Đề tài Một số bài toán về hàm số - Toán lớp 9 thcs

PHẦN I: LÝ LỊCH
Họ và tên: Nguyễn Thế Anh.
Sinh ngày: 04-12-1981
Chức vụ: Giáo viên
Chuyên ngành: Toán - Lí
Đơn vị công tác: Trường THCS Hạ Lễ
Năm học : 2014-2015
Đề tài: “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ- TOÁN LỚP 9 THCS”
******************
PHẦN II
MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài. 
-Hàm số bậc nhất y= ax+b một ẩn và hàm số bậc hai một ẩn là một phần kiến thức toán trong môn đại số 9 tuy nhiên nó mang nhiều ý nghĩa hình học , vì thế gây trở ngại cho học sinh nhiều vấn đề đơn giản nhưng học sinh không hình tượng ra được gây khó khăn trong quá trình tiếp thu kiến thức mới.
-Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, học hỏi và chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số bài toán về hàm số ở bậc THCS-toán 9".
Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
1. Mục đích : 
- Củng cố các kiến thức cơ bản về hàm số y= ax+b và hàm số bậc hai . Tổng hợp các bài toán cơ bản của hàm số.
- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về hàm số bậc nhất, bổ xung thêm nhưng vấn đề mới mà các em chưa biết, làm sáng tỏ những gì các em chưa rõ.
2. Nhiệm vụ :
- Đề tài này đưa ra một số dạng toán cơ bản về hàm số và phương pháp giải của nó , yêu cầu giáo viên thực hiện truyền đạt cho học sinh các phương pháp đó để học sinh có thể vận dụng vào giải toán hàm số một các đơn giản, rèn kĩ năng cho học sinh cũng như kích thích sự tò mò , sáng tạo của học sinh.
 III. Phạm vi:
-Giới hạn đề tài:Trong chuyên đề chúng tôi chỉ đưa ra một số dạng toán cơ bản và hướng dẫn học sinh giải,định hướng cho học sinh phương pháp giải một số bài toán mà các em còn lúng túng trong việc tìm lời giải.
-Đối tượng: Việc dạy và học toán (Thày và trò - lớp 9) trường THCS Hạ Lễ .
 IV. Ý nghĩa thực tiễn:
-Chuyên đề này chúng tôi đã phân loại một số dạng toán cho từng đối tượng học sinh(Khá,Trung bình,yếu) chỉ ra các phương pháp giải.
-Chuyên đề này dễ áp dụng cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học ở trường THCS.
 V. Phương pháp :
-Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết.
-phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
-Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
PHẦN III
NỘI DUNG
I.HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a 0)
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dạng 1. Định nghĩa hàm số bậc nhất:
 Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức: 
 y = ax + b 
 trong đó a và b là các số thực xác định và a 0
Bài 1: Cho hàm số : a. y = b. y = 
Với những giá trị nào của m thì các hàm số trên là bậc nhất?
Giải :
y = là hàm số bậc nhất khi : 
 3m-5>0 m>3/5 
 y = là hàm số bậc nhất khi :m-30 m3
Bài 2: Cho hàm số : y = (m2 + 3m + 2).x2 + (m2 – 4m + 3n2).x + 5
 Với giá trị nào của m và n thì hàm số đã cho là bậc nhất
Giải :
Hàm số đã cho là bậc nhất:
Dạng 2. Tính chất hàm số bậc nhất:
 a. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R
 b. Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 
 và nghịch biến khi a < 0
Bài 1:
	Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 5
	a. Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến
	b. Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến
	Giải :
a. hàm số y = (2m – 3)x + 5 đồng biến khi và chỉ khi :
 2m – 3 > 0 m > 
b. hàm số y = (2m – 3)x + 5 nghịch biến khi và chỉ khi:
 2m – 3 < 0 m < 
Bài 2: Cho hàm số : y = ( 5 + ). x + 2
	a. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R? Vì sao ?
