Đề cương ôn thi vào 10 môn Toán 9

 Bài tập và đáp án
Bài tập 1: Giải các phương trình bậc hai sau:
TT
PTBH
TT
PTBH
1
x2 - 11x + 30 = 0
41
x2 - 16x + 84 = 0
2
x2 - 10x + 21 = 0
42
x2 + 2x - 8 = 0
3
x2 - 12x + 27 = 0
43
5x2 + 8x + 4 = 0
4
5x2 - 17x + 12 = 0
44
x2 – 2(x + 4 = 0
5
3x2 - 19x - 22 = 0
45
11x2 + 13x - 24 = 0
6
x2 - (1+)x + = 0
46
x2 - 11x + 30 = 0
7
x2 - 14x + 33 = 0
47
x2 - 13x + 42 = 0
8
6x2 - 13x - 48 = 0
48
11x2 - 13x - 24 = 0
9
3x2 + 5x + 61 = 0
49
x2 - 13x + 40 = 0
10
x2 - x - 2 - = 0
50
3x2 + 5x - 1 = 0
11
x2 - 24x + 70 = 0
51
5x2 + 7x - 1 = 0
12
x2 - 6x - 16 = 0
52
3x2 - 2x - 3 = 0
13
2x2 + 3x + 1 = 0
53
x2 - 2x + 1 = 0
14
x2 - 5x + 6 = 0
54
x2 - 2x - 2 = 0
15
3x2 + 2x + 5 = 0
55
11x2 + 13x + 24 = 0
16
2x2 + 5x - 3 = 0
56
x2 + 13x + 42 = 0
17
x2 - 7x - 2 = 0
57
11x2 - 13x - 24 = 0
18
3x2 - 2x - 2 = 0
58
2x2 - 3x - 5 = 0
19
-x2 - 7x - 13 = 0
59
x2 - 4x + 4 = 0
20
x2 – 2(x -3 = 0
60
x2 - 7x + 10 = 0
21
3x2 - 2x - 1 = 0
61
4x2 + 11x - 3 = 0
22
x2 - 8x + 15 = 0
62
3x2 + 8x - 3 = 0
23
2x2 + 6x + 5 = 0
63
x2 + x + 1 = 0
24
5x2 + 2x - 3 = 0
64
x2 + 16x + 39 = 0
25
x2 + 13x + 42 = 0
65
3x2 - 8x + 4 = 0
26
x2 - 10x + 2 = 0
66
4x2 + 21x - 18 = 0
27
x2 - 7x + 10 = 0
67
4x2 + 20x + 25 = 0
28
5x2 + 2x - 7 = 0
68
2x2 - 7x + 7 = 0
29
4x2 - 5x + 7 = 0
69
-5x2 + 3x - 1 = 0
30
x2 - 4x + 21 = 0
70
x2 - 2x - 6 = 0
31
5x2 + 2x -3 = 0
71
x2 - 9x + 18 = 0
32
4x2 + 28x + 49 = 0
72
3x2 + 5x + 4 = 0
33
x2 - 6x + 48 = 0
73
x2 + 5 = 0
34
3x2 - 4x + 2 = 0
74
x2 - 4 = 0
35
x2 - 16x + 84 = 0
75
x2 - 2x = 0
36
x2 + 2x - 8 = 0
76
x4 - 13x2 + 36 = 0
37
5x2 + 8x + 4 = 0
77
9x4 + 6x2 + 1 = 0
38
x2 – 2(x + 4 = 0
78
2x4 + 5x2 + 2 = 0
39
x2 - 6x + 8 = 0
79
2x4 - 7x2 - 4 = 0
40
3x2 - 4x + 2 = 0
80
x4 - 5x2 + 4 = 0
Bài tập 2. Tìm x, y trong các trường hợp sau:
a)
x + y = 17, x.y = 180
e)
x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b)
x + y = 25, x.y = 160
f)
x - y = 6, x.y = 40
c)
x + y = 30, x2 + y2 = 650
g)
x - y = 5, x.y = 66
d)
x + y = 11 x.y = 28
h)
x2 + y2 = 25 x.y = 12
Bài tập 3 a) Phương trỡnh . Cú một nghiệm bằng 2, tỡm p và nghiệm thứ 	hai.
