Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn: Toán – Khối 11 (thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)

SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN –KHỐI 11
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:
 1. 
 2. 
Câu II (4,0 điểm).
 1. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển của nhị thức Niu-tơn: 
 ;
 2. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 2 học sinh lớp 11C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A.
Câu III (4,0 điểm).
 1. Tính giới hạn sau: 
 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6. 
Câu IV (4,0 điểm.) 
Cho hình chóp SABC có và tam giác ABC vuông tại B với ; H, K lần lượt là hình chiếu của C lên SA, SB biết với . 
 1. Chứng minh rằng .
 2. Tính độ dài SC theo a.
Câu V (4,0 điểm). 
Giải hệ phương trình:.
 2. Cho ba số dương thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của của biểu thức : 
------------------------------Hết-------------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN –KHỐI 11
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016 
Câu
Nội dung
Điểm
I.1
 Đáp số: 
2,0
I.2
 hoặc 
 hoặc hoặc 
2,0
II.1
Xét khai triển: 
Số hạng chứa ứng với là có hệ số là .
2,0
II.2
Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là 
Số phần tử của không gian mẫu là: 
Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A”.
Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : 
+ 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C
+ 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C
+ 3 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 1 học sinh lớp 11C
1,0
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: . 
Xác suất cần tìm là .
1,0
III.1
 Ta có 
2,0
III.2
Số cần lập có dạng , trong đó luôn có mặt chữ số 6. 
Xảy ra các trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số cho 4 vị trí còn lại trường hợp này có số.
Trường hợp 2: Nếu , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5 cách chọn . Sau khi chọn và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là trường hợp này có 4.5. số.
Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là + 4.5. =1560.
2,0
IV.1
Vì H, K là hình chiếu của C lên SA, SB.
K
H
A
C
Do đó : S
x
. 
Suy ra vuông tại K và .
B
2,0
IV.2
Đặt . Trong tam giác vuông SAC ta có 
Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có 
Ta có , vì x > 0. Vậy 
 2,0
V.1
Giải hệ: .
Điều kiện: (*)
Đặt , từ (1) ta có: 
 (Vì ).
Suy ra (3).Thay (3) vào (2) ta có: 
 (Vì ).
2,0
Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 
( x = 1; y = 0).
V.2
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Tương tự ta cũng có 
Cộng các vế ta được 
2,0