Đề thi cấp quốc gia năm 2015 - 2016 môn toán 8 thời gian làm bài: 200 phút

 ĐỀ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2015-2016
Đề thi chính thức
 MÔN TOÁN 8 
 Thời gian làm bài: 200 phút
Bài 1 Cho biểu thức: 
 a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c. Tìm x để .
Bài 2: a) Giải phương trình sau:
 (2x2 + x – 2015)2 + 4(x2 – 5x – 2016)2 = 4(2x2 + x – 2015)(x2 – 5x – 2016)
 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Bài 3: a) Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 10x – 4 chia hết cho đa thức g(x)= x2 + x – 2 
b) Biết rằng x2 + y2 = x + y. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh: ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh: ME // BN.
Từ C, kẻ CH BN (H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số dương . Chứng minh rằng : .
	----------Hết----------
Đáp án:
Bài 1: ĐKXĐ: x ¹ 1; x ¹ -1; x ¹ 
a) Ta có:
b) A nguyên nên 21 – 3x 
Ta có: 
1 – 3x 
1
-1
2
-2
x
0
1
KL
TM
Loại vi xÏZ
Loại vi xÏZ
Loại vì x KTMĐKXĐ
Bài 2: 
a) 	
Đặt: 
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó, ta có: 
 .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
b) 
Ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) và (1;2)
Bài 3: 
a) Đa thức chia g(x) = (x – 1)(x + 2)
 g(x) có hai nghiệm là 1 và – 2 
 f(1) = a + b + 6 = 0
 f(-2) = -8a + 4b – 24 = 0
Giải hệ phương trình ta tìm được: a = – 4; b = – 2
b) Ta có: x2 + y2 = x + y
 x = x2 + y2 – y; y = x2 + y2 – x
 P = x2 + y2 – y – y = x2 + y2 – 2y + 1 – 1 = x2 + (y – 1)2 – 1 ³ – 1 
 Pmin = – 1 
Dấu “=” xảy ra khi: 
Lại có: P = x – x2 – y2 + x = – y2 – x2 + 2x – 1 + 1 
 = 1– y2 – (x – 1)2 £ 1
 Pmax = 1
Dấu “=” xảy ra khi: 
Bài 4:
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 
Và 
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
 OE = OM và 
Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp góc đồng vị)
Mà vì ∆OEM vuông cân tại O
∆OMC ~ ∆BMH’ (g.g)
 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
∆OMB ~ ∆CMH’ (c.g.c) 
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng (đfcm)
Bài 5: 
Ta có: 
Xét:
=> đpcm.
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
Lời giải: Hoàng Quốc Khánh – Học sinh THCS Đồng Lạng – Đức Thọ – Hà Tĩnh