75
Đặt , biểu thức P(x) được viết lại
0,5
0,5
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 2000
0,25
2.(2,0 điểm).Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
Đặt b + c - a = x (x > 0); c + a -b = y (y > 0); a + b – c = z (z > 0) 
 Từ đó suy ra a = 
0,75
=>A = 
0,5
Áp dụng bất đẳng thức : (với a>0, b >0)
(Thật vậy 
 ( luôn đúng với a,b > 0))
0,5
Từ đó suy ra A hay A
0,25
4
(điểm)
a. (2,0 điểm). Chứng minh: 
Chứng minh được: 
0,5
Chứng minh được: 
Do đó 
0,5
Suy ra (Định lý Ta - lét đảo trong tam giác ABC)
0,5
Chứng minh tương tự ta có 
0,25
0,25
b. (2,0 điểm). c/m các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy
- Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q; 
N là giao điểm của AC và BD
Chứng minh được suy ra (1)
0,75
- Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P.
Trong tam giác PEH có: KF//EH suy ra (2)
0,25
- Gọi giao điểm của đường thẳng EK và DB là T.
Trong tam giác TEQ có: KO//EQ suy ra (3)
0,25
Từ (1); (2); (3) Suy ra 
0,25
Mà P, T thuộc đường thẳng EK, suy ra P và T trùng nhau 
0,25
Vậy các đường thẳng đồng quy(đpcm)
0,25
c, (2,0 điểm).
Đặt diện tích tứ giác MAKE và diện tích tứ giác MHCF lần lượt là SMKAE và SMHCF. 
Chứng minh: SMKAE = SMHCF
0,25
 Kẻ EG và FI vuông góc với HK, I và G thuộc HK
Chỉ ra được : 
0,5
Chứng minh được: 
0,25
Suy ra 
0,25
Chứng minh được: 
0,25
Suy ra, suy ra 
0,25
Suy ra SMKAE = SMHCF (đpcm)
0,25
5
(2,0 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 
3x2 + 4y2 = 6x + 13
3x2 + 4y2 = 6x + 13
 3x2 – 6x + 3 + 4y2 = 163(x – 1) 2 + (2y)2 = 16
0,5
 0 (2y)2 16 (2y)2{0; 1; 4; 9; 16} 2y {0; 2; 4} (do 2y chẵn, dương)
y {1; 2} (do y nguyên dương)
0,5
* Với y = 1 3(x – 1)2 + 4 = 16 (x – 1)2 = 4 
x -1 =2 hoặc x-1 = -2 x = 3 (nhận); x = -1( loại vì x nguyên dương).
0,5
* Với y =2 3(x – 1) 2 = 0 x = 1 (nhận)
0,25
KL: Vậy (x ; y ) { (3 ; 1); (1 ; 2) }
0,25
----------------------Hết----------------------