Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm 2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
 NĂM 2021
 MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 150 phút)
(Đề gồm 05 câu, 01 trang
Câu 1 (4,5 điểm).
 1. Cho biểu thức với 
 a) Rút gọn A.
 b) Tìm x, y thỏa mãn và A = 2. 
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: . 
Câu 2 (4,0 điểm).
(n-1 chữ số 1), (n - 1 chữ số 5)
 a) Cho với . Chứng minh A là số chính phương.
 b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thì thương là và còn dư.
Bài 3 (4,0 điểm).
Tìm x, y, z biết:
 và . 
 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. 
Bài 4 (6,0 điểm). 
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và . 
c) Chứng minh . 
Bài 5 (1,5 điểm). 
 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
-------------Hết------------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1
(4,5 điểm)
1 (3.0 điểm)
a (2,0 điểm)
Với ta có:
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Vậy thì A = 2x(x + y)
0,25đ
b (1,0 điểm)
Ta có
0,25đ
0,25đ
 ()
0,25đ
0,25đ
Thay y = x + 1 vào A = 2x(x + y) ta được : 
2x( x + x + 1) = 2 2x2 + x = 1
2x2 + x - 1 = 0 (x + 1)(2x - 1) = 0
+ Với x = - 1, ta có y = 0 (loại) 
 + Với x =, ta có y = (thoả mãn) 
Vậy x, y cần tìm là x = và y = 
0,25đ
0,25đ
2 (1,5 điểm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
(4.0 điểm)
a. (2,0 điểm)
Vì f(x) : (x+1) dư 4 f(x)= (x+1).Q(x)+4
Vì f(x) : (x+2) dư 1 f(x)= (x+2).P(x)+1
Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1
Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b
0,25đ0,25đ
0,25đ
0,25đ
 f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b
Ta có f(-1) = - a+b = 4 b = 4+a (1)
 f(-2) = -2a+b = 1 b = 1+2a (2)
Từ (1) và (2) 	
Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b. (2,0 điểm)
Ta có 
là số chính phương.
1.75đ
Vậy là số chính phương. 
0.25đ
3
(4.0 điểm)
a. (2,0 điểm)
Ta có
0,25đ
0,25đ
Chứng minh tìm ra 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Thay vào x = y = z vào ta có
Vậy x = y = z = 3
0,25đ
0,25đ
b. (2,0 điểm)
ĐKXĐ: x+ m và x- m 
0,5d
0,25đ
0,25đ
+ Nếu 2m -1= 0 ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 
 + Nếu m ta có (*) 
0,5đ
- Xét x = m 
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m
Vậy phương trình vô nghiệm khi hoặc m = 
0,25đ
0,25đ
4
(6.0 điểm)
Xét và có:
 BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)
 ( cùng phụ với)
 = (g.c.g)
0,25đ
0,25đ
0,5đ
 mà 
Hay 
0,5đ
0,5đ
Ta có CM = BI ( vì =)
 BM = AI
Vì CN // AB nên 
IM // BN ( Định lí Talet đảo)
Hay IMNB là hình thang
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Vì OI = OM ( vì =) 
cân tại O 
Vì IM // BN IM // BK 
( sole trong) 
0,5đ
Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh 
Ta có vuông tại A có AD NE nên
0,25đ
0,25đ
0,25đ
áp dụng định lí pitagota vào ta có AN2 + AE2 = NE2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Mà và CD = AD 
0,5đ
5
(1.5điểm)
Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx ; CD = AC = b; AD = 2hc 
Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 
0,5đ
Tam BDA có theo định lý pitago
(Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b)
0,5đ
Chứng minh tương tự: 
 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra b = c)
 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra c = a)
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b = c
0,5đ
-------------Hết------------