Đề ôn tập kiểm tra môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 
Phương pháp: 
	“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
=> 
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: (*)
HD:
	Từ(*) ta thấy : thay vào (*) ta được : 
Bài 2: Tìm thỏa mãn: 	(*)
HD:
	Từ (*) 	(1)
	Từ (1) , Thay vào (1) ta suy ra : (2)
	Từ (2) thay vào (2) ta được : (3)
	Từ (3) 
Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
	Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Nhân với 4 ta được:
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 
HD: 
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
 nếu đặt 
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: 
HD :
	=> 
	=> 
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
	=> 
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD: 
Nhân 4 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
, mà là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD : 
Ta có phương trình trở thành : 
=> , Vì x,y là số nguyên nên 
=> 
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên: 
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: 
HD: 
Biến đổi: khi 
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: 
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: 
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : 
HD:
Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Có , Để phương trình có nghiệm thì :
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Có , để phương trình có nghiệm thì 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Xét : 
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Theo vi- ét ta có :
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Chuyển phương trình thành bậc hai với x
	, có :
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
	=> 
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng :
	, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
	Từ đó ta có : 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
	Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	TH1 : y=0 => ...
	TH2 : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là phải là 1 số chính phương
	=> => Tìm x
	Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
	=> 
	Cách 2 : Tính 
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Điều kiện để phương trình có nghiệm là 
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: (1)
	Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	 , Coi PT là ẩn x với tham số y
	Ta có : , để PT có nghiệm thì 
	 Vì 
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình trở thành : 
	TH1 : y=1=> x=0
	TH2 :
Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương pháp:
	“ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
	Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương, 
Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” . 
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y: 
	Tìm m để PT: có là số chính phương 	(1)
	Ta có: 
	Chọn , Khi đó (1) trở thành:
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Ta có: 
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 
	Vì , Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
=> mà là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
 với 
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
	Đặt: 
	Ta có các TH sau:
	TH1: TH2: 
	Cả hai TH trên đều có 
	TH3: TH4: 
	TH5: 
	TH6: 
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
=> 
Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
	=> => 
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD: 
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Phương trình có nghiệm , xét x, y # 0 => là 1 số chính phương
	Đặt : Tìm x
Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình vê dạng : 
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình thành : 
	=> 
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
	TH1 : 
	TH2 : 
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
	Chú ý : Vì là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn 
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng :
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 
HD :
Bài 46: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 47: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 49: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
Bài 50: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
Bài 51: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến dổi phương trình thành: 
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình : 
HD:
	Biến đổi thành: 
	Lại có: , Với và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 
HD: 
Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Viết lại PT đã cho dưới dạng: 	(1)
	Dễ thấy PT có nghiệm , 
	Xét là số chính phương, Đặt 
	Tìm được x, y là 
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 
HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 
HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
Ta có: 
Do x,y nguyên dương nên: 
 TH1 : hoặc TH2 : hoặc 
DẠNG 6: ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ
Nhận dạng : 
	“ Phương trình có 1 ẩn có cùng 1 bậc, khi đó rút ẩn đó theo ẩn kia ” . 