	b. Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị : 
 	 0 ; 1 ; +5 ; 5 - 
	c. Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:
 	 0 ; 2 ; 4 ; +5 ; 5 - 
Giải:
a. Hàm số đồng biến vì : 5 + > 0
b. Khi x = 0 thì y = 2
 Khi x = 1 thì y = 7 +
 Khi x = +5 thì y = ( 5 + ).( +5 ) + 2 = 30 +10
Dạng 3. Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )
 là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b0, trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 ) :
 Cách 1 : Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ
+Cho x=0 y =b đồ thị hàm số đi qua điểm A(0 ; b) ( A Oy)
+ Cho y=0 x=- đồ thị hàm số đi qua điểm B(- ; 0). ( B Ox)
Đường thẳng AB là đồ thị của hàm số
 Cách 2 : Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị.
 Chẳng hạn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)
Bài 1: Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số nếu x
 	y = 2x +1 (d1) y = 2x (d2)
Bài 2: Vẽ đồ thị của hàm số :
 b. 
Giải:
a) 
+ Cho x = 1 thì y = 0 A(1;0) Đây là điểm ghấp khúc của hàm số.
+ Cho x = 2 thì y = 2 – 1 = 1 B(2;1) thuộc nhánh y = x -1 khi x 0
+ Cho x = 0 thì y = -0+1 = 1 C( 0;1) thuộc nhánh y = -x +1 khi x 0
+ Kẻ tia AC và AB ta được đồ thị hàm số trên
Dạng 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Bài toán: Phương trình hoành độ giao điểm của Hai đường thẳng 
 y = ax + b (a 0 ) (d) 
 và y = a/ x + b/(a/0) (d , ) 
là : ax + b = a/ x + b/ => (a – a/)x = b/ -b (1)
+ Nếu a- a/ 0 (1) lúc đó đồ thị hai hàm số có duy nhất một 
điểm chung hay d x d/
 +Nếu a- a/=0 hay a= a/ Và: -Nếu : b/ -b =0 hay b =b/ (1) 0.x =0 x R , Lúc đó hai đồ thị hàm số có vô số điểm chung hay .
 - Nếu : b/ -b 0 hay b b/ (1) 0.x 0 ( vô lí) Lúc đó hai đồ thị hàm số không có điểm chung nào hay .
a). Đường thẳng cắt nhau:
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) cắt nhau khi và chỉ khi a a, 
Chú ý : Khi a a, và b = b, thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b.
b). Hai đường thẳng song song:
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a/ x + b/(a, 0) song song với nhau khi và chỉ khi: a = a/; b b/ 
c). Hai đường thẳng trùng nhau
Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a/ x + b/ (a, 0) trùng nhau khi và chỉ khi: a = a/ , b = b/ .
Bài 1 : Cho hai hàm số bậc nhất và . Tìm giá trị của và n để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng : Cắt nhau; song song ; trùng nhau.
Giải:
Để hai đường thằng cắt nhau : 5m m – 1 m-1/4 n
Để hai đường thẳng song song : 
Để hai đường thẳng trùng nhau: 
 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình 
 y = kx + k2 - 3.
Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ.
Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) có phương trình y = -2x + 10.
Giải:
Để (d) đi qua gốc tọa độ 
Dạng 5. Đường thẳng vuông góc 
 Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) (d1) và y = a, x + b, (a, 0) (d2) 
Ta thấy (d1) song song hoặc trùng với y = ax (d3)
 và (d2) song song hoặc trùng với y = a, x (d4)
Giả sử a>0 và a/<0 Theo hình vẽ 
Ta có OB2=AB.BC hay =1
Vì a>0 và a/<0 nên a.a/ = -1 
Vậy a.a/ = -1 thì (d3) (d4)
Nên (d1) (d2) 
Vậy : Hai đường thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a, 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a/ = -1 . 
Bài 1 : Cho hai hàm số bậc nhất và . Tìm giá trị của để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Giải:
Để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng vuông góc với nhau 
 Bài 2	Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đường thẳng (D) :
y = - 2(x +1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (D) .