	b) Phương trỡnh cú một nghiệm bằng 5, tỡm q và nghiệm thứ hai.
	c) Cho phương trỡnh : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tỡm q và hai nghiệm của phương trỡnh.
	d) Tỡm q và hai nghiệm của phương trỡnh : , biết phương trỡnh cú 2 nghiệm và cú một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. 
Bài giải: 
a) Thay v à phương trỡnh ban đ ầu ta đ ư ợc : 
	T ừ suy ra 
b) Thay v à phương trỡnh ban đ ầu ta đ ư ợc
	T ừ suy ra 
c) Vỡ vai trũ của x1 và x2 bỡnh đẳng nờn theo đề bài giả sử và theo VI-ẫT ta cú , ta giải hệ sau: 
	Suy ra 
d) Vỡ vai trũ của x1 và x2 bỡnh đẳng nờn theo đề bài giả sử và theo VI-ẫT ta cú . Suy ra
	Với th ỡ 
	Với th ỡ 
Bài tập 4 Cho ; lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn
Bài giải: Theo hệ thức VI-ẫT ta cú vậy là nghiệm của phương trỡnh cú dạng:
Bài tập 5 Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh trờn, hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y thoả món : và 
Bài giải: Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú:
Vậy phương trỡnh cần lập cú dạng: 	
	hay	
Bài tập 6 Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tớch P = ab = 4
Bài giải: 
Vỡ a + b = 3 và ab = 4 nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
giải phương trỡnh trờn ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thỡ b = 4
	nếu a = 4 thỡ b = 1
Bài tập 7 Tỡm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số a và b , vậy để ỏp dụng hệ thức VI- ẫT thỡ cần tỡm tớch của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trỡnh cú dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thỡ b = 5 
	nếu a = 5 thỡ b = 4
2) Đó biết tớch: ab = 36 do đú cần tỡm tổng : a + b
Cỏch 1: Đ ặt c = b ta cú : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trỡnh : 
	Do đú nếu a = 4 thỡ c = 9 nờn b = 9
	nếu a = 9 thỡ c = 4 nờn b = 4
Cỏch 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy a = thỡ b = 
*) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy a = 9 thỡ b = 4
3) Đó biết ab = 30, do đú cần tỡm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh: 
	Vậy nếu a = thỡ b = ; nếu a = thỡ b = 
*) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh : 
	Vậy nếu a = 5 thỡ b = 6 ; nếu a = 6 thỡ b = 5.
Bài tập 8 Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 ; x2 , khụng giải phương trỡnh, tớnh
HD: 
Bài tập 9 Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm . Lập hệ thức liờn hệ 	giữa sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
HD : Để phương trỡnh trờn cú 2 nghiệm x1 và x2 th ỡ :
Theo hệ th ức VI- ẫT ta cú :
Rỳt m từ (1) ta cú :
	(3)
Rỳt m từ (2) ta cú :
	(4)
Đồng nhất cỏc vế của (3) và (4) ta cú:
Bài tập 10 Gọi là nghiệm của phương trỡnh : . Chứng minh rằng biểu thức khụng phụ thuộc giỏ trị của m.
HD: Để phương trỡnh trờn cú 2 nghiệm x1 và x2 th ỡ :
Theo hệ thức VI- ẫT ta c ú :
	thay v ào A ta c ú:
	Vậy A = 0 với mọi và . Do đú biểu thức A khụng phụ thuộc vào m
Bài tập 11Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm . Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 
do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
Từ (1) và (2) ta cú:
Bài tập 12 Cho phương trỡnh : .
