Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm): 
1) Nếu p < 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số. 
2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Câu 2 (4,0 điểm): 
Cho biểu thức .
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định.
2) Rút gọn biểu thức A. 
Câu 3 (4,0 điểm): Giải các phương trình:
1) 
2) với 0 x 1
Câu 4 (7,0 điểm): 
1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); E là điểm chính giữa của cung AB, hai dây EC, ED cắt AB tại P và Q. Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác CDIK nội tiếp .
b) Tứ giác CDQP nột tiếp .
c) IK // AB .
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA.
2) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N. 
Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.
	b) MN // DE .
c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi .
Câu 5 (2,0 điểm): 
Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x16 + y16 + z16 .
----------------------- Hết ------------------------
Ghi chú: Thí sinh môn Toán không được mang máy tính vào phòng thi
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN 
CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Câu 1 (3,0 điểm): 
1) Vì p là SNT và p <5 nên p = 2 hoặc p = 3.
- Nếu p = 2 => 2p + 1 = 5 (là số nguyên tố) thì 4p + 1 = 9 là hợp số;
- Nếu p = 3 => 2p + 1 = 7 (là số nguyên tố) thì 4p + 1 = 13 là số nguyên tố;
1,5
2) Ta có: 
Do x, y nguyên dương nên mà 19 = 1.19 = 19.1 
nên ta có các khả năng sau: 	; 	
Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là
1,5
Câu 2 (4,0 điểm): 
1) A xác định 
 Vậy A xác định và 
2,0
2) 
2,0
Câu 3 (4,0 điểm): 
1) 
	Û x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8
	Û x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0
	Û x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0
	Û (x-1)(x2 + x + 1) - 3(x2 + x + 1) = 0
	Û (x2 + x + 1)(x - 4) = 0	
2,0
2) 
Cách 1:
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là .
2,0
Cách 2:
Đặt 
Phương trình trở thành:
2,0
Câu 4 (7,0 điểm): 
1) 
A
B
D
C
Q
P
E
I
K
a) D và C cùng nhìn IK dưới hai góc bằng nhau (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau ). Suy ra tứ giác DIKC nội tiếp .
1,25
b) sđ (QDC + QPC)
 = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE)
 = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) = 1800	
Nên tứ giác CDQP nội tiếp .
1,0
c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK
Từ đó suy ra IK // AB .
1,25
d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ). Suy ra AE là tiếp tuyến
0,5
2) 
A
N
C
I
B
M
D
E
O
K
H
a) E, D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I (trung điểm của AB) là tâm 
1,25
b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE )
mà ABE = AMN ( chắn cung AN )
nên ADE = AMN hay DE // MN .
1,25
c) Kẻ thêm hình như hình vẽ. Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEBD suy ra được CN = CM nên OC ^ MM Þ OC ^ DE 
 Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K (trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE Þ KD = KE và ID = IE nên IK ^ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành Þ KC = OI không đổi.
0,5
Câu 5 (2,0 điểm): 
Ta có : 	(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ³ 0 	"a,b,c
Û a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc (1)
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : 
B = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B ³ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ³ x4y4. y4z4+ x4y4. z4x4 + y4z4. z4x4
Û B ³ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8
Û B ³ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ³ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6
Û B ³ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ³ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6
Û B ³ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3
(do xyz = 1 và x + y + z = 3)
 Þ Bmin = 3 Û x = y = z = 1
2,0