Đề tài Giảng dạy số phức ở các trường phổ thông

SỞ GD-ĐT BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
----------------------- 
SÁNG KIẾN ĐĂNG KÍ CẤP NGÀNH 
GIẢNG DẠY SỐ PHỨC 
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 
Tác giả SKKN: NGUYỄN VĂN XÁ 
Chức vụ: Giáo viên 
Đơn vị công tác: Tổ Toán - Trường THPT Yên Phong số 2 
Bộ môn (Chuyên ngành): Toán 
YÊN PHONG, THÁNG 12 NĂM 2014 
 MỤC LỤC 
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1 
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2 
Chương 1: CƠ SỞ KHOA HỌC ....................................................................... 5 
Chương 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ ............................................................... 11 
Chương 3: NHỮNG GIẢI PHÁP CỤ THỂ ...................................................... 12 
1. Các phép toán trên tập số phức ...................................................................... 12 
2. Biểu diễn hình học của một số phức .......................................................... 17 
3. Giải phương trình trên tập số phức .................................... 20 
4. Dạng lượng giác của số phức ........................................................................ 23 
Chương 4: KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG ............................................................. 27 
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 28 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 30 
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH ........................................................... 31 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 2 
MỞ ĐẦU 
1. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN 
Xét trên tập số thực ℝ mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm, 
phương trình bậc hai có biệt thức 0∆ ≥ có hai nghiệm (phân biệt hoặc 
trùng nhau), nhưng cũng có những phương trình bậc hai đơn giản, chẳng 
hạn 2 1 0x + = , lại vô nghiệm. Năm 1545 nhà toán học G.Cardano (1501-
1576) người Italia đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình 
2 1 0x + = bằng cách đưa vào kí hiệu 1− để biểu diễn nghiệm của 
phương trình này, dĩ nhiên 1 .− ∉ℝ Tiếp theo đó, ông kí hiệu nghiệm 
của phương trình 2 2x b= − ( { }\ 0b∈ℝ ) là 1b − và nghiệm của phương 
trình ( )2 2x a b− = − ( a ∈ℝ , { }\ 0b∈ℝ ) là 1.a b+ − Cardano đã gọi 
1 ( , )a b a b+ − ∈ℝ là đại lượng ảo, để thể hiện rằng đó là đại lượng 
không có thực, một đại lượng giả tưởng. 
Năm 1572, trong công trình có tên Bologne (Đại số), nhà toán học 
Italia R.Bombelli (1526-1573) đã định nghĩa các phép toán số học trên 
các đại lượng ảo. Ông được xem là người sáng tạo nên lí thuyết các số 
ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được lợi ích của việc đem số ảo vào 
toán học như một công cụ hữu ích. 
Nhà toán học Pháp D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đã đưa 
ra dạng tổng quát của số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn tại n 
nghiệm của một phương trình đa thức bậc .n 
Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đề xuất kí hiệu " " 
để chỉ căn bậc hai của 1− gọi là đơn vị ảo (imaginary unit number), đến 
năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) đã dùng lại kí hiệu 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 3 
đó và là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ số phức để chỉ các đại lượng 
ảo. Tuy nhiên kí hiệu 1i = − cũng đã gây ra rất nhiều tranh cãi và nghi 
ngờ trong giới toán học. Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh 
là người đã không thừa nhận số ảo. Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là 
2 1i = − bởi vì nó phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc trên .ℝ 
Người có công lao biến số phức từ một con số giả tưởng với tính 
chất bí hiểm 2 1i = − thành một số có thật là nhà bác học Ireland 
W.R.Hamilton (1805-1865). Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số 
phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ đó số phức trở 
thành một số quen thuộc với người làm toán như những số truyền thống. 
Càng ngày người ta càng thấy số phức có vai trò vô cùng quan 
trọng trong toán học và khoa học - kĩ thuật. Nhiều nhà toán học nổi tiếng 
như Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866), A.L.Cauchy (1789-
1857), K.T.W. Weierstrass (1815-1897) và nhiều nhà toán học khác ở thế 
kỉ XX đã có những đóng góp to lớn cho sự phát triển của lí thuyết số 
phức và giải tích phức. Giải tích phức, đặc biệt là lí thuyết về ánh xạ bảo 
giác, có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lí 
thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với 
những ứng dụng trong động lực phức và fractal. Ứng dụng quan trọng 
khác của giải tích phức là trong lí thuyết dây. 
Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học cũng đã có những đóng góp quan 
trọng trong nghiên cứu và giảng dạy giải tích phức. 
 Đối với chương trình toán học phổ thông, số phức được đưa vào 
cuối lớp 12. Số phức là một khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng và 
ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. 
Xuất phát từ việc tìm hiểu về lịch sử phát triển của lí thuyết số phức và 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 4 
giải tích phức, hiểu được tầm quan trọng của số phức trong toán học và 
khoa học - kĩ thuật, xuất phát từ thực trạng dạy - học nội dung số phức 
trong thời gian qua tại Trường THPT Yên Phong số 2, để giúp bản thân 
mình cũng như các em học sinh định hình tốt hơn về các dạng toán 
thường gặp về số phức và một số ứng dụng sơ cấp của số phức, đặc biệt 
là các dạng toán xuất hiện gần đây ở các đề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi 
HSG, ở các đề thi thử của các địa phương,  tôi mạnh dạn lựa chọn đề 
tài “Giảng dạy số phức ở trường phổ thông”. 
 Thông qua việc phân dạng một số dạng toán thường gặp về số 
phức, giáo viên có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về chủ đề số phức 
trong chương trình toán phổ thông, chọn lựa được những phương án tốt 
nhất cho bài giảng của mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ 
năng giải toán về số phức và ứng dụng của số phức trong giải quyết một 
số bài toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư duy logic cho học sinh, đồng 
thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập 
môn toán, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần 
đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy - học bộ môn toán nói 
chung và chủ đề số phức nói riêng. 
2. ĐÓNG GÓP CỦA SÁNG KIẾN 
 Góp phần nâng cao nhận thức và kĩ năng cho cả người dạy và 
người học về nội dung số phức, làm rõ một số tính chất của số phức, phân 
ra một số dạng toán thường gặp về số phức, bước đầu tiếp cận một số ứng 
dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 5 
CHƯƠNG 1 
CƠ SỞ KHOA HỌC 
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 
1.1. Khái niệm số phức 
Một số phức là một biểu thức dạng z = a+bi, trong đó a và b là 
những số thực và số i thỏa mãn i2=-1, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi 
là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức. Cách viết z = a+bi được 
gọi là dạng đại số của số phức. 
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi ℂ . 
Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0, 
0. .z a i= + ∈ℂ Do đó, có thể xem ℝ là một tập con của .ℂ 
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (số thuần ảo). Đơn 
vị ảo i là một số ảo, số 0 0 0i= + vừa là số thực vừa là số ảo. 
Hai số phức ( ) ( ), , ' ' ' ', 'z a bi a b z a b i a b= + ∈ = + ∈ℝ ℝ được gọi 
là bằng nhau, và viết 'z z= , nếu ', '.a a b b= = 
Với , ,a b∈ℝ mỗi số phức z a bi= + tương ứng với một và chỉ một 
điểm ( ; )M a b trong mặt tọa độ .Oxy Ta gọi ( ; )M a b là biểu diễn hình 
học của số phức z a bi= + . Những số thực có biểu diễn hình học là các 
điểm thuộc trục ,Ox những số ảo có biểu diễn hình học là các điểm thuộc 
trục .Oy Vì thế trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy còn được gọi 
là trục ảo. Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức. 
Ta để ý rằng trong mặt phẳng Oxy nếu ( ; )M a b thì ( );OM a b= . 
Giả sử các điểm ,M N là biểu diễn hình học của số phức z và 'z thì 
'z z= khi và chỉ khi .OM ON=
 
Giả sử số phức ( ),z a bi a b= + ∈ℝ có biểu diễn hình học là điểm 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 6 
( ; )M a b trong mặt phẳng Oxy và 1 2( ; ), ( ; )M a b M a b− − − lần lượt là điểm 
đối xứng với M qua trục hoành và qua gốc tọa độ. Gọi 1 2,z z là các số 
phức có biểu diễn hình học là 1 2,M M tương ứng. Ta gọi 1z là số phức 
liên hợp của ,z kí hiệu là ,z gọi 2z là số đối của số phức ,z kí hiệu là 
.z− Như vậy ( )a bi a bi+ = − và ( ) ( ) ( ) ,a bi a b i− + = − + − với , .a b∈ℝ 
Ta dễ dàng kiểm tra được rằng z z= và ( ) .z z− − = 
Độ dài của vectơ ( );OM a b= được gọi là môđun của số phức 
( ),z a bi a b= + ∈ℝ , và kí hiệu .z Như vậy 2 2 ( , ).a bi a b a b+ = + ∈ℝ 
Với mọi z ∈ℂ ta có 0,z z z= = − ≥ đẳng thức xảy ra khi 0.z = 
1.2. Một số phép toán trên ℂ 
1.2.1. Phép cộng 
a) Tổng của hai số phức 
Tổng của hai số phức ( ) ( ), , ' ' ' ', 'z a bi a b z a b i a b= + ∈ = + ∈ℝ ℝ 
là số phức ' ( ') ( ')z z a a b b i+ = + + + . 
Nếu hai số phức , 'z z có biểu diễn hình học là các điểm ,M N 
trong mặt phẳng ,Oxy điểm T là biểu diễn hình học của số phức 'z z+ 
khi và chỉ khi .OM ON OT+ =
  
Phép toán tìm tổng của hai số phức được gọi là phép cộng số phức. 
b) Tính chất của phép cộng số phức 
Phép cộng số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng 
các số thực. 
• Tính chất kết hợp ( ) ( )' '' ' '' , , ', '' .z z z z z z z z z+ + = + + ∀ ∈ℂ Nhờ đó, 
ta có thể viết ' ''z z z+ + để chỉ tổng ( )' ''.z z z+ + 
• Tính chất giao hoán ' ' , .z z z z z+ = + ∀ ∈ℂ 
• Cộng với 0 (phần tử trung hòa của phép cộng) 0 0 , .z z z z+ = + = ∀ ∈ℂ 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 7 
• Với mỗi z ∈ℂ , số đối z− tồn tại duy nhất, và ( ) 0.z z+ − = 
• ' ' , , ' .z z z z z z+ ≤ + ∀ ∈ℂ 
• ' ', , ' .z z z z z z+ = + ∀ ∈ℂ 
1.2.2. Phép trừ 
a) Hiệu của hai số phức 
Hiệu của hai số phức z và 'z là tổng của z với 'z− , tức là 
' ( ')z z z z− = + − . Nếu ( ) ( ), , ' ' ' ', 'z a bi a b z a b i a b= + ∈ = + ∈ℝ ℝ thì 
' ( ') ( ') .z z a a b b i− = − + − 
Nếu hai số phức , 'z z có biểu diễn hình học là các điểm ,M N 
trong mặt phẳng ,Oxy điểm H là biểu diễn hình học của số phức 'z z− 
khi và chỉ khi .OM ON OH− =
  
Phép toán tìm hiệu của hai số phức được gọi là phép trừ số phức. 
b) Tính chất của phép trừ số phức 
Phép trừ số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép trừ các số 
thực. 
• ( ) ( )' '' ' '', , ', '' .z z z z z z z z z− + = − − ∀ ∈ℂ 
• ( ) ( )' '' ' '', , ', '' .z z z z z z z z z− − = − + ∀ ∈ℂ 
• 0 ,0 , 0, .z z z z z z z− = − =− − = ∀ ∈ℂ 
• ' ', , ' .z z z z z z− = − ∀ ∈ℂ 
1.2.3. Phép nhân 
a) Tích của hai số phức 
Tích của hai số phức ( ) ( ), , ' ' ' ', 'z a bi a b z a b i a b= + ∈ = + ∈ℝ ℝ là 
số phức ' ( ' ') ( ' ' ) .zz aa bb ab a b i= − + + 
Phép toán tìm tích của hai số phức được gọi là phép nhân số phức. 
b) Tính chất của phép nhân số phức 
• Tính chất giao hoán ' ' , , ' .zz z z z z= ∀ ∈ℂ 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 8 
• Tính chất kết hợp ( ) ( )' '' ' '', , ', '' .z z z zz z z z z= ∀ ∈ℂ Để chỉ tích 
( )' ''zz z ta có thể viết ' ''.zz z Với n là số nguyên dương, với mọi số 
phức ,z để chỉ tích . ...z z z ta viết nz . 
• Nhân với 1 (phần tử đơn vị của phép nhân) .1 1. , .z z z z= = ∀ ∈ℂ 
• Tính chất phân phối ( ) ( )' '' ' '', ' '' ' '', , ', '' .z z z zz zz z z z zz zz z z z+ = + − = − ∀ ∈ℂ 
• ' . ', , ' .zz z z z z= ∀ ∈ℂ Do đó , , *.n nz z z n= ∀ ∈ ∀ ∈ℂ ℕ 
• 
2
. , .z z z z= ∀ ∈ℂ 
• ' . ' , , ' .zz z z z z= ∀ ∈ℂ Do đó , , *.nnz z z n= ∀ ∈ ∀ ∈ℂ ℕ 
• 
4 4 3 4 2 4 11 1n n n ni ,i i, i ,i i, n * .− − −= = = − = − ∀ ∈ℕ 
1.2.4. Phép chia cho số phức khác 0 
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2
1
z z
z
−
= . 
 Thương 'z
z
 của phép chia số phức 'z cho số phức 0z ≠ là tích của 
'z với số phức nghịch đảo của z , tức là 1' ' .z z z
z
−
= Như vậy, nếu 0z ≠ 
thì 2
' '
,
z z z
z z
= và đặc biệt 11 .z
z
−
= Nhận thấy 2
' ' '
,
z z z z z
z z zz
= = nên để tính 
'z
z
 ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu. 
Dễ thấy, với mọi , ' , 0,z z z∈ ≠ℂ ta có ' 'z z
z z
 
= 
 
 và 
''
.
zz
z z
= 
1.2.5. Căn bậc n của số phức 
Số phức w được gọi là một căn bậc ( , 2)n n n∈ ≥ℤ của số phức z 
nếu .nw z= Mỗi số phức 0z ≠ luôn có n căn bậc n ( n∈ℤ , 2n ≥ ) là n 
số phức. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 9 
1.3. Phương trình bậc hai 
Xét phương trình bậc hai ( )2 0 1Az Bz C+ + = với các hệ số 
, ,A B C là những số thực hoặc phức, 0A ≠ , z là biến số phức. Đặt 
2 4 .B AC∆ = − Khi đó 
- Nếu 0∆ ≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
1,2 ,2
B
z
A
δ− ±
= trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ . 
- Nếu 0∆ = thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2 2
B
z z
A
= = − . 
Trong cả hai trường hợp trên ta đều có 
1 2
1 2
.
BS z z
A
CP z z
A

= + = −


= =

Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n 
1 0... 0 (2)nnA z A z A+ + + = 
(trong đó n là số nguyên dương, 1n + hệ số 0 1, ,..., nA A A là các số phức, 
0nA ≠ ) luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). Hơn nữa, 
nếu 0z là một nghiệm của phương trình (2) và 0 1, ,..., nA A A là các số thực 
thì 0z cũng nghiệm của (2). 
1.4. Dạng lượng giác của số phức 
1.4.1. Định nghĩa acgument của số phức khác 0 
Cho số phức 0z ≠ . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn 
số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được 
gọi là acgument của z. 
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức 
 Xét số phức z a bi( a,b )= + ∈ℝ có môđun 0z r= > và ϕ là một 
acgumen. Lúc này z có thể viết ở dạng ( os isin )z r c ϕ ϕ= + . Ta gọi dạng 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 10 
 ( os isin )z r c ϕ ϕ= + là dạng lượng giác của số phức 0.z ≠ 
1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 
Nếu ( os isin )z r c ϕ ϕ= + , ' '( os ' isin ')( 0, ' 0)z r c r rϕ ϕ= + ≥ ≥ thì 
( )zz’ rr’ os ' isin( ')]c ϕ ϕ ϕ ϕ= = + + +  
( ) ( )' ' os ' isin 'z r c
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −   (khi r>0). 
1.4.4. Công thức Moa-vrơ 
a) Công thức Moa-vrơ 
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp 
toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương n, 
( )[ ( os isin )] cos isinn nr c r n nϕ ϕ ϕ ϕ+ = + 
 và khi 1r = ta có 
( os isin ) cos isin .nc n nϕ ϕ ϕ ϕ+ = + 
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. 
Từ công thức Moa-vrơ dễ thấy số phức ( os isin )z r c ϕ ϕ= + (trong 
đó 0r > ) có hai căn bậc hai là 2 2os +isin ,
2 2
k k
r c
ϕ pi ϕ pi+ + 
 
 
với 
0, 1.k k= = 
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN 
 Trong chương trình môn Toán hiện hành ở bậc THPT, nội dung số 
phức bước đầu được quan tâm. Trong các kì thi TN THPT và thi ĐH-CĐ, 
các bài toán số phức cũng thường xuyên xuất hiện. Những ứng dụng của 
số phức ngày càng được nhiều người dạy và học quan tâm, khai thác. 
 Trong thời gian giảng dạy tại trường THPT Yên Phong số 2, tiền 
thân là trường THPT Yên Phong số 3, tôi đã chú ý đến mảng kiến thức 
này, dành thời gian tự trau dồi những hiểu biết liên quan, dành thời gian 
hợp lí cho học sinh luyện tập, tự mở rộng kiến thức. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 11 
CHƯƠNG 2 
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 
Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy việc dạy và học nội dung số phức và áp 
dụng để giải toán hiện nay có một số điều đáng bàn sau đây 
1) Giáo viên còn hạn chế về nhiều kiến thức toán cao cấp liên quan 
đại số đại cương, do đó cái nhìm tổng quan số phức có phần nào chưa 
thực sự đầy đủ, điều đó dẫn tới việc áp dụng các kiến thức về số phức vào 
giải toán cũng có phần hạn chế, có lúc vẫn còn thiếu đi sự linh hoạt, tinh 
tế. 
2) Đây là chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT rất sơ 
lược, dễ gây tâm lí chủ quan đối với cả giáo viên lẫn học sinh. Chính tâm 
lí chủ quan có thể dẫn tới những sai lầm đáng tiếc. 
3) Việc hình thành kĩ năng áp dụng cho học sinh là công việc phải 
được tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng. Tuy nhiên một 
số giáo viên chưa chú trọng việc bồi dưỡng kĩ năng trình bày, bồi dưỡng 
mảng kiến thức liên quan tới các tập hợp số ngay từ lớp 10, dẫn tới tạo ra 
độ ì lớn khi học sinh lên lớp 11, 12. 
4) Nhiều học sinh học tập một cách thụ động, trông chờ thầy cô 
cung cấp kiến thức, chỉ làm bài theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 12 
CHƯƠNG 3 
MỘT SỐ GIẢI PHÁP 
Chương này, chúng tôi đề xuất phương án phân chia một số dạng 
toán liên quan tới số phức, ứng dụng của số phức. 
1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC 
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số phức được thực hiện như 
đối với số thực, chỉ lưu ý thêm = −2i 1,để tính thương z '
z
 ta nhân cả tử và 
mẫu với số phức liên hợp = −z a bi của = +z a bi. 
VD1. a) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức 
= + + −2 3z (1 i 3) ( 2 i) . 
b) Tìm căn bậc hai của số phức = −z 21 20i. 
HD. a) Ta có 
( )= + − + − − + = − − + −z 1 2 3i 3 2 2 6i 3 2 i 2 2 i(2 3 5). 
Vậy phần thực của z là − −2 2 , phần ảo là −2 3 5 và môđun 
( ) ( )= − − + −2 2z 2 2 2 3 5 = + −43 4 2 20 3. 
b) Giả sử = + ∈ℝw a bi (a,b ) là căn bậc hai của z. Ta có =2w z hay 
+ = − ⇔ − + = −
  − = − − =
⇔ ⇔ 
= − = −  
= = −
⇔ 
= − =
2 2 2
2 2 4 2
(a bi) 21 20i (a b ) i.2ab 21 20i
a b 21 a 21a 100 0
2ab 20 ab 10
a 5,b 2
a 5,b 2.
Vậy có hai căn bậc 2 của z là = − = − +1 2w 5 2i, w 5 2i. 
VD2. 1) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 
−
− −
− + − + − + = −
− + − + + − =
0 2 4 6 4n 2 4n n
4n 4n 4n 4n 4n 4n
1 3 5 7 4n 3 4n 1
4n 4n 4n 4n 4n 4n
C C C C ... C C ( 4) ,
C C C C ... C C 0.
2) Tính tổng 0 3 6 3k 15 18S=C +3C +6C +...+3kC +...+15C +18C20 20 20 20 20 20 . 
HD. 1) Để ý rằng với k là số tự nhiên thì: 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 13 
+ =ki 1 nếu k chia hết cho 4; 
+ =ki i nếu k chia cho 4 dư 1; 
+ = −ki 1 nếu k chia cho 4 dư 2; 
+ = −ki i nếu k chia cho 4 dư 3. 
Ta có ( )+ = + = = −2n4n 2 2n n(1 i) (1 i) (2i) ( 4) và 
( ) ( )
( ) ( )
−
− −
+
= =
+ = + + + + + +
= + + + + − + + + + +
+ + + + + − + + + +
= − + −∑
4n 0 1 2 2 3 3 4 4 4n 4n
4n 4n 4n 4n 4n 4n
0 4 8 4n 2 6 10 4n 2
4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n
1 5 9 4n 3 3 7 11 4n 1
4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n 4n
2n 2n
k 2k k 2k 1
4n 4n
k 0 k 0
(1 i) C C i C i C i C i ... C i
C C C ... C C C C ... C
i C C C ... C i C C C ... C
( 1) C i. ( 1) C
−
∑
1
.
So sánh phần thực và phần ảo của số phức + 4n(1 i) theo cả hai cách tính 
đó, suy ra 
−
+
= =
− = − − =∑ ∑
2n 2n 1
k 2k n k 2k 1
4n 4n
k 0 k 0
( 1) C ( 4) , ( 1) C 0 hay 
−
− −
− + − + − + = −
− + − + + − =
0 2 4 6 4n 2 4n n
4n 4n 4n 4n 4n 4n
1 3 5 7 4n 3 4n 1
4n 4n 4n 4n 4n 4n
C C C C ... C C ( 4) ,
C C C C ... C C 0.
2) Xét phương trình x3 – 1 = 0 có ba nghiệm là 
x1 = 1; i2
3
2
1
2x +−= ; i2
3
2
1
3x −−= . 
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1. Đăt i2
3
2
1ε −−= 
i2
3
2
12ε +−=⇒ và ε có các tính chất sau 
a) ε + 2ε = -1 
b) 13ε = 
c) 13kε = 
d) ε13kε =+ 
e) 2ε23kε =+ (k – nguyên). 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 14 
Trở lại bài toán, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
( )20 1 x .0 1 2 2 3 3 18 18 19 19 20 20C xC x C x C ... x C x C x C20 20 20 20 20 20 20+ = + + + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên 
( )1920 1 x 1 2 2 3 17 18 18 19 19 20C 2xC 3x C ... 18x C 19x C 20x C20 20 20 20 20 20+ = + + + + + +
 sau đó nhân hai vế của đẳng thức mới thu được này với x 
( )19 1 2 2 3 3 18 18 19 19 20 2020x 1 x xC 2x C 3x C ... 18x C 19x C 20x C .20 20 20 20 20 20+ = + + + + + +
Từ đây lần lượt cho 2x 1,x ,x= = ε = ε ta được 
19
19
2 2 19
1 2 3 4 18 19 2020.2 C 2C 3C 4C ... 18C 19C 20C (1),20 20 20 20 20 20 20
1 2 2 3 4 18 19 2 2020 (1 ) εC 2ε C 3C 4εC ... 18C 19εC 20ε C (2),20 20 20 20 20 2020
2 1 2 3 2 4 18 2 1920 (1 ) ε C 2εC 3C 4ε C ... 18C 19ε C 20εC20 20 20 20 2020
= + + + + + + +
ε + ε = + + + + + +
ε + ε = + + + + + + 20 (3).20
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có 
20[219 + ε (1 + ε )19 + ε 2(1 + ε 2)19 ] = 3S - 020C . 
Mặt khác ε (1 + ε )19 = 139ε19)2εε( −=−=− , 
 ε 2(1 +ε 2)19 = 121ε19ε)(2ε −=−=− . 
Vậy 3S = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 nên S = 133
2010.2
− . 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 15 
BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z, 
biết rằng 
a) − +=
+
(21 7i)(4 3i)
z .
2 5i
b) −=
+
(2 3i).5i
z .
2 3i
− = + −2c) 1 z (i 2) (1 i 2). 
Bài 2. 1) Cho = + = −1 2z 1 2i, z 2 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số 
phức −1 2z 2z . 
2) Cho = + = −1 2z 2 5i, z 3 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số 
phức 1 2z .z . 
3) Cho −=
−
3(1 i 3)
z .
1 i
 Tìm môđun của số phức +z iz. 
4) Cho 1 2z ,z là hai nghiệm của phương trình + + =2z 2z 10 0. 
Tính +2 21 2z z . 
5) Cho 1 2z ,z là hai nghiệm của phương trình − − =2z 2 3iz 4 0. 
Tính +2013 20131 2z z . 
6) Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6 2 3z i iz− = + và 
1 2
1
3
z z− = Tính mô đun 1 2z z+ . 
7) Cho số phức z thỏa mãn 2 6 13 0z z− + = Tính 6z
z i
+
+
. 
8) Cho số phức z thỏa mãn ( )
3
1 3
1
i
z
i
−
=
−
Tìm .z iz+ 
9) Tính môđun của số phức z biết rằng 
( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2 .z i z i i− + + + − = − 
10) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện 
1 1
2 2
1 2
2 2 1
2 3 1
1
z i iz
z i iz
z z

− = +

− = +

− =
. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 16 
Tính 1 2P z z= + . 
11) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện ( )1 2 1
1
i z
i
+
+ =
−
 tìm số 
phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất. 
12) Tìm giá trị nhỏ nhất của z biết ( )( )3 1 3u z i z i= + − + + là một số 
thực. 
13) Biết rằng số phức z thỏa mãn 2 2
1
z i
z i
+ −
=
+ −
. Tìm giá trị nhỏ 
nhất và lớn nhất của z . 
14) Cho ba số phức 1 2 3, ,z z z đều có môđun bằng 1. Chứng minh 
rằng 
1 2 3 1 2 2 3 3 1 .z z z z z z z z z+ + = + + 
15) Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn 3 38 9z z+ ≤ thì 
2 3z
z
+ ≤ . 
16) Cho số phức z. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng 
thức sau xảy ra + ≥ + ≥21z 1 (1); 1 z 1 (2).
2
17) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 2 4 6 8
1 3 5 7 9
1
1 3 5 7
3
0 2 4 6
3 6
) ... 2 cos .
4
) ... 2 sin .
4
) 3 5 7 ... 2 os 1 .
4
) 2 4 6 ... 2 sin 1 .
4
1)1 ... 2 2cos .
3 3
2 5)2C 5C 8C25 25 2
n
n n n n n
n
n n n n n
n
n n n n
n
n n n n
n
n n
a C C C C C n
b C C C C C n
c C C C C n c n
d C C C C n n
n
e C C
f
pi
pi
pi
pi
pi
−
−
− + − + + =
− + − + + =
− + − + = −
− + − + = −
 
+ + + = + 
 
+ +
2425(2 1)8 20 23
... 20C 23C .5 25 25 3
−
+ + + =
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 17 
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ PHỨC 
VD3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức 
z thỏa mãn 
a) − = +z 1 z i . b) − =3z z 8. c) + + − =z 2 z 2 10 . 
HD. Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn của số phức = + ∈ℝz x iy (x,y ) . 
a) − = + ⇔ − + = + − ⇔ − + + = + − + ⇔ =2 2 2 2z 1 z i (x 1) yi x (1 y)i x 2x 1 y x y 2y 1 y x. 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn − = +z 1 z i là 
đường thẳng có phương trình y = x. 
b) − =3z z 8 ⇔ + = ⇔ + =2 22x 4yi 8 4x 16y 64 ⇔ + =
2 2x y
1.
16 4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn − =3z z 8 là elip 
+ =
2 2x y
(E) : 1.
16 4
c) + + − = ⇔ + + + − + = ⇔ + =2 2 2 2 1 2z 2 z 2 10 (x 2) y (x 2) y 10 MF MF 10, 
trong đó −1 2F ( 2;0), F (2;0). Như vậy tập hợp các điểm M chính là elip (E) 
có hai tiêu điểm −1 2F ( 2;0), F (2;0) và trục lớn bằng 10, 
+ =
2 2x y
(E) : 1.
25 21
VD4. Cho số phức z thỏa mãn − + ≤z 1 i 2. 
a) Chứng minh rằng − + ≤2z 1 i 3 2. 
b) Tìm số phức z có môđun lớn nhất. 
HD. a) Gọi = + ∈ℝz x iy (x,y ) và M(x;y) là điểm biểu diễn của z trên 
mặt phẳng Oxy, vì − + ≤ ⇔ − + + ≤2 2z 1 i 2 (x 1) (y 1) 2 nên M thuộc 
hình tròn 1(H ) tâm −1I (1; 1), bán kính =1R 2 (kể cả biên). Xét hình 
tròn 2(H ) tâm −2
1 1
I ( ; ),
2 2
 bán kính 2
3
R
2
= (kể cả biên). Nhận thấy 
= = −1 2 2 1
2
I I R R
2
 nên 1(H ) nằm bên trong 2(H ) . Mà M thuộc 1(H ) 
nên M cũng thuộc 2(H ) , tức là − + + ≤
2 21 1 9(x ) (y )
2 2 2
 suy ra 
− + + ≤2 2(2x 1) (2y 1) 18 hay − + ≤2z 1 i 3 2 (đpcm). 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 18 
b) Rõ ràng =z OM, với O(0;0) và M(x;y) thuộc 1(H ) . Gốc tọa độ O lại 
thuộc biên của 1(H ) . Do vậy =z OM lớn nhất khi M đối xứng với O 
qua −1I (1; 1), tức là −M(2; 2). Vậy, trong các số phức z thỏa mãn 
− + ≤z 1 i 2 thì số phức = −z 2 2i có môđun lớn nhất (khi đó 
=z 2 2). 
VD5. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số 
phức z sao cho số 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
. 
HD. Gọi z= x+ yi (x,y ∈ℝ ) ta có 
( )
( )
( ) ( )
( )2 2
2 222
2 2 2
x yi x yix yiz
z x yi x y
− + + +   − +
−    
= =
+ + + + +
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 22 2 2
4 2 2 4 4
.
2 2 2
x y yi x x x y y i
x y x y x y
− + + + − + + −
= = +
+ + − + − +
Vì số phức 2
2
z
z
−
+
 có acgumen bằng 
3
pi
 nên ta có 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2 2
2 2
2 2
4 4
os isin 0
3 32 2
4
22
4 3
22
x y y i r c r
x y x y
x y r
x y
y r
x y
pi pi+ −  
+ = + > 
− + − +  
+ −
=
− +
⇔ 

=

− +
Từ đó suy ra y>0 (1) và ( )
2 2
2
2 2
4 2 43 2 .
4 3 3
y
x y
x y
   
= ⇔ + − =   + −    
Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là phần đường tròn (2) nằm ở phía 
trên trục thực Ox. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 19 
BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 3. Tìm tập hợp các điểm là biểu diễn hình học của số phức z thỏa 
mãn 
− + =1) z i 3 3. 
≥ + −2) z 2z 1 i . 
− = +3) z i (i 1)z . 
+
=
−
z 2
4) 1.
z i
5) 2 3z i
z i
+ +
−
 là số thuần ảo. 
6) ( )1 3 w 2z i= + + và w 1 2− ≤ . 
7) 3.z
z i
=
−
2 38) 1.
4
z i
z i
+ −
=
− +
9) 3 4 .z z i= − + 
10) 4.z i z i− + + = 
( )11) 1 .z i i z− = + 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn − − =z (3 4i) 2. 
a) Chứng minh rằng − − ≤1 z 1 i 21.
2
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z . 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 20 
3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC 
Phương pháp 1. Sử dụng các phép toán trên tập số phức, các phép biến 
đổi tương đương, điều kiện để hai số phức bằng nhau ... 
VD6. Giải phương trình + − = + + +2(1 i) (2 i).z i 8 (1 2i).z. 
HD. + + −⇔ + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = −
+ + −
8 i (8 i)(1 2i)
PT (1 2i)z 8 i z z z 2 3i.
1 2i (1 2i)(1 2i)
Vậy 2 3 .z i= − 
Phương pháp 2. Giả sử số phức z cần tìm có dạng đại số = +z x iy 
∈ℝ(x,y ) , sau đó tìm ra x và y. 
VD7. Giải phương trình − + + = − + 2(2 3i)z (4 i)z (1 3i) . 
HD. Giả sử = + ∈ℝz x iy (x,y ) thì = −z x iy. Phương trình đã cho trở 
thành − + + + − = − + 2(2 3i)(x iy) (4 i)(x iy) (1 3i) 
+ − = = − 
⇔ + − + − − + = ⇔ ⇔ 
− − + = = 
6x 4y 8 0 x 2
(6x 4y 8) i( 2x 2y 6) 0 .
2x 2y 6 0 y 5
Vậy = − +z 2 5i. 
Phương pháp 3. Để giải phương trình dạng + + = ≠2az bz c 0 (a 0) ta có 
thể tính ∆ = −2b 4ac, gọi δ là một căn bậc hai của ∆, khi đó phương 
trình có nghiệm 
− ± δ
=1,2
b
z .
2a
VD8. Giải phương trình − − −= +
−
5 10i (1 2i)z
z 1 .
z 5
HD. Điều kiện ≠z 5. Ta biến đổi phương trình về − + + =2z (5 2i)z 10i 0. 
Khi đó ∆ = − + − = −2( (5 2i)) 4.1.10i 21 20i. Một căn bậc hai của 
∆ = −21 20i là δ = −5 2i (xem VD1b). Dẫn tới + + −= =5 2i 5 2iz 5
2
hoặc + − += =5 2i 5 2iz 2i.
2
 Đối chiếu với điều kiện 5z ≠ suy ra phương 
trình đã cho có một nghiệm z = 2i. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 21 
BÀI TẬP THAM KHẢO 
Bài 5. Giải phương trình 
+ + =21)z 2z 3 0. 
22) z 1 2 2.i.= − 
+ − =4 23) z 3z 4 0. 
+ =34) z 8 0. 
− + + + =25) z (1 i)z 3i 6 0. 
− −
= −
−
4z 3 7i
6) z 2i.
z i
+ = −7) z 2iz i. 
Bài 6. 1) Tìm số phức z thỏa mãn =z.z 25 và − − =z 2 i 10. 
2) Tìm số phức z thỏa mãn z 2= và 2z là số thuần ảo. 
3) Cho số phức z thỏa mãn + = −
+
5(z i)
2 i.
z 1
 Tìm phần thực và phần 
ảo của số phức − 2013(2 z) . 
4) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện 1 2 3 4z i z i+ − = + + và 
2z i
z i
−
+
là một số thuần ảo. 
5) Tìm tất cả các số phức z biết 22z z z= + . 
6) Tìm số phức z biết ( )2 3 1 9z i z i− + = − . 
7) Tìm phần ảo của số phức z biết ( ) ( )22 1 2z i i= + − . 
8) Tìm số phức z thỏa mãn 2z = và z2 là số thuần ảo. 
9) Tìm số phức z biết 5 3 1 0iz
z
+
− − = . 
10) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
3
1 3
1
i
z
i
 +
=   + 
. 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 22 
11) Tìm số phức z thỏa mãn 2 2z i z z− = + − và 1 3i
z
−
 có một 
acgumen là 2
3
pi
− . 
12) Tìm số phức z thỏa mãn 2z i− = và ( )( )1z z i− + là số thực 
13) Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 201 1 1 1 ... 1i i i i+ + + + + + + + + . 
Bài 7. Giải phương trình 
( ) ( )3 21) 3 2 16 2 0.z i z i z i− − − − + − = 
( ) ( )3 22) 2 3 3 1 2 9 0.z i z i z i− − + − + = 
4 3 23) 6 6 16 0.z z z z− + − − = 
Nguyễn Văn Xá – THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 23 
4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 
VD9. Cho số phức z thỏa mãn + =1z 1.
z
 Tính = +2013
2013
1
P z .
z
HD. Từ + =1z 1
z
 suy ra pi pi = + ± 
 
z cos i.sin
3 3
 do đó 
pi pi
= ±2013 2013 2013z cos isin
3 3
 và pi pi= ∓
2013
1 2013 2013
cos isin .
3 3z
Vậy pi= = pi = −2013P 2cos 2cos671 2.
3
VD10. Chứng minh rằng 
a) 3 5 1os os cos
7 7 7 2
c c
pi pi pi
+ + = . 
b) 2 3 1os os cos
7 7 7 2
c c
pi pi pi
− + = . 
HD. a) Đặt 7os i sin os i sin 1
7 7
z c z c
pi pi
pi pi= + ⇒ = + = − hay 7 1 0z + = . 
Mặt khác 
10 8 6 4 2
3 5
3 5 5
3 5 1 1 1 1 1 1 1
os os os .
7 7 7 2 2 2 2
z z z z z
c c c z z z
z z z z
pi pi pi + + + + +     
+ + = + + + + + =     
     
Vì 7 1 0z + = nên 10 3z z= − và 8z z= − , suy ra 
10 8 6 4 2 6 4 3 2
7
6 5 4 3 2 5 5 5
1 1
11 .
1
z z z z z z z z z z
z
z z z z z z z z z
z
+ + + + + = + − + − +
+
= − + − − − + + = + =
+
Do đó 
5
5
3 5 1
cos os os
7 7 7 2 2
z
c c
z
pi pi pi
+ + = = . 
b) Xét phương trình 7 1 0x + = . Dễ thấy các nghiệm của phương trình là 
các căn bậc 7 c