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa và sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ẫT ta cú
Từ (1) và (2) ta cú:
Bài tập 13: Cho phương trỡnh : 
	Tỡm giỏ trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 	v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra:
	(thoả món điều kiện xỏc định )
Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài tập 14 Cho phương trỡnh : .
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ẫT ta cú: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
	Bài tập 15
 1. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
	2. Cho phương trỡnh : 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức: 
	3. Cho phương trỡnh : . 
	Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : 
HD:
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ẫT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trỡnh sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ẫT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta cú phương trỡnh : (thoả món ĐKXĐ)
BT3: - Vỡ với mọi số thực m nờn phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.
- -Theo VI-ẫT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trỡnh: (thoả món )
Bài tập 16 Cho phương trỡnh:	 (a ạ 0) .Hóy tỡm điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm .
Ta lập bảng xột dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trỏi dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cựng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cựng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cựng õm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Vớ dụ: Xỏc định tham số m sao cho phương trỡnh:
	 cú 2 nghiệm trỏi dấu.
Để phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu thỡ 
Vậy với thỡ phương trỡnh cú 2 nghi ệm trỏi dấu.
Bài tập 17 Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm m để :
	 cú giỏ trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ẫT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Bài tập 18Cho phương trỡnh : 
	Gọi và là cỏc nghiệm của phương trỡnh. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta cú: Theo hệ thức VI-ẫT thỡ : 
Cỏch 1: Thờm bớt để đưa về dạng như phần (*) đó hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vỡ 	
	Vậy m = 1
Với cỏch thờm bớt khỏc ta lại cú:
	Vỡ 
	Vậy 
Cỏch 2: Đưa về giải phương trỡnh bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tỡm điều kiện cho tham số B để phương trỡnh đó cho luụn cú nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta cú: 
Để phương trỡnh (**) luụn cú nghiệm với mọi m thỡ D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài 19: (Bài toỏn tổng quỏt)
 Tỡm điều kiện tổng quỏt để phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) cú: 
 1. Cú nghiệm (cú hai nghiệm) Û D ³ 0
 2. Vụ nghiệm Û D < 0
 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kộp, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
 4. Cú hai nghiệm phõn biệt (khỏc nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiệm cựng dấu Û D³ 0 và P > 0
 6. Hai nghiệm trỏi dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
 8. Hai nghiệm õm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0
 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1
 11. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm õm cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0
 12. Hai nghiệm trỏi dấu và nghiệm dương cú giỏ trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c 0
(ở đú: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
Bài 20: Giải phương trỡnh (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
	D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
 Nếu D’ 1 ị phương trỡnh vụ nghiệm
 Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trỡnh cú nghiệm kộp x1= x2=1
 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
 x1 = 1- ; x2 = 1+
 Kết luận: 
 Nếu k > 1 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
 Nếu k = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x=1
 Nếu k < 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ 
Bài 21: Cho phương trỡnh (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
 a) Tỡm m để (1) cú nghiệm
 b) Tỡm m để (1) cú nghiệm duy nhất? tỡm nghiệm duy nhất đú?
 c) Tỡm m để (1) cú 1 nghiệm bằng 2? khi đú hóy tỡm nghiệm cũn lại(nếu cú)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) 
 + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) cú nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ 
 + Kết hợp hai trường hợp trờn ta cú: Với m ³ thỡ phương trỡnh cú nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thỡ (1) cú dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm)
 + Nếu m ≠ 1. Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai cú: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) cú nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả món m ≠ 1)
 Khi đú x = 
 +Vậy với m = 1 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 
 với m = thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trỡnh cú nghiệm x1 = 2 nờn ta cú:
 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = 
 Khi đú (1) là phương trỡnh bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
 Theo đinh lớ Viet ta cú: x1.x2 = 
 Vậy m = và nghiệm cũn lại là x2 = 6
Bài 22: Cho phương trỡnh: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
 a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu
 c) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng õm
 d) Tỡm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trỡnh thoả món x12+x22 10.
