Đề ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 13

ĐỀ ÔN TẬP THI VÀO 10 – Số 13.
Bài 1. 
	Cho biểu thức M = 
Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M.
Tính giá trị của M khi a = , b = 
Bài 2.
	Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số.
Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11.
Bài 3.
	Cho số nguyên dương n và các số A = (A gồm 2n chữ số 4); B = (B gồm n chữ số 8). Chứng minh rằng A + 2B + 4 là số chính phương.
Bài 4. 
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.
Chứng minh 
Bài 5. 
	Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.
Chứng minh .
Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG
1
a)
M = 
ĐK xác định của M: 
M = 
= 
b)
Ta có M = với a = , b = 
Vậy 
Từ đó M = 
2
a)
x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)
Nếu trừ 0,25 điểm 
Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2
Điều kiện là 
b)
Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3 trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 
Khi đó x12 + x22 + x32 = 11 
áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có (0,25 đ)
Vậy (**) (thoả mãn ĐK)
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
3
Ta có 
=
=
Khi đó
=
Ta có điều phảI chứng minh.
4
Hình vẽ
a)
MA, MB là các iếp tuyến của (O)
I là trung điểm của CD 
A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
 Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO.
b)
 MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
OA = OB
 MO là đường trung trực của AB
 MO AB
 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)
sđ
 (2)
Từ (1) và (2) MH.MO = MC.MD
tứ giác CHOD nội tiếp
 H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD.
c)
Gọi Q là giao điểm của AB và OI
Hai tam giác vuông MIO và QHO có chung
(R là bán kính (O) không đổi)
O, I cố định độ dài OI không đổi
 lại có Q thuộc tia OI cố định
 Q là điểm cố định
d)
 ( cân tại O)
= 
= (3)
 (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Từ (3) và (4) 
 (5)
 (chứng minh trên)
 (6)
Từ (5) và (6) 
5
Ta có 2013a + bc=(a + b + c)a + bc =a2 + ab + ac + bc = a2 +bc + a(b + c)
Theo BĐT Cô-Si cho hai số dương ta có a2 + bc 2a. Từ đó
a2 + bc + a(b + c) 2a +a(b + c) = a(b + c + 2) = a()2
Vậy (1)
Chứng minh tương tự được
 (2) và (3)
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được
Dờu “=” xảy ra