Đề ôn tập kiểm tra môn Toán Lớp 8 - Bài: Đồng dư thức

ĐỒNG DƯ THỨC
1. Định nghĩa : Cho a được gọi là đồng dư với b theo modunlo m nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m. Kí hiệu là : 
Vậy 
2. Tính chất : Cho thì :
a. Tính chất phản xạ : 
b. Tính chất đối xứng : 
c. Tính chất bắc cầu : 
d. 
e. 
f. 
g. với 
h. 
k. 
3. Định lý Fermat nhỏ: Cho a là số nguyên và p là số nguyên tố, khi đó : 
+) Đặc biệt: Nếu 
4. Các dạng toán
Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1: Tìm số dư
a. cho 15 b. cho 7 
c. cho 9 d. cho 13
e. cho 12 f. cho 11 và 13
Lời giải
a. Ta có: 
Lại có: 
Từ (1)(2) 
b. Ta có: 
Lại có: 
 chia cho 7 dư 5
c. Ta có: 
Vậy số dư là : 4
d. Ta có: 
e. Ta có: 
Từ (1)(2) chia cho 12 dư 2 
f. Ta có: 
+) 
Bài 2: Chứng minh rằng
a. chia hết cho 31 b. chia hết cho 7 
c. chia hết cho 2016 
Lời giải
a. 
 chia hết cho 31 
b. Ta có: 
Lại có : 
Từ (1)(2) 
Mặt khác : 
Từ (3)(4) 
c. Ta có: 
Bài 3: Chứng minh rằng : chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
Lời giải
Ta có: 
Lại có : 
Bài 4: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có: 
Lại có: 
Bài 5: Tìm số dư : chia cho 3 và 5 
Lời giải
Ta có: 
 chia 3 dư 2
+) Lại có: 
Vậy A chia 5 dư 2
Bài 6: Chứng minh rằng
a. chia hết cho 11 b. chia hết cho 30 
c. chia hết cho 7	d. chia hết cho 2014 
Lời giải
a. 
b. 
c. 
Có: 
d. Ta có : 
Bài 7: Tìm số dư trong phép chia chia cho 111 
Lời giải
Ta có: 
 chia 111 dư 25. 
Bài 8: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Vì 7 là số nguyên tố nên (10,7) = 1 nên theo định lý Fermat nhỏ ta có :
 Với mọi số tự nhiên n khác 0 thì : 
Đặt 
Bài 9: Sử dụng định lý Fermat nhỏ
Chứng minh rằng : 
Lời giải
Vì 11 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ ta có : 
Áp dụng kết quả trên ta được : 
Bài 10: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có : 
Ta cần chứng minh : 
+) Nếu 
+) Nếu 
+) Nếu 
Vậy 
Bài 11: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có : 
+) Có : 
+) 
+) 
+) 
Đặt 
Vậy 
Bài 12: Chứng minh rằng : ( Có 100 chữ số 7 )
Lời giải
Ta có : 20 = 4. 5
Đặt 
Ta có : 
Bài 13: Chứng minh rằng : 
Lời giải
+) 
+) 
+) 
+) 
Vậy A luôn chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4
Bài 14: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Bài 15: Chứng minh rằng : 
Lời giải
+) Với n = 2 luôn đúng
+) Xét với n > 2
Ta có nhận xét sau : 
Bài 16: Chứng minh rằng : 
Lời giải
Ta có : 
+) 
+)
Vậy 
Bài 17: Giả sử là các số tự nhiên thỏa mãn : 
Tìm số dư khi chia cho 30
Lời giải
Ta có : 
Có : 
Mặt khác : 
Vậy số dư là 25
Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một sô
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của
a. b. c. 
Lời giải
a. Ta có : 
Lại có : 
Vậy có tận cùng là 9
b. 
Vậy tận cùng là 6
c. có tận cùng là 6