Phương pháp :
	“ Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. ”
Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Phương trình tương đương với : 
Với không phải là nghiệm khi đó ta có : 
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình về dạng : 
Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên : 
HD :
	Ta có : 
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	ta có : 
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình trở thành : 
Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành :
	 => 
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình ta có : 
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình ta có :
Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
	 thay vào tìm y 
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình về dạng :
Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên dương sao cho A có giá trị nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x, y, z biết : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên : 
HD :
	Biến đổi phương trình thành : 
	 , Để A có giá trị nguyên thì : 
	Chứng minh: 
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
HD:
	Gọi x, y là các cạnh của hình vuông 
	Ta có: và 	(2)
	Khi đó ta có: 
	Thay vào (2) ta được: Còn (loại)
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Đưa phương trình thành: 
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đôi phương trình thành: 
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD: 
Biến đổi phương trình thành: 
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Đặt : 
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : => 
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về : 
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : 
DẠNG 7: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA
Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn : 
HD:
Ta có: 	(1)
Mặt khác 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Mặt khác : 
	Khi đó : 
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 	(1)
	mặt khác : 
	Khi đó : 
	TH1 : 
	TH2 : 
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Mặt khác : 
	Khi đó : 
Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương : 
HD :
	Đặt 
	(1)
	Vậy ta cần chứng minh 
	Thật vậy : 
Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Ta có: 
	Ta cần chứng minh: 
	Khi đó: 
	Vậy 
	 hoặc 
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của là số chính phương
HD:
	Ta có:
	 => 
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Với x = 0 => y = 1 hoặc y = -1
	Với x # 0=> 
Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Từ phương trình ta có : 
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho 
HD :
	Ta có : 	
	Do 	(1)
	và 	(2)
	=> Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương : 
HD :
	Đặt 
	Ta cần chứng minh : với 
Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho và đều là số chính phương
HD :
	Giả sử : y < x, Ta có : 
	Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu 
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương: 
HD :
	Giả sử : 
	Ta có : 	(1)
	Mặt khác : 	 	(2)	
	Từ (1) và (2) ta có : 
Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
	Biến đổi thành: , Nên thay vào PT ta được: x=0 
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
HD:
Bài 48: Tìm các số nguyên x, y không âm sao cho: 
HD:
	Nếu 
	Nếu từ PT ta suy ra: , vô lý.
DẠNG 8: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Giả sử : 
	TH1 : 
TH2 : hoặc 
Bài 2: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng 
HD :
	Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
	, Giả sử : 
	Với 
	Với 
	Với 
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: 
HD:
	Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên Giả sử: 
	Nếu (thỏa mãn )
	Nếu , Do nên ta có các TH sau:
	TH1: Vô nghiệm
	TH2: 
	TH3: loại
	Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm là hoán vị của cặp nghiệm trên
Bài 4: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
	Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là : 
	Giả sử : 
	Xét các TH của xyz
Bài 5: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
HD :
	Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có : 
	Giả sử : 
	Xét các TH của xy
Bài 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
	Với 
	TH1 : 
	Giải các TH và với t=2
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
HD:
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
HD:
Bài 10: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Giả sử: 
	TH1: Với x=1=> 
	=> Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3
	TH2 : Với làm tương tự
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Giả sử: 
	Làm tương tự bài trên
Bài 13: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD :
	Giả sử : 
=> 
Bài 14: Chứng minh rằng chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương
HD :
	Giả sử : , Ta có : 
	=> x có hữu hạn giá trị
	Với mỗi giá trị của x => giá trị
	=> Tương ứng với z
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Ta có:
	Giả sử: 
	Khi đó: 
	Với => tự làm
Bài 16: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Phương trình đã cho 
	Cô si ta có: , Do 
và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:
	(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị
Bài 17: Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 
Có giá trị nguyên
HD:
	Ta có: có cùng tính chẵn lẻ:
	Giả sử : Nếu 
	Nếu a=1=> thay a=1 và A=2 vào ta được:
	 hay 
	Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị
Bài 18: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
HD: 
Giả sử có x, y nguyên thỏa mãn: VT => . 
Do x, y nguyên nên 
	Với: ( vô nghiệm)
	Với 
Bài 19: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	Vì Vi là số lẻ 
Bài 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 
HD:
	Biến đổi thành: 
	Xét các TH=> x
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Biến đổi phương trình đã cho thành: 
	Vì và là số chính phương, do đó:
	 thay vào ta tìm được các nghiệm x còn lại.
Bài 23: Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 
HD:
	Biến đổi phương trình thành:
	 và và 
	Với 
	Với 
Bài 24: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình : 
HD :
	Ta có : 
	Với Vô lý
	Với thỏa mãn 
	Với 
Bài 25: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD: 
Phương trình đã cho viết lại thành: 
Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình:
Nếu x>2 thì 
Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt nên y, Ta có : ,
 Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y1
Bài 26: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: 
HD :
Giả sử : và 
=> 
Vậy 
Thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương
Bài 27: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: và 
HD:
	Nếu 
	Nếu , vậy để thỏa mãn đàu bài thì 
Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 
HD :
	Giả sử : và không xảy ra đấu =
	, mà 
	Kết hợp với phương trình đầu 
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD : 
	Ta đánh giá miền giá trị của x: Biến đổi PT thành: 
Bài 30: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : (1) 
HD :
	Giả sử: từ PT 
	Ta có : 
	 vậy 
DẠNG 9: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ ĐỒNG DƯ
Bài 1: Chứng minh rằng không có các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 
HD: 
Ta có , Ta có : mà 4 không chia hết cho 8 
Vậy không tồn tại x, y, z
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD:
	Nhân với 4 ta có: => 
	Do , mà => Vô lý
	Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 3: Có tồn tại hay không các số tự nhiên m, n sao cho: 
HD:
	Giả sử tồn tại m, n là số tự nhiên thỏa mãn: 	(1) 
	Từ (1) => m, n cùng tính chẵn lẻ , 
Nhưng vậy không có m, n nào thỏa mãn.
Bài 4: Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn : 
HD:
	Ta có: 
	Tương tự ta có: , 
Biến đổi PT thành: . Mà , Vậy không tồn tại x, y, z
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Phương trình 
	Vì VP là 1 số lẻ => là số lẻ , 
	Giả sử : => d lẻ , Mà : 
	 là số chính phương => 
Bài 6: Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn :  
HD:
	Xét 
	Xét còn dư 0 hoặc 1
	=> dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2 => Vô lý
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3
	mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
	vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
Bài 8: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên : 
HD:
	Với y Phương trình vô nghiệm
	Nếu y = 0, 1, 2, 3 => Phương trình cũng vô nghiệm
	Nếu 
	=> ( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 9: Tìm x, y nguyên sao cho : 
HD:
	Xét 
	Xét Vô lý
	Với dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> dư 1 (vl)
	Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 10: Tìm x, y nguyên sao cho : 
HD :
	TH1 : x là số lẻ :
	=> chia 3 dư 2
	VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2
	TH2 : x là số chẵn :
	Thấy và 
	 hoặc 
Bài 11: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: 
HD:
	Vì x, y nguyên tố nên , từ PT đã cho ta suy ra và z là số lẻ (do z nguyên tố)
	Vì z lẻ nên x chẵn hay x=2, Khi đó: 
	Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3, loại, vậy y=2 
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
HD:
TH1: x = 1 thay vào pt suy ra y = 1
TH2: x là số lẻ lớn hơn 1, đặt x = 2k + 1 (k Î N*) Þ
 	Ta có nên 
 	Þ y = 1 (vì nếu y ≥ 2 thì 2y chia hết cho 4)
 	Thay y = 1 vào pt ta được x = 1 (loại)
TH3: x là số chẵn, đặt x = 2k ( k Î N*), thay vào pt ta có:
 	Þ 3k – 1 và 3k +1 là các lũy thừa của 2
 	Đặt (a, b Î N*, a > b)
 	Ta có 2 = 
 	Suy ra b = 1 ; a = 2 Þ k = 1 Þ x = 2; y = 3
Vậy pt có nghiệm (x; y) = (1; 1); (2; 3)
Bài 13: Chứng minh rằng PT sau không có nghiệm nguyên: 	(1) 
HD:
Giả sử PT có nghiệm nguyên, Từ => x là số lẻ thay vào (1) ta được:
 (2)
Từ (2) suy ra y là số chẵn, Đặt thay vào (2) và rút gọn ta được : 
 lẻ, Vô lý, Vậy PT không có nghiệm nguyên.
Bài 14: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn: 
HD :
Với là các số nguyên dương. 
Xét phương trình: là số nguyên dương
Nếu Khi đó : với x là số nguyên thỏa mãn
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu . Vì z là số nguyên dương nên 
Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho : 
Nếu vô lý
Nếu 
Vì x; y nguyên dương nên 
Vậy có bộ số với x = y là số nguyên dương tùy ý và 
DẠNG 10: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Ta có : 
	=> Vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về thành : , Vô nghiệm
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : 
HD :
	Đưa phương trình về dạng : , Vô nghiệm
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Ta chứng tỏ PT đã cho không có nghiệm nguyên. Giả sử PT có nghiệm nguyên
	Ta có: và 
	Từ 	(1)
	Từ trái với (1) 
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Từ PT đã cho ta suy ra x là số lẻ và vô lý, PT vô nghiệm.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Biến đổi PT thành: 
Giả sử PT đã cho có nghiệm. Khi đó , 
Vì 19 là số nguyên tố có dạng mâu thuẫn, 
vì là số chính phương nên chia 4 chỉ có dư là 0 hoặc 1 chia 4 chỉ có dư là 1 hoặc 2
vậy PT vô nghiệm
Bài 7: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn: 
HD:
	Ta có: 
Bài 8: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn: 
HD:
	Nếu x chẵn thì: loại
	Nếu x lẻ thì : 
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn: 
HD:
	Nếu x lẻ thì chia hết cho 3, còn không chia hết cho 3, loại
	Nếu x chẵn thì 
Bài 10: Tìm thỏa mãn: (*)
HD:
	Ta có: , Khi đó (*) trở thành : (1)
	Nếu ,
	Nếu 
	Nếu và z lẻ 
	Vậy z có dạng , Nhưng khi đó loại 
	Vậy PT có hai nghiệm là 
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
HD:
	Nếu y chẵn thì 
	Từ PT đã cho ta suy ra 
	Nếu y lẻ thì 
	Từ PT đã cho ta suy ra 
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
HD:
	Xét đồng dư theo mod3 và mod4 ta suy ra x, y chẵn, 
Sau đó giải tương tự như câu a ta được: x=4; y=2
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Nếu , Từ đó suy ra: 
+ Nếu loại
+ Nếu vô nghiệm
+ Nếu là số lẻ chẵn. Đặt ta có :
 hoặc hoặc , từ đó tìm đc x, y, z 
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Xét đồng dư theo mod 3 và mod 4 ta suy ra: x và z đều chẵn. Đặt 
Thay vào PT ta được: 
	Cộng theo từng vế ta có: và 	(3)
	Từ (1) 
Bài 15: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn phương trình: 
HD:
	Nếu n lẻ thì: . Từ PT đã cho ta suy ra: loại.
	Nếu n chẵn thì: và PT đã cho trở thành: 
Chọn là các ước của 153 ta tìm được: 
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y sao cho: (*)
HD:
	Tù (*) suy ra ta có: , ta có :
	 , Vì và , 
Từ (1) thay vào (2) ta được : 	(3)
Nếu thì từ (1) => x=0 thay vòa (*) ta được y=0
Nếu thì từ (3) suy ra thay vào (2) ta được : x=1, do (x>-1)
 	Thay vào (*) ta được : y=2
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y sao cho: 
HD:
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
HD:
	Làm như trên ta được nghiệm 
Bài 19: Tìm nghiệm tự nhiên của PT: (1)
HD: 
	Giả sử PT có nghiệm nguyên. Khi đó: là số lẻ. (2)
	 Từ (1) ta cung có : chẵn, mâu thuẫn với (2)
Bài 20: Tìm sao cho: (1)
HD:
	Giả sử: và không cùng chẵn, 
	Từ (1) (2)
	Từ (2) đều lẻ 
Bài 21: Tìm nghiệm nguyên của PT sau: 
HD:
	Sử dụng tính chất của số nguyên tố có dạng 
	Ta có: (1)
	Nếu y chẵn thì loại
	Nếu y lẻ thì có dạng có ước nguyên tố p dạng 
	Từ (1) loại
Bài 22: Tìm nghiệm nguyên của PT: 
HD:
	Sử dụng tính chất của số nguyên tố có dạng , Đáp án: 
Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên biết : 
HD :
	Từ PT ta có : Nếu n không chia hết cho 3 thì khi chia cho 7 chỉ có số dư là 2, 
4, 7. Mà khi chia cho 7 chỉ có số dư là 0 ; 1 ; 6 nên không thể có 
Vậy , Thay vào phương trình ta được : 	(1)
Từ (1) mà 
	Nếu Vô nghiệm
	Nếu Vô nghiệm
	Nếu 
DẠNG 11: PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 	(1) 
	Từ (1) , do đó: x, y đều chia hết cho 3. Đặt 
Thay vào PT : 	(2)
	Từ (2) lập luận như trên ta được: thay vào (2) ta được: (3)
	Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0 . Nên (3) vô nghiệm
	Khi đó Phương trình (1) vô nghiệm
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Biến đổi phương trình thành: 
	Đặt phương trình trở thành: 	 (1)
	Từ (1) ta thấy u và v cùng tính chẵn lẻ 
Nếu u, v cùng lẻ thì , do đó (1) không xảy ra=> u, v cùng lẻ loại
	Vậy u, v cùng chẵn, Đặt , khi đó PT trở thành: 	(2)	
	Từ (2) lập luận như trên ta lại có cùng chẵn, Đặt thay vào (2):
	 	(3)
	Từ (3) lập luận như trên ta lại thấy cùng chẵn.
	Đặt thay vào PT (3) ta được: 	(4) 
	Từ (4) ta thấy rằng u là lập phương của 1 số nguyên nên cũng là lập phương của 1 số nguyên
	Từ đó ta tìm được cặp Thay vào tìm được cặp x, y
Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình: 
HD:
	Từ phương trình đã cho suy ra x chẵn: hay , thay vào PT ta được: 
	Từ đó ta lại có y là số chẵn, Đặt thay vào PT ta được : 
	Lại thấy z là số chẵn:Đặt thay vào ta được: 
	Vậy nếu là nghiệm của Pt đã cho thì cũng là nghiệm của phương trình đã cho	Một cách tổng quát: cũng là nghiệm của PT đã cho với mọi n N, hay chia 
hết cho => x=y=z=0 
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của PT : 
HD :
	Sử dụng PP cực hạn, Hãy chứng minh rằng: Nếu là 1 nghiệm của PT thì cũng là 1 nghiệm của PT
Bài 5: Tìm sao cho : 	(*) 
HD:
	Sử dụng PP xuống thang hoặc PP cực hạn.
	Nhận thấy là 1 nghiệm của PT (*) 
	Giả sử ngoài nghiệm trên ta còn nghiệm thỏa mãn: (1) 
	Nếu cảu đều lẻ thì từ (1) ta suy ra chẵn
	Khi đó: còn vô lý
	Vậy 1 trong 2 nghiệm là số chẵn, Từ (1) cả đều là số chẵn.
	Đặt thay vào (1) ta có:
	 cũng là nghiệm của (*)
	Mà trái với cách chọn nghiệm. 
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
	Từ PT đã cho ta suy ra y chia hết cho 3, đặt thay vào PT ta được: 	 (1)
	Từ (1) ta suy ra x chia hết cho 3, Đặt . Thay vào PT ta được: 	(2)
	Từ (2) suy ra , Vô lý nên PT vô nghiệm
Bài 7: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: 	(1) 
HD:
	Sử dụng PP xuống thang ta có:
	Nếu cả x và y đều lẻ thì từ (1) suy ra z chẵn,
 	Khi đó: còn vô lý
	Vậy 1 trong 2 biến x và y phải chẵn.
Giả sử x chẵn, Từ (1) ta suy ra: do đó cả y và z đều chẵn.
Đặt Thay vào (1) ta được: 	(2) 
Từ (2) lại lập luận như trên ta suy ra: đều chẵn.
Cứ làm như vậy và chỉ ra 
Bài 8: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: 
HD :
Bài 9: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: 
HD :
Bài 10: Tìm nghiệm nguyên của PT sau : 
HD :
	Sử dụng Phương pháp xuống thang ta có : 
Bài 11:  Tìm nghiệm nguyên của PT : 
HD :	
	Sử dụng PP xuống thang ta được : 
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của PT : 
HD :
	Sử dụng PP xuống thang : 
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
HD :
	Sử dụng pp xuống thang thì thấy PT vô nghiệm.
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
HD:
Trước hết ta nhận xét rằng : nếu n là số nguyên chẵn thì 
Nếu n là một số nguyên lẻ thì chia cho 8 sẽ dư 1. 
Suy ra cũng chia cho 8 dư 1.
Gọi nghiệm nguyên của phương trình là . ta có: 
Do vế phải là số chẵn nên trong 4 số không thể có một hoặc ba số là số lẻ.
Nếu trong chúng có hai hoặc 4 số lẻ thì vế trái là số chia cho 8 dư 2 hoặc chia cho 8 dư 4. ( vô lý ).
Vì thể cả 4 số đều là số chẵn. Ta đặt : 
Thay vào phương trình và chia hai vế cho 16 ta được: 
Vì thế là một nghiệm của phương trình.
Lập luận tương tự, cũng là nghiệm của phương trình.
Vì nghiệm của phương trình là số nguyên nên chỉ xảy ra : 
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: