Đề kiểm tra kiến thức lần 1 môn: Toán thời gian làm bài:: 180 phút

1 
CHUYÊN HẠ LONG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm 01 trang) 
ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LẦN 1 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài:: 180 phút 
Câu 1(4 điểm). Cho hàm số: 3 22 6 5y x x= − + − 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số đă cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua A(-1;-13) 
Câu 2 (2 điểm). Tính nguyên hàm dx
x
ex x∫ 





+
+
1
1
2
3
Câu 3 (2 điểm). 
1. Giải phương trình: 01027log3log3 =−+ xx 
2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 người đi hát đồng ca. Tính 
xác suất để trong 8 người được chọn có số nữ nhiều hơn số nam. 
Câu 4 (2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số xxxf −++= 6313)( 
Câu 5 (2 điểm). Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh a. Góc giữa 
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 . Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) nằm trong tam giác 
ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a. 
Câu 6 (2 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;1), B(3;2;2) và mặt phẳng 
(P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). 
Xác định hình chiếu vuông góc của A xuống (P). 
Câu 7 (2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3). 
 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 2. Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI nhỏ nhất. 
Câu 8 (2 điểm). Giải hệ phương trình 




−+=−−
+−=+++
xxyyxy
xyyxxy
26825
123102823
323
Câu 9 (2 điểm). Chứng minh rằng: Với mọi ABC∆ ta đều có 
9 3
sin sin sin cot cot cot
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C  
+ + + + ≥  
  
 -----------------HẾT----------------- 
Cảm ơn thầy Nguyễn Trung Kiên ( ntk.1969@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
2 
SƠ LƯỢC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
Câu Nội dung Điểm 
Câu 1 Cho hàm số: )(562 23 Cxxy −+−= 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 562 23 −+−= xxy 
TXĐ = R 
+∞=−∞=
−∞→∞→=
yy
xx
lim;lim 



=
=
⇔=
+−=
2
0
0'
126' 2
x
x
y
xxy
.. 
x ∞− 0 2 ∞+ 
y’ - 0 + 0 - 
y ∞+ 
 3 
 -5 
 ∞− 
. 
Hàm số đồng biến trên )2;0( , hàm số nghịch biến trên )2;(−∞ và ( )+∞;2 
Đồ thị hàm số có điểm cực đại là A(2;3), có điểm cực tiểu là B(0;-5) 
101212" =⇔=+−= xxy 
y” đổi dấu khi x qua 1 đồ thị hàm số có điểm uốn U(1;-1) 
Chính xác hóa đồ thị: 
x 0 2 1 3 -1 
y -5 3 -1 -5 3 
Đồ thị hàm số nhận U(1;-1) làm tâm đối xứng 
0,5 
0.5 
0,5 
3 
0,5 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua 
 A(-1;-13) 
.......................................................................................................................... 
Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị hàm số tại ))(;( 00 xfxB 
Phương trình tiếp tuyến tại B: ( )( ) ( )∆−+−−+−= 562126 20300020 xxxxxxy 
 đi qua A(-1;-13) ( ) ( ) 


−=
=
⇔=+−⇔
2
1
021
0
0
0
2
0
x
x
xx
. 
Có hai tiếp tuyến cần tìm: 
6148:
76:
2
1
−−=∆
−=∆
xy
xy
0,5 
0,5 
1 
Câu 2 Tính nguyên hàm dx
x
ex x∫ 





+
+
1
1
2
3
A= dx
x
ex x∫ 





+
+
1
1
2
3 3
2 1
x xxe dx dx
x
= +
+∫ ∫
TÍnh A1 = ∫ dxxe
x3
 đặt 



=
=
⇒



=
=
xx ev
dxdu
dvdxe
xu
33
3
1
1
3333
9
1
3
1
3
1
3
1 Cexedxexe xxxx +−=−= ∫
.
Tính A2 = 
2
2
22 2
1 ( 1) 1 ln 1
1 2 1 2
xdx d x
x C
x x
+
= = + +
+ +∫ ∫ 
Vậy 
3 3 21 1 1 ln 1
3 9 2
x xA xe e x C= − + + +
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
4 
Câu 3 1. Giải phương trình 01027log3log3 =−+ xx 
Điều kiện: 10 ≠< x 
Phưng trình trở thành: 010
log
9log
3
3 =−+
x
x 



=
=
⇔



=
=
⇔
9
3
3
3
3
9log
1log
x
x
x
x
0,25 
0.25 
0.5 
 2. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 9 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 8 
người đi hát đồng ca. Tính xác suất dể trong 8 người được chọn có số nữ 
nhiều hơn số nam. 
Số cách chọn ra 8 người là: 6435815 =C 
Số cách chọn ra 8 người mà số nữ nhiều hơn số nam là: 540..
2
9
6
6
3
9
5
6 =+ CCCC
. 
Xác suất để chọn được 8 người thỏa mãn là: 
143
12
6435
540
= 
0,25 
0.5 
0,25 
Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số xxxf −++= 6313)(
.................................................................................................................................
TXĐ = 



− 6;
3
1
xx
xf
−
−
+
=
62
3
132
3)('
 xác định trên 




− 6;
3
1
................................................................................................................................. 




−∈=⇔= 6;
3
1
4
50)(' xxf
.
( )
192
4
5
196
57
3
1
=





=
=





−
f
f
f
.......................................................................................................... 
Vậy 19)6()(min
6;
3
1
==






−∈
fxf
x
 192
4
5)(max
6;
3
1
=





=






−∈
fxf
x
0,25 
0,5 
0,25 
0,5 
0,5 
Câu 5 
Cho hình chóp S.ABC có các mặt ABC và SBC là những tam giác đều cạnh a. 
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 hình chiếu vuông góc của S 
5 
xuống (ABC) nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và 
tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). 
Gọi M là trung điểm của BC 
Lập luận được góc giữa (SBC) và (ABC) là góc ∠ SMA = 600 
 SAM đều cạnh bằng 
16
33
2
3 2aSAMdta =∆⇒ 
16
3
..
3
1 3
.
aSAMdtBCV ABCS =∆=
.
16
39
2
3
.
4
13
.
2
1 2aaaSACdt ==∆ 
13
133
16
39
.16
3.33))(;(
2
3
.
a
a
a
SACdt
VSACBd SACB ==
∆
= 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu 6 Cho A(2;1;1), B(3;2;2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 5z – 3 = 0. Viết phương trình 
mặt phẳng ( )α đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P). Xác định hình chiếu 
vuông góc của A xuống (P). 
Chọn )1;6;7(−=∧= βα nABn 
............................................................................................................................... 
⇒ phương trình mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( ) 0111627: =−+−+−− zyxα 
Hay 0767 =+++− zyx
Gọi A’(x0;y0;z0) là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (P),Ta có: 
' ( )A P∈ và ', PAA n



 


 cùng phương. 






⇒




−
−
=
−
=
−
=−−+
⇔
3
1
;
15
19
;
15
32
'
5
1
2
1
1
2
0352
000
000
Azyx
zyx
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
6 
Câu 7 Cho tam giác ABC có A(2;6), B(1;1), C(6;3). 
a)Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 
2 2 2 22 2 0,( 0).x y ax by c a b c+ + + + = + − > 
Ta có 
4 36 4 12 0
1 1 2 2 0
36 9 12 6 0
139 147 240
; ;
46 46 23
a b c
a b c
a b c
a b c
+ + + + =

+ + + + =
 + + + + =
− −
⇒ = = = (thỏa mãn) 
Vậy pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: 2 2 139 147 240 0.
23 23 23
x y x y+ − − + = 
b) Tìm trên các cạnh AB, BC, CA các điểm K, H, I sao cho chu vi tam giác KHI 
nhỏ nhất. 
A(2;6), B(1;1), C(6;3) 
Ta có: ( 1; 5); (4; 3); (5;2) 26; 5; 29AB AC BC AB AC BC− − − ⇒ = = =



 


 



  BC AB AC A C B> > ⇒ > > , mà cos 0A > ABC nhọn. 
................................................................................................................................ 
Gọi E, F lần lượt đối xứng với H qua AB, AC. Ta có: 
AE AH AF= = , suy ra tam giác AEF cân tại A và  2EAF A= . 
Chu vi HIK KE KJ IF EF∆ = + + ≥
 . 
Gọi M là trung điểm EF, trong tam giác vuông AME, ta có 
.sin sinME AE A AH A= =
 , 
Suy ra: Chu vi tam giác HKI là 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
7 
KE KJ IF EF+ + ≥ 2EF 2sin . 2sin . ( , ) dt ABCA AH A d A BC
R
∆
= ≥ = 
Dấu “=” xảy ra ⇔ H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và K,I là giao điểm 
của EF với AB, AC. 
Ta chứng minh:   IHF CHF A+ = . 
Có:         0 01 (180 2 ) 90
2
IHF AHF AHI AHF AFI AHF A C A= − = − = − − = − + 
 090FHC C= − , suy ra :   IHF CHF A+ = , suy ra tứ giác ABHI nội tiếp, suy 
ra   090AIB AHB= = , suy ra I là chân đường cao tam giác ABC kẻ từ B. Tương 
tự có K là chân đường cao của C xuống AB. 
.............................................................................................................................. 
Phương trình các đường thẳng 
( ) :5 4 0;( ) :3 4 30 0;( ) : 2 5 3 0
( ) :5 2 22 0;( ) : 4 3 1 0;( ) : 5 21 0
AB x y AC x y BC x y
AH x y BI x y CK x y
− − = + − = − + =
+ − = − − = + − =
Suy ra: 


















25
117
;
25
94
26
101
;
26
41
29
59
;
29
104
I
K
H
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 8 
Giải hệ phương trình 




−+=−−
+−=+++
xxyyxy
xyyxxy
26825
123102823
323
Điều kiện: [ ]2;2−∈x 
Nhận xét y = 0 không thỏa mãn phương trình (2) 
( ) (*)232232)2( 33 





+





=−+−⇔
yy
xx
...............................................................................................................................
Xét hàm số tttf 3)( 3 += trên R hàm số đồng biến trên R 
( )
y
x
y
fxf 2222(*) =−⇔





=−⇔ thế vào (1) 
.............................................................................................................................. 
(**)0103442623
2631022423
123102823)1(
2
=−+−+−−+⇔
−+−=−+++⇔
+−=+++⇔
xxxx
xxxxx
xyyxxy
...............................................................................................................................
Đặt 22 44310222 xxttxx −−−=⇒=−−+ 
0,5 
0,5 
0,5 
8 
Phương trình (**) trở thành 


=
=
⇔=−
3
0
03 2
t
t
tt
.............................................................................................................................
- Với t=0: 5
5
6
== yx 
- Với t=3: 2 2 2 3x x+ − − =
, phương trình vô nghiệm, vì vế trái 2≤ 
0,25 
0,25 
Câu 8 Chứng minh rằng: Với mọi ABC∆ ta đều có 
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥





++





++
CBACBA
.................................................................................................................................. 
Ta có : 
, , 0;
2 2 2 2
A B C pi 
∈ 
 
 nên 
sin ,sin ,sin ,cos , os ,cos 0
2 2 2 2 2 2
A B C A B A
c >
0
2
sin
2
sin
2
sin3
2
sin
2
sin
2
sin 3 ≥≥++ CBACBA
cot cot cot
2 2 2
sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2
sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2
sin (sin cos sin cos )
2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2 2
sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
2sin sin sin
2 2
A B C
A B C C B
A B C
B A C C A
A B C
C A B B A
A B C
A A B B C C
A B C
+ +
+
=
+
+
+
+
+ +
=
3
2
sin cos .sin cos .sin cos
2 2 2 2 2 23
2sin sin sin
2 2 2
A A B B C C
A B C≥
. 
3
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin CBACBACBA ≥





++





++
0,5 
9 
Lại có 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥CBA
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥





++





++
CBACBA
Dấu “=” xảy ra ABC đều 
0,5 
0,5 
0,5 
Cảm ơn thầy Nguyễn Trung Kiên ( ntk.1969@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl