Đề ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - Số 33

ĐỀ ÔN TẬP THI VÀO 10 – Số 33.
Bài 1. Cho biểu thức: với .
Rút gọn biểu thức P.
Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 2.
Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Giải hệ phương trình: 
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), cắt (O) tại (khác A), là điểm đối xứng với qua . Gọi là điểm chính giữa của cung , và lần lượt cắt (O) tại và .
Chứng minh . Từ đó suy ra và là các tam giác vuông. 
Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4. Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện: 
HƯỚNG DẪN GIẢI
BÀI
NỘI DUNG
1
Cho biểu thức: với .
a. Rút gọn biểu thức P.
Với ta có: 
Kết luận: 
b. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 
Với ta có: 
Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi 
Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 
a. Cho phương trình: (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 
Ta có: ∆’
Phương trình có hai nghiệm ∆’
Theo định lý Viet ta có: 
Theo bài ra: 
Kết luận: 
b. Giải hệ phương trình: 
ĐKXĐ: 
Từ (1) ta có:
Thay vào (2) ta có: 
Dấu ‘=’ xãy ra 
Dấu ‘=’ xãy ra khi 
Do nên 
Kết luận: 
Hình vẽ
a. Chứng minh . Từ đó suy ra và là các tam giác vuông. 
Ta có: (AM là phân giác góc )
 (1)
 (2) (tính chất góc ngoài tam giác)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác MBI cân tại M, do đó MI = MB.
Tương tự ta có: MI = MC.
Xét tam giác BIJ ta có: tam giác BIJ vuông tại B 
Tương tự: tam giác CIJ vuông tại C. 
Vậy và là các tam giác vuông tại B và C.
b. Chứng minh cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có: ; 
Mà (N là điểm chính giữa cung )
Mặt khác và .
Hơn nữa I và F nằm về cùng một phía so với JE.
Kết luận: cùng thuộc một đường tròn.
Trước hết ta chứng minh với thì 
Thật vậy: 
 (do a > 0)
Từ (*) 
Tương tự: 
Cộng vế theo vế ta được: 
Ta chứng minh với thỏa mãn thì 
Thật vậy:
 (do )
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu ‘=’ xãy ra khi . 
Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 1 khi .
Tìm tất cả các số nguyên dương và thỏa mãn điều kiện 
Từ điều kiện 
Xét phương trình bậc hai : (ẩn số n)
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên dương thì phải là một số chính phương.
Ta có 
Mặt khác 
Do đó 
Khi đó: 
Suy ra (1) chỉ có nghiệm nguyên dương khi hoặc 
Nếu thì vô nghiệm.
Nếu thì 
Thử lại m = 2 và n = 4 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Kết luận : m = 2 ; n = 4.