Đề luyện thi HSG Toán 6

ĐỀ THI HSG TOÁN 6
Thời gian 120 phút
Câu 1( 4 điểm). 
a) Tính giá trị các biểu thức sau: 
 A = 3 + 32 + 33 + 34 +3100
b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3
Câu 2 (4 điểm). 
a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12
b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7
c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6.
Tìm số a biết 100 < a < 200
Câu 3 ( 4 điểm)
	1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .	
2. Cho 
a) Chứng minh x 0
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên
Câu 4 ( 2 điểm)
 a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1 
 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
 Câu 5. (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm
a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD
.Hết.
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(4,0 đ)
a) (1,5 đ)
 A = 3 + 32 + 33 + 34 +3100
=> 3A = 32 + 33 + 34 +3100 + 3101
=> 3A – A = 3101 – 3
=> A = 
2
b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3
vì = 3 => y = 3
 B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3 
2
Câu 2
(3,5đ)
a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12
Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12
 Mà ( 11a + 2b) 12 => ( a + 34b) 12 
0,5
0,5
b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7
Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có
* * 
* * 
Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)
c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200
Vì khi chia a cho 5,7,11 có số dư lần lượt là 3,4,6
=> a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6 
 => 2a - 1 BC (5; 7; 11)
Tìm được a = 193
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3
(3,0 đ)
Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
 chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 => 12 + x + y9 (1)
 chia hết cho 4 khi 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
0,5
0,5
0,5
0,5
2. Cho 
a) Chứng minh x 0
Vì => 
=> 6x => x 0 
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên
Vì x 0 => ó x + x+1+x+2 = 6x
ó 3x - 6x = -3 ó x = 1 (t/m)
0,5
0,5
0,5 
0,5
Câu 4
(2,0 đ)
 a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1 
Ta có: n2 – n – 1 n – 1 ó n(n-1) – 1 n – 1
=> -1 n – 1 => n – 1 => n 
0,5
0,5
b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1
=> 3(2n+1) – 2(3n+1) d => 1 d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = 1
0,5
0,5
5
 O A B D x
 Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm . Vì 2cm OA < OB nên A nằm giữa O và B
0,5
0,5
Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB
 ó 2 + AB = 4 => AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm
0,5
0,5
Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm
Nên A là trung điểm của OB
0,5
0,5
Ta có BD = 2 . BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1)
Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D => OB + BD = OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD
0,5
0,5
ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7
Thời gian 120 phút
Câu 1( 3 điểm). 
a) Tính giá trị các biểu thức sau: 
 A = B = 
b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 .92 – 2.3n
Câu 2 (3 điểm). 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 
c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24
Câu 3 ( 4 điểm)
	1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105
2. Tìm x,y,z biết: 
Câu 4 ( 2 điểm)
 a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1 
 b) Cho A = (1 - So sánh A với 
Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có . Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC).
a. Chứng minh rằng: ADC – ADB = B – C 
b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng: AEB = HAD = ()
c. Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết = 400
Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.
 Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192 
.Hết.
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(3,0đ)
a) Tính giá trị các biểu thức sau: 
 A = = B = = 36
1,5
b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 .92 – 2.3n
ó 3-1.3n + 2.3n = 7.36 ó 3n-1 = 36 ó n = 7
1,5
Câu 2
(3,0đ)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
Vì (x + )2 + 5 với mọi x R
=> dấu “=” xảy ra khi x = - . 
Giá trị lớn nhất là tại x = - . 
0,5
0,5
b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 
Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => 
Mặt khác x + y = => x + y = x + y => y = -1
Khi đó x – 1 = x(-1) => x = 
0,5
0,5
c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24
Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3
 p2 – 1 = (p - 1)( p + 1) 
Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) 8
Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết cho 3
nên (p - 1) hoặc ( p + 1) 3. Vì (3;8)=1 nên p2 – 124
0,5
0,5
Câu 3
(3,0 đ)
1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105
 ó b = -2 và c = 2(a+1) -2
ó b = và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được
a = 52; b = c = 104
0,5
0,5
1,0
 2. Tìm x,y,z biết: 
Vì 
 Mà nên
* x - = 0 ó x = ; y + = 0 => y = - Tính được z = - 
0,5
0,5
1,0
Câu 4
(2,0 đ)
 a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) n + 1 
Ta có: 2n2 + 3n +2 n + 1 ó 2n2 + 2n + n +1 + 1 n + 1
=> 1 n + 1 => n + 1 
 => n 
0,5
0,5
b) A = (1 - = 
=> A > 
0,5
0,5
5
 A
 E
 B H D C
0,5
a. Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD
Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam giac ABD và ACD nên:
ADC = B + BAD; ADB = C + CAD.
Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C
0,5
0,5
0,5
b. Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 ACD + ADB = 1800 ó ADC = 1800 – ADB
Kết hợp với câu a Ta được
 (1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C) 
=> ADB = 900 – ( B – C)
Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB
= 900 – [900 - ( B – C)] = ( B – C)
0,5
0,5
0,5
 0,5
c. Theo giả thiết ta có
ADC – ADB = 400
ADC + ADB = 1800
=> ADB = 700 ; ADC = 1100
=> HAD = 200
0,5
0,5
0,5
 0,5
Câu 6
Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp.
 Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 192 
m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng
m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2
Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1)
Ta có (k-1)k(k+1) 3 và (k-1)k.k(k+1) 4 nên (k-1)k2 (k+1) 12
16k2(k-1)(k+1) 16.12=192
0,5
0,5
0,5
0,5