Giải:
Goi phương trình đường thẳng vuông góc với (D) và đi qua A(-2;2) là y= ax+b
Ta có : vậy đường thẳng cần tìm là y=1/2x + 3
Dạng 6. Hệ số góc của đường thẳng:
 - Khi hệ số a dương thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc nhọn , a càng lớn thì góc càng lớn nhưng nhỏ hơn 900 
 - Khi hệ số a âm thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc tù , a càng lớn thì góc càng lớn nhưng nhỏ hơn 1800 
*Vì có sự liên hệ giữa hệ số a của x và góc tạo bởi đường thẳng y = ax +b (a 0 ) với tia Ox nên người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0 ) 
 a= tan 
Dạng 7. Một số dạng toán về hàm số bậc nhất thông thường .
a.Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA); B(xB;yB)
- Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A,B là y= ax + b 
Ta có Từ đây ta tìm được : a và b
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 2;1) và B(-1;-5)
- Gọi đường thẳng đi qua hai điểm A,B là y= ax + b 
Ta có 
Vậy đường thằng AB có pt: y = 2x – 3
Bài 2: Cho 3 điểm M( 2;1) , N(-1;-5) và P (m;3) Tìm m để 3 điểm thằng hàng
b. Tìm điểm cố định mà hàm số y= ax +b luôn đi qua với mọi tham số m.
 -Bước 1: Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0;y0) với mọi m
 - Bước 2 : Thay M(x0;y0) vào y= ax +b ta được y= ax0 +b0 (*)
 - Bước 3 : Biến đổi (*) về dạng A.m + B = 0 ( A,B là các biểu thức chứa x0;y0)
( Xem m là ẩn A,B là các hệ số của phương trình A.m + B = 0 luôn luôn đúng khi A=0 và B=0 )
 - Bước 4:Giải , ta tìm được M(x0;y0) là điểm cố định mà hàm số luôn đi qua.
Bài 1 : Cho hàm số y = (m+2)x + 2m – 1
Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định
Giải:
Giả sử đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M(x0;y0) với mọi m 
Ta có : y0 = (m+2)x0 + 2m – 1 (x0+2)m +(2x0-y0-1)=0
 m 
Vậy điểm cố định mà hàm số luôn đi qua là M(-2;-5)
Bài 2: Cho đường thẳng có phương trình: ax + (2a – 1)y +3 = 0.
Chứng minh khi a thay đổi thì các đường thẳng có phương trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ.
c.Tìm m để 3 đường thẳng (d1): y = a1 x+b1 ; (d2): y = a2 x+b2; (d3): y = a3 x+b3 đồng quy.
-Bước 1: Điều kiện để 3 đường thẳng cắt nhau: a1 a2 a3
 - Bước 2 : Tìm giao điểm I của 2 đường thẳng không chứa m . Để 3 đường thẳng đồng quy thì đường thẳng còn lại chứa m phài đi qua I. Thay tọa độ của I vào pt( chứa m ) tìm m .
Bài 1 : Cho ba hàm số :
	y = 2x + 3 (d1)
	y = x + 5 (d2)
	y = 2mx - 5 (d3)
Tìm các giá trị của m để (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Giải:
Giao điểm của (d1)và (d2) là nghiệm của hpt : 
Để 3 đường thẳng đồng quy thì y = 2mx - 5 (d3) đi qua (-2 ;-1)
Ta có 2m(-2)-5 = -1 m = 1.
Bài 2 : Cho ba đường thẳng : y = 2x + 1 (d1)
 y = 3x – 1 (d2)
 y = x +3 (d3)
 a) Chứng minh rằng 3 đường thẳng trên đồng quy
 b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của các đường thẳng đó.
d. Tìm điều kiện của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng y=ax+b ( tham số m) là lớn nhất;bằng một khoảng cách xác định.
+ Tìm điều kiện của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng y=ax+b ( tham số m) là lớn nhất:
Các bước: -Tìm điểm cố định M(x0;y0) mà hàm số luôn đi qua.
Cho x=0 y =b A( 0;b) Ox
Cho y=0 x = B(;0) Oy
Vì khi m thay đổi họ đường thằng luôn qua M ta dễ thấy Khoảng cách từ O đến đường thảng lớn nhất là OM khi OMAB
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB đường cao OM ta có
 Từ đây ta suy ra m cần tìm.
+ Tìm điều kiện của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng y=ax+b ( tham số m) bằng h :
 Cho x=0 y =b A( 0;b) Oy
Cho y=0 x = B(;0) Ox
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB đường cao OM ta có
 Từ đây ta suy ra m cần tìm.
Bài 1 : Cho đường thẳng (m-2)x + (m-1)y = 1
 Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng là lớn nhất.
Giải:
+ Gọi M(x0;y0) là điểm cố định mà hàm số luôn đi qua
 Gọi h là khoảng cách từ O đến đường thẳng.
Ta có (m-2)x0 + (m-1)y0 = 1 (x0+y0)m = 2x0 + y0 +1 
+ Khi m =1 h = 1
+ Khi m = 2 h = 1 (1)
+ khi ., h lớn nhất khi h vuông góc với đường thẳng tạ M(-1;1). 
Ta có với A: Cho x = 0 y = 
 B: Cho y = 0 x = 
 hMax= khi m= (2)
Từ (1) và (2) hMax= khi m= 
Bài 2 Cho đường thẳng (d): y= ( m-2)x + 2m-1 (m là tham số)
Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) có giá trị bằng 2 .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Chú ý : Công thức tính khoảng cách :
 -Từ gốc tọa độ O đến điểm A : 
 -Từ điểm A đến điểm B : 
-Tọa độ trung điểmM của AB (A; B) : 
Bài 1: a. Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các hàm số 
 	y = 2x (d1) y = x (d2)
	b. Đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm C(0; 2) và cắt (d1), (d2) theo thứ tự tại A và B. Tìm toạ độ của A, B
	c. Tính chu vi và diện tích tam giác ABO
Bài 2: 
a. Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số sau:
 	y = 3x ; y = 3x + 6 ; y = - x và y = - x + 6
b. Bốn đường thẳng trên cắt nhau tại 4 điểm O, A, B, C ( O là gốc toạ độ)
Chứng minh tứ giác OABC là hình chữ nhật
Bài 3:
 a) Vẽ đồ thị hai hàm số: y = x và y = 3x + 3
b) Gọi M là giao điểm của hai đồ thị trên. Tìm toạ độ của M
c) Qua điểm N có toạ độ (0 ; 3) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox cắt đường thẳng y = x tại P. Tìm toạ độ của P. Rồi tính diện tích tam giác MNP ( theo đơn vị đo trên trục toạ độ)
Bài 4: Cho hàm số : y = (m – 2)x + m
a) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng –3
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục trục tung tại điểm có tung độ bằng4.
c)Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm được ở câu a, b) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ được.
Bài 5: Gọi (d1) là đồ thị hàm số y = m x + 2 và 
 (d2) là đô thị hàm số y = x – 1
a) Với m = - , xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (d2)
b) Xác định giá trị của m để M(- 3; - 3) là giao điểm của (d1) , (d2)
Bài 6: với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = -3x + (m + 2) và 
 y = 4x - 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 7 : 
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :
 y = 3x + 2 (d1) và y = - x + 6 (d2)
b. Hai đường thẳng cắt nhau tại M và cắt trục hoành theo thứ tự tại P và Q. Tìm toạ độ của M, P, Q.
c. Tính độ dài đoạn thẳng MP, MQ, PQ ( theo đợn vị đo trên trục toạ độ)
d. Tính số đo góc tạo bởi đồ thị (d2) với trục O x.
Bài 8: Cho hàm số : y = (m – 3)x + 2n ( m 3) có đồ thị là (d). Tìm giá trị của m và n để (d) đi qua hai điểm:
a) A(2; - 2) và B(-)
b) Cắt trục tung tại M( 0 ; +2) và cắt trục hoành tại N(2-; 0)
Bài 9 : Cho ba đường thẳng : y = 2x + 1 (d1)
 y = 3x – 1 (d2)
 y = x +3 (d3)
a) Chứng minh rằng 3 đường thẳng trên đồng quy.
b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của các đường thẳng đó.
Bài 10: Cho đường thẳng có phương trình: ax + (2a – 1)y +3 = 0
a. Xác định giá trị của a để đường thẳng đi qua điểm A(1; -1). Tìm hệ số góc của đường thẳng.
b. Chứng minh khi a thay đổi thì các đường thẳng có phương trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ.
Bài 11: Cho hai điểm có toạ độ A(1; 2), B(-2; 1+m)
a. Xác định giá trị của m để đồ thị (d1) của phương trình: mx -3y = 5 đi qua điểm A.
b. Tìm phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và B.
c. Khi m = 11, không cần làm phép tính thì giao điểm của (d1) và (d2) là điểm nào? Toạ độ là bao nhiêu?
Bài 12: Cho 3 điểm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).
a. Lập phương trình đường thẳng AB.
b. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
c. Từ O( gốc toạ độ) vẽ đường thăng (d) vuông góc AB. Tìm phương trình đường thẳng (d).
Bài 13: Cho điểm A(2; 4), B(8; 6), C(3; -2).
a. Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ.
b. Tính khoảng cách từ các điêm A, B, C đến gốc toạ độ.
Bài 14: Cho 4 điểm A(-1; 1), B(3; 2), C(2; -1), D(-2; -2).
a. Lập phương trình đường thẳng AB, BC, DC, DA.
b. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành
c. Tính SABCD và SABCD =?.
Bài 15: Cho hàm số y = x + 
a. Bằng thước và compa hãy vẽ đồ thị (d) của hàm số.
b. Áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = x + 
Bài 16:
 a. Vẽ đồ thị hàm số y = và y = 
 b. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho. Từ đó suy ra phương trình = có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 17 : Cho hai hàm số y = 2x – 1 với x ≥ 1
	 y = -x + 3 với x < 1.
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số trên.
b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = m cắt đồ thị của hai hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm.
Bài 18 : Vẽ đồ thị hàm số y = + 
 Từ đó giải phương trình: = 4 - 
Bài 19: Cho đường thẳng (d) có phương trình : x - y + 4 = 0
a. Vẽ (d) trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi (d) với trục Ox.
b. Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).
c. Chứng tỏ rằng đường thẳng (d1) có phương trình: - y = 0 chỉ cắt (d) tại 1 điểm trên trục tung. Tìm toạ độ điểm đó.
Bài 20: Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho A(1; 2), B(5; 1). Xác định toạ độ điểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành.
Bài 21: Cho hàm số y = f(x) = 2 - 
a. Vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1.
Bài 22: Cho đường thẳng có phương trình:
	mx + (2m – 1)y + 3 = 0	(d)
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; 1)
b. Chứng minh rằng các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.
Bài 23 : Cho hàm số : y = + 
a. Vẽ đồ thị của hàm số.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x.
c. Với giá trị nào của x thì y 4.
Bài 24: Cho hàm số: y = ax + b.
a. Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d1) của hàm số với a, b vừa tìm được.
b. Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m- m)x + m+ m là một đường thẳng song song với (d1). Vẽ (d2) với m vừa tìm được.
c. Gọi A là điểm trên (d1) có hoành độ x = 2. Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi qua A vuông góc với cả (d1) và (d2). Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
Bài 25: Cho hàm số : y = mx – 2m – 1 (m 0)	(1)
a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O. Vẽ đồ thị (d1) với m tìm được.
b. Tính theo m toạ độ giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lượt với trục Ox, Oy. Xác định m để AOB có diện tích bằng 2 (đv dt).
c. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 26 : Cho đường thẳng (D1): y = mx – 3 và (D2): y = 2mx + 1 – m.
a. Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy cắt đường thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1. Tìm toạ độ giao điểm B của chúng.
 Qua O viết phương trình đường thẳng vuông góc với (D1) tại A. Xác định A và S.
b. Chứng tỏ rằng đường thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định.Tìm tọa độ của điểm cố định.
Bài 27: Cho hàm số : y = + + ax
a. Xác định a để hàm số luôn đồng biến.
b. Xác định a để đồ thị hàm số đi qua B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số với a tìm được.
c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 + = x + m
Bài 28: Xác định hàm số (D): y = ax + b, biết rằng:
a. (D) song song với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ và (D) cắt trục hoành tại điểm (-3 ; 0)
b. (D) song song với đường thẳng (d1) : y = 2x + 3 và đi qua điểm M(- ;3)
c. (D) vuông góc với đường thẳng (d2): y = - x + 2 tại điểm A(0; 2) ( là giao điểm của (d2) với trục tung)
Bài 29: Cho hàm số:
	(D1): y = 2x – 1
	(D2): y = - 3x + 4
	(D3) : y = (- 
a. Gọi A là giao điểm của (D1) và (D2) .Tìm toạ độ của A.
b. Xác định giá trị của m để (D1), (D2) , (D3) đồng quy tại một điểm.
c. Minh hoạ hình học kết quả tìm được
Bài 30: Cho đường thẳng (D) có phương trình:
	 y = (m + 2)x + m – 2 (1)
a. Xác định giá trị của m, biết rằng (D) đi qua điểm A(3; 0)
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (D) đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ.
II.QUAN HỆ
 GIỮA HÀM SỐ y = ax + b VÀ HÀM SỐ y=a'x2
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trước hết, chúng ta hãy cùng nhau nhắc tới các kiến thức cơ bản thường xuyên sử dụng sau:
Bài toán : Cho Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y = ax + b (d)
Khi đó:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol y=a'x2 (P) và đường thẳng y=ax + b (d) là nghiệm của phương trình:
a'x2 = ax + b
 a'x2 – ax – b = 0 (*)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng một điểm chung (tiếp xúc nhau) khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương trình đó.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu các dạng toán cơ bản của mối quan hệ này:
 Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + 6
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = x + 6 là nghiệm của phương trình:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 3 và – 2
Ví dụ 2: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = – 5x + 4
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) y = –5x + 4 là nghiệm của phương trình:
–x2 = –5x + 4
 x2 –5x + 4 = 0
Vì a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0 nên x1 = 1; x2 = 4
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: 1 và 4
Dạng 2: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 3: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (d): y = 3x – 4
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (d): 
y = 3x – 4 là nghiệm của phương trình:
' = b'2 – ac
 = (–3)2 – 1.8
 = 9 – 8
 = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Thay x1 = 4 vào(P) ta được y1 = 8
Thay x2 = 2 vào (P) ta được y2 = 2
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là: (4; 8); (2; 2)
Ví dụ 4: Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (a): y = 2x – 3
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) và đường thẳng (a):
y = 2x – 3 là nghiệm của phương trình:
' = b'2 – ac
 = (–3)2 – 1.9
 = 9 – 9
 = 0
Phương trình có nghiệm kép:
Thay x = 3 vào ta đợc y = 3
Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (a) là: (3; 3)
Dạng 3: Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –4x2 với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 là nghiệm của phương trình:
–4x2 = 4mx + m2
4x2 + 4mx + m2 = 0
 = b2 – 4ac
 = (4m)2 – 4.4.m2
 = 16m2 – 16m2
 = 0 m
Phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P) luôn tiếp xúc với đường thẳng (d) y = 4mx + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 6: Chứng tỏ rằng Parabol (P) luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (d) y = 2(m – 1)x – 2m + 3 là nghiệm của phương trình:
 x2 = 2(m – 1)x – 2m + 3 
 x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0
' = b'2 – ac
 = [(m – 1)]2 – (2m – 3)
 = m2 – 2m +1 – 2m + 3 
 = m2 – 4m +4
 = (m – 2)2 > 0 m
Phương trình luôn có nghiệm. Do đó Parabol (P) luôn luôn có điểm chung với đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x – 2m + 3 khi m thay đổi.
 Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt phẳng toạ độ giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng Parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 5x – 2 tại hai điểm nằm cùng một phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = 3x2 với đường thẳng (d) y = 5x – 2 là nghiệm của phương trình:
 3x2 = 5x – 2 
 3x2 – 5x + 2 = 0
Ta có a + b + c= 3 + (–5) + 2 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
; 
Ta thấy hai nghiệm này cùng dương. Suy ra hoành độ giao điểm đều dương. Do đó giao điểm của chúng cùng nằm ở cùng một phía đối với trục tung.
	Ví dụ 8: Chứng tỏ rằng Parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 2x – 2015 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Giải
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = -x2 với đường thẳng (d) y = 2x – 2015 là nghiệm của phương trình:
 –x2 = 2x – 2015 
x2 + 2x – 2015 = 0
Vì có a.c = 1.( –2015) < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. Do đó giao điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và Parabol.
Ví dụ 9: Cho Parabol (P) cắt đường thẳng (D): y = 2(m +1)x – m2 – 9. Tìm m để:
(D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(D) tiếp xúc với (P).
(D) không cắt (P).
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D) y = 2(m +1)x – m2 – 9 là nghiệm của phương trình:
x2 = 2(m +1)x – m2 – 9
x2 – 2(m +1)x + m2 +9= 0 (1)
' = b'2 – ac
 = [(m + 1)]2 – (m2 + 9)
 = m2 + 2m +1 – m2 – 9
 = 2m – 8
	a) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
	 ' > 0
 2m – 8 > 0
 2m > 8
 m > 4
Vậy với m > 4 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) (D) tiếp xúc với (P) Phương trình (1) có nghiệm kép
	 ' = 0
2m – 8 = 0
 2m = 8
 m = 4
Vậy với m = 4 thì (D) tiếp xúc với (P).
c) (D) không cắt (P) Phương trình (1) vô nghiệm
 ' < 0
 2m – 8 < 0
 2m < 8
 m < 4
Vậy với m < 4 thì (D) không cắt (P).
Ví dụ 10: Cho Parabol (P) cắt đường thẳng (D): y = 4x + 2m. 
a) Với giá trị nào của m thì (D) tiếp xúc với (P).
b) Với giá trị nào của m thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm toạ độ giao điểm khi 
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = x2 với đường thẳng (D)
y = 4x + 2m là nghiệm của phương trình:
x2 = 4x + 2m 
 x2 – 4x – 2m = 0 (*)
' = b'2 – ac
 = (–2)2 – (–2m)
 = 4 + 2m
a) (D) tiếp xúc với (P) Phương trình (*) có nghiệm kép
 ' = 0
 4 + 2m = 0
m = –2
Vậy với m = –2 thì (D) tiếp xúc với (P).
b) (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
 ' > 0
 4 + 2m > 0
 m > –2
Vậy với m > –2 thì (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Khi thì hoành độ giao điểm của A, B là nghiệm của phương trình:
	x2 – 4x – 3 =0
	' = b'2 – ac
 = (–2)2 – 1(–3)
 = 4 + 3
 = 7
Thay x1 =2 + vào (P) ta được y1 = 11 +4
Thay x1 =2 – vào (P) ta được y1 = 11 –4
	Từ đó suy ra toạ độ giao điểm A, B của (P) và (D) là:
	A(2 +; 11 +4); B(2 –; 11 – 4)
Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến giữa Parabol và đường thẳng.
Ví dụ 11: Cho Parabol (P) 
a) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm M có hoành độ – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) viết tiếp tuyến này song song với đường thẳng 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; ) và tiếp xúc với (P).
Giải
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b
a) Thay x = –2 vào phương trình Parabol ta đợc y = – 2 
Vậy M(–2; –2)
vì đường thẳng đi qua M(–2; –2) nên ta có:
–2 = –2a + b => b = 2a – 2 (1)
Mặt khác, đường thẳng này là tiếp tuyến của (P) nên phương trình:
 ' = 0
a2 – 2b =0 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: a2 – 2(2a – 2) = 0
 a2 – 4a +4 =0
 (a – 2)2 = 0
 a = 2
Với a = 2 thay vào (1) ta được b = 2.2 – 2 = 2
Vậy phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P) là:
y = 2x + 2
b) Vì tiếp tuyên song song với nên ta có a = 
Suy ra phương trình đường thẳng có dạng 
Vì đường thẳng này tiếp xúc với (P) nên phương trình:
 có nghiệm kép
 x2 + x + 2b = 0 (I) có nghiệm kép
 = b2 – 4ac
 = 12 – 4.1.2b
 = 1 – 8b
Để phương trình (I) có nghiệm kép thì D = 0
 1 – 8b = 0
Vậy phương trình tiếp tuyên cần tìm là: 
c)Đường thẳng (d) đi qua A(1; ) nên ta có:
Vì đường thẳng tiếp xúc với Parabol nên phương trình:
Ta có: ' = a2 – 2b 
Để phương trình (II) có nghiệm kép thì a2 – 2b = 0 (4)
Thay (3) vào (4) ta đợc: a2 – 2(–a) = 0
 a2 + 2a – 3 = 0
Suy ra a = 1 và a = – 3 
* Với a = 1 thay vào (3) ta được b = 
* Với a = 3 thay vào (3) ta được b = 
Vậy qua A(1; ) có hai tiếp tuyến với Parabol (P) là:
 ; 
Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao thoả mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1; x2. Chứng minh 
Giải
a) Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) y = –x2 với đường thẳng (d) 
y = mx – 1 là nghiệm của phương trình:
–x2 = mx – 1
x2 + mx – 1= 0 (*)
 = b2 – 4ac
 = m2 – 4.1.( –1)
 = m2 + 4 > 0 " m
Vì > 0 " m, nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
=> (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Ta có x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét có: x1.x2 = –1 và 
Vì x1 và cùng dấu nên: 
Vậy 
Ví dụ 13: Cho Parabol (P) có phơng trình: và đường thẳng (D) có phương trình: y = mx – m + 2
Tìm m để (P) và (D) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giảc sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P). Chứng minh rằng: y1+y2 = (2–1)(x1+x2)
Giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng (D) y = mx – m + 2 là nghiệm của phơng trình:
a) Để (D) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4 thì x = 4 phải là nghiệm của phương trình (**).
Từ đó suy ra: 42 – 2m.4 +2m – 4 = 0
=> m = 2
Vậy với m = 2 thì đường thẳng (D) và Parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng 4.
b) (D) và (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt ' > 0 (–m)2 – (2m – 4) > 0
 m2 – 2m +4 > 0
 (m – 1)2 +3 > 0 luôn đúng m
Vậy (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ các giao điểm của (D) và (P) nên x1 và x2 là nghiệm của phương trình (**)
Theo định lí Vi-ét : x1 + x2 = 
Ta lại có: y1= mx1 – m + 2; y2 = mx2 – m + 2
Suy ra: y1 + y2 = (mx1 – m + 2) + (mx2 – m + 2)
 = m(x1 + x2) – 2m + 4
 = 2m2 – 2m + 4
 = [( m)2 – 4m + 4] + (2–1).2m
 = (m – 2)2 +(2 – 1).2m
 = (m – 2)2 +(2 – 1).(x1 + x2) (vì x1 + x2 = 2m)
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Câu 1 
Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x +1) .
Điểm A có thuộc (D) hay không ?
Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua A .
Viết phương trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với (D) .
Câu 2 Cho hàm số : y = 
Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
Lập phuơng trình đường thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số góc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên .
Câu 3 
1)Vẽ đồ thị của hàm số : y = 
2)Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 ) 
3)Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên .
Câu 4 Cho hàm số : và y = - x – 1 
Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ .
Viết phương trình các đường thẳng song song với đờng thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 4 .
Câu 5 Cho hàm số : y = ( P ) 
Tính giá trị của hàm số tại x = 0 ; -1 ; ; -2 .
Biết f(x) = tìm x .
Xác định m để đường thẳng (D) : y = x + m – 1 tiếp xúc với (P) .
Câu 6 Cho Parabol (P) : y = và đường thẳng (D) : y = px + q . 
Xác định p và q để đường thẳng (D) đi qua điểm A ( - 1 ; 0 ) và tiếp xúc với (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm . 
C