Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2018 môn Toán

UBND TỈNH BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN 
DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
(Thi ngày 10-10-2017)
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho dãy số xác định bởi: Tìm giới hạn:
.
Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác nội tiếp đường tròn , có trực tâm Gọi là trung điểm của Đường tròn đường kính và đường tròn cắt nhau tại cắt tại . cắt tiếp tuyến tại của đường tròn tại 
a) Chứng minh rằng vuông góc 
b) Đường thẳng đối xứng với qua phân giác trong góc cắt đoạn thẳng tại Gọi là hình chiếu của trên Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn 	
Câu 4. (3,0 điểm) 
Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của để biểu thức có giá trị nguyên.
Câu 5. (4,0 điểm)
a) Cho là tập gồm số nguyên tố phân biệt và là tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt sao cho mỗi số trong đều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc Chứng minh rằng có thể chọn ra trong một số số có tích là một số chính phương.
	b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có 3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.
------------ Hết ------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :...