Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

PHềNG GD& ĐT THANH BA
TRƯỜNG THCS ĐẠI AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2012 - 2013
MễN: TOÁN - LỚP 9 
Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề
Bài 1: (4,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 Với 
a) Rỳt gọn biểu thức A.
b) Tớnh giỏ trị của A khi 
c) So sỏnh A với .
Bài 2: (4,0 điểm) 
a) Cho x + y = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M = x3 + y3
b) Chứng minh rằng: 
 Biểu thức cú giỏ trị là một số tự nhiờn.
Bài 3: (4,0 điểm)
 a) Giải phương trỡnh 
 b) Cho 3 số thỏa món điều kiện:
	x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = 0
	 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012
Bài 4.(7,0 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD
a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC
b) Tính độ dài phân giác AD?
Bài 5: (1,0 điểm) Rỳt gọn biểu thức sau:
----- Hết -----
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012-2013
MễN TOÁN LỚP 9
 Bài 1 (4 điểm)
a) Rỳt gọn biểu thức (2 điểm) 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
b) Tớnh giỏ trị của A khi (1 điểm).
 Tớnh 
0.5
0.5
c) So sỏnh A với (1 điểm).
 Biến đổi 
 Chứng minh được với mọi 
0.25
0.25
0.5
Bài 2 (4 điểm)
a) Ta cú M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( vỡ x + y = 1)	 
 M = 
	 Suy ra M 
	Mặt khỏc : x + y =1 x2 + y2 +2xy = 12(x2 + y2) – (x – y )2 = 1 
	 2(x2 + y2) 1 
	Do đú : x2 + y2 
	Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi x = y = 
	Ta cú M và x2 + y2 M 
	Vậy M , nờn giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng khi x = y = 
0.25
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
b) Biểu thức cú giỏ trị là một số tự nhiờn ).
Ta cú : .
.
.
Vậy B cú giỏ trị là một số tự nhiờn.
0.75
0.75
0.5
Bài 3 (4điểm) Giải phương trỡnh
a) 
Điều kiện 
x = 2 thoả món điều kiện xỏc định. Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 2.
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
b).Ta cú x2+2y+1 = 0 (1); y2+2z+1 = 0 (2)
 z2+2x+1 = 0 (3)
Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta cú
 (x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) = 0
Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = 3
0.25
0.5
0.75
0.5
Bài 4 (7 điểm)
A
B
C
E
D
 Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp ABC
 Gọi E là giao điểm của AD và (O) 
a) Ta có : ABD ~ CED (g –g) 
 AD.ED = BD.CD
 AD(AE – AD) = BD.CD
 AD2 = AD.AE – BD.CD (1)
 Lại có: ABD ~ AEC (g –g)
 AB.AC = AD.AE (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC 
b) Vì AD là phân giác 
 DB = và DC = 
 AD2 = bc - 
0.5
0.5
 1
0.5
0.5
0.5
 1
0.5
0.5
0.5
1
Bài 5 (1,0 điểm)
Rỳt gọn biểu thức sau:
Ta cú: 
 = 
Tương tự ta cú
 = (
 = 
0.5
0.25
0.25
Chỳ ý: . Nếu thớ sinh làm bài bằng cỏch khỏc đỳng thỡ vẫn cho điểm tương đương.