 e) Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc vào m
 f) Hóy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta cú: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 
 Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m
 ị Phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt 
 Hay phương trỡnh luụn cú hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu Û a.c -3 
 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Khi đú theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đú phương trỡnh cú hai nghiệm õm Û S 0
 Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Theo định lớ Viet ta cú: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đú A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 
 Vậy m ³ hoặc m Ê 0
e) Theo ý a) ta cú phương trỡnh luụn cú hai nghiệm
 Theo định lớ Viet ta cú: 
 ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 
 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liờn hệ giữa x1 và x2 khụng phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta cú: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û 
 Vậy ()
Bài 23: Cho phương trỡnh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
 a) Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thoả món 3x1+2x2 = 1
 c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món ; với x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ở trờn
Giải
a) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 Vậy m = 2
b) Ta cú D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trỡnh cú nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*)
 Khi đú theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
 Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 Từ (1) và (3) ta cú: 
 Thế vào (2) ta cú: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (thoả món (*))
 Vậy m = -34 là giỏ trị cần tỡm
d) Với m Ê 2 thỡ phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm 
 Theo định lớ Viet ta cú: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
 Khi đú: (m≠1)
 (m≠1)
 ị y1; y2 là nghiệm của phương trỡnh: y2 - .y + = 0 (m≠1)
 Phương trỡnh ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
 Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ Nếu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
+ Nếu = 0 m = 3
Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4
Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2
 + Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2
Với m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Hướng dẫn
Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng
 - 6x – 3 = 0 x = - 
* Nếu m – 3 0 m 3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- Nếu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phương trình có nghiệm kép
 x1 = x2 = - = - 2
- Nếu > 0 m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1,2 = 
- Nếu < 0 m < 2 .Phương trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phương trình có nghiệm x = - 
Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phương trình có nghiệm x1,2 = 
Với m < 2 phương trình vô nghiệm
Bài 26: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 
a) Tính: 
 A = x12 + x22 B = 
 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và 
Giải ;
Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có 
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = 
+ C = = 
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 
 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) 
 = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
S = (theo câu a)
p = 
Vậy và là nghiệm của hương trình :
 X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bài 27 : Cho phương trình :
 x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.
1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:
 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
 = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 
 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0
 -(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có 
 x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2 
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
 = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
 = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
 = (k – 1)[(2k - )2 + ]
Do đó x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 
 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k)
 k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 28: 
Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
Giải phương trình (1) với m = -5
Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 
Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 
 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m
 Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
=> = 2 = khi m + = 0 m = - 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = - 
Bài 29 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
Giải phương trình khi m = - 
Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 
 5x2 - 20 x + 15 = 0
phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
+ Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành;
 5x – 5 = 0 x = 1
 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số :
 = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1 = = x2 = 
Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trường hợp
Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1)
Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m - 2)
Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình :
 15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm 
 x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài)
Bài 30: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số .
Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1)
Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1. + Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x = 
 + Nếu m 0 .Lập biệt số = (m – 2)2 – m(m-3)
 = m2- 4m + 4 – m2 + 3m
 = - m + 4
 4 : (1) vô nghiệm
 = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép
x1 = x2 = -
 > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x1 = ; x2 = 
Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm
 m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x = 
 0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
 x1 = ; x2 = 
 m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = 
2. (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0 
Trường hợp không thoả mãn
Trường hợp 0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm
 0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có :
 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = -
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = -.Sau đó thay m = - vào phương trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0
có = 289 – 189 = 100 > 0 => 
Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = (Như phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tổng 2 nghiệm: 
 x1 + x2 = 
x2 = - x1 = - 3 = 
Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm
 x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = 
Bài 31: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
 x12 + x22 = 10
Giải.
1.Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 
 k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 )
k1 = ; k2 = 
 Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
 0 k2 + 5k – 2 0 (*)
Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x2 = 2 – 5k
Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2
 + k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
 + k2 = - => = không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 .Cách giải là:
Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm được k1 = 1 ; k2 = - (cách tìm như trên)
Thay lần lượt k1 , k2 vào phương trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
+ Với k2 = - (1) => x2- 7x + = 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phương trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài 32
Cho phơng trình: x2 - 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phng trình khi m = 2
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34
Giải 
a/ Khi m = 2 PT Û x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0 ị x1 = 1, x2 = 3.
b/ D' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm Û 3 - m ³ 0 Û m Ê 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có D ³ 0 Û m Ê 3.
Khi đó: x12 + x22 = 10 Û (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 Û 16 - 2(m + 1) = 10 Û m = 2
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có D ³ 0 Û m Ê 3.
x13 + x23 = 34 Û (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 Û 4[16 -3(m + 1)] =34 Û m +1 =10 Û m = 9
Bài 33
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 ³ 10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Giải 
a/ D' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0 ị với mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm.
b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 Û m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0 Û x = 2 ẩ x = -2.
c/ x12 + x22 ³ 10 Û (x1 + x2)2 - 2x1x2 ³ 10 Û [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) ³ 10 Û
Û 4m2 -8m + 4 + 2m + 6 ³ 10 Û 4m2 - 6m ³ 0 Û m(2m - 3) ³ 0 Û m ³ 3/2 ẩ m Ê 0.
d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 ị Pmin = 31/4 Û m = 3/4.
Bài 34
Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27.
c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22 
Giải 
a/ D' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 ³ 0 ị với mọi m phơng trình luôn có nghiệm.
b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 Û 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 Û 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 Û 8m2 - 9(2m + 1) = 27 Û 8m2 - 18m - 18 = 0 Û 4m2 - 9m - 9 = 0
Û m = 3 ẩ m = -3/4.
c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ị ta có:
x1 + x2 = 3x2 =2m Û x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x22 = 2m - 1Ûx22 = (2m - 1)/2 (2).
Từ (1) và (2) ị 4m2/9 = (2m - 1)/2 Û 8m2 - 18m + 9 = 0 Û m = 3/4 ẩ m = 3/2
d/ Ta có: x = m + m + 1 = 2m + 1 ẩ x = m - m - 1 = -1
Nếu x1 = 2m + 1, x2 = -1 thì ta có: 2m + 1 = 1 Û m = 0
Nếu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý.	Vậy m = 0.
Bài 35
Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng
Giải 
a/ Phơng rình có nghiệm kép Û m ạ 1 và D' = 0 Û m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
Û 2m2 - 3m + 1 = 0 Û (m - 1)(2m - 1) = 0 Û m = 1 ẩ m = 1/2
Vậy m = 1/2 thì phơng trình có nghiệm kép: x = 1.
b/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu Û
 .
c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm Û
.
d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng Û
 Loại
Vậy không tồn tại m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài 36
Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm khi m thay đổi.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6.
Giải 
a/ D = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 ị phơng trình luôn có 2 nghiệm.
b/ x1 = ; x2 = 
Với mọi m ta luôn có: m - 3 < m ị 1 < m - 3 < m < 6 Û 4 < m < 6.
Bài 37
Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.
Giải 
ĐK: 
Bài 38
Gọi a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
 c, d là nghiệm của phơgn trình: x2 + qx + 1 = 0
a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2
Giải 
Theo định lý Viét ta có: .
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) =
[a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) =
a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + 1 =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + 1 =
2 + q(a + b) - pq + p2 - 2 + q2 + 1 = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2  c2dp + c2d2 = 
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2  cp + 1 = (c + d)2 - 2cd - p2 + 2 = q2 - p2 = VP.
Bài 39 Cho phương trình: . (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm còn lại.
b) Giải phương trình khi m = -6.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Với m tìm được ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa xvà độc lập đối với m.
Lời giải
Phương trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên: 
Khi đó ta có phương trình: nghiệm còn lại của PT là: 
b) Với m = -6 ta có PT: có phương trình vô nghiệm.
c) Ta có: . 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi >0.
Ta xét dấu 
m -3+2
 + 0 - 0 +
Vậy khi m -3+2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) Ta có: (1); (2).
Từ (2) suy ra: m = , thay vào (1): 
Vậy hệ thức cần tìm là: .
Bài 40 Giải các phương trình sau:
a) b) 
Lời giải
a) Đặt . Khi đó phương trình đẫ cho trở thành: 
Vì a + b + c = 0, nên phương trình có hai nghiệm: (TMĐK)
* Với 
* Với 
Vậy phương trình có 4 nghiệm : x = -1; 1; .
b) ĐK: . Đặt 
Ta được: .Theo câu a/ 
* (PT vô nghiệm)
* 
Bài 41: Cho phương trình (I) 
Giải phương trình (I) khi m = -2
Tìm m để phương trình (I) có nghiệm?. Có hai ngiệm phân biệt?.
Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?.
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện 
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện 
Lời giải
a) Khi m = -2, phương trình (I) trở thành: 
Ta có phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Phương trình (I) có nghiệm 
 Phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt 
c) Phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu 
d) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: 
Do đó 
(TMĐK)
e) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
Khi đó theo Vi-et và đề bài ta có 
Từ (1) và (3) ta có thay vào (2) ta được 
f) Phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu 
g) Phương trình (I) có 2 nghiệm cùng âm 
h) Phương trình (I) có hai nghiệm cùng dương 
i) Phương trình (I) có một nghiệm bằng 1 
Khi đó nghiệm còn lại là 
j) Phương trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 
ĐK: (để phương trình có nghiệm)
Theo hệ thức Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có: 
Từ (1) và (3) ta có thay vào (2), ta được (TM)
Bài 42 : Xác định m để phơng trình 
a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hai nghiệm âm phân biệt
Hớng dẫn : 
a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu m < 
Vậy m < thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt 
Vậy thì phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt
Bài 43: Cho phơng trình 	(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện 
Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
 m > hoặc m < 
- Theo hệ thức Vi – ét, ta có: 
- Theo đề bài 
 (*)
Giải phơng trình (*) ta đợc 
Đối chiếu với điều kiện của tham số m => m1 (loại) và m2 (nhận)
Vậy m = 
Bài 44: Cho phơng trình 
x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình. Không giải phơng trình, tìm giá trị của m để : 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Hớng dẫn: 
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 m < 
Khi đó, theo định lí Vi – ét ta có: 
a) 
 9 – 4m = 36 m = 
Vậy : 
b) . Từ đó tìm đợc m = 
Vậy : 
c) 
 9 - 4m = 100 m = 
Vậy : 
d) Giải hệ Ta đợc 
Theo định lí Vi- ét: m = 
Vậy m = 2
e) Giải hệ Ta đợc 
Theo định lí Vi- ét: m = 
Vậy m = - 754
Bài 45: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình 
có hai nghiệm thỏa mãn : 
a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị
b) 
Hớng dẫn: 
Phơng trình có hai nghiệm 
 . Sau khi giải bất phơng trình này đợc kết quả: (*)
a) Giả sử 
(1) + (2) => . Thay vào (1) => 
Thay vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy m = 0 hoặc m = -14
b) Ta có hệ Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1
Bài 46: Cho phơng trình bậc hai 
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 
Tính ?
Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm 
Ta có: . Tìm đợc 
Bài 47: Cho phơng trình bậc hai 
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức 
Hớng dẫn: Ta cần có điều kiện (*)
Theo định lí Vi - ét 
Từ tìm đợc 
 không thỏa mãn điều kiện (*) và thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy a = - 4
Bài 48: Cho phơng trình bậc hai 
a) Tính và theo m
b) Tìm giá trị của m để 
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 rồi tính nốt nghiệm thứ hai.
Hớng dẫn:
a) = 
Theo Vi - ét ta tính đợc = 
b) => m = - 4
c) m = 11 và 
Bài 49: Cho phơng trình 
a) Tìm những giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm giá trị của