CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 1 (14-15) Bài 1: (4 điểm) a) Cho các số a, b, c khác nhau và thỏa mãn: 2 2a b c b c a 2015 . Tính giá trị của biểu thức 2M c a b b) Chứng minh rằng: nếu a b 2 thì phương trình (ẩn x): 22ax bx 1 a 0 có nghiệm. Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 3 3 3 x 3x x 7 0 x 1 x 1 b) 2 2 2 xy x 1 7y x y xy 1 13y Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c abc . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 21 a 1 b 1 c b) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: 2 p 23 có đúng 6 ước dương. Bài 4: (6 điểm) Cho ABC nội tiếp (O;R) có AB AC R 2 . M là điểm di động trên cung AC. Gọi D là giao điểm của AM và BC. a) Tính độ dài BC theo R. b) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AD. Xác định vị trí của điểm M để AM ON nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các tia BA, CD cắt nhau tại E, các tia DA, CB cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp CEF cắt đường tròn (O) tại N (khác C). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh: M, A, N thẳng hàng. ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quận 1 (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 1 (14-15) Bài 1: (4 điểm) a) Cho các số a, b, c khác nhau và thỏa mãn: 2 2a b c b c a 2015 . Tính giá trị của biểu thức 2M c a b Cách 1: Ta có: 2 2 a b c a ab ac bc abc 2015 b c a b bc ab ac abc 2015 Do đó: a b ab bc ca 0 ab bc ca 0 vì a b abc 2015 Vậy 2c a b c ca bc ab abc 2015 2015 Cách 2: Ta có: 2 2 2 2 2 2a b c b c a a b a c b c b a 0 ab a b c a b a b 0 a b ab bc ca 0 ab bc ca 0 vì a b Do đó: 2a b c a ab ac a bc abc Vì vậy: 2 2M c a b c ca bc c ab abc a b c 2015 Vậy M 2015 b) Chứng minh rằng: nếu a b 2 thì phương trình (ẩn x): 22ax bx 1 a 0 có nghiệm. Cách 1: Xét phương trình: 2 2ax bx 1 a 0 (1) với a b 2 a 0 b 2 : (1) có dạng: 1bx 1 x do b 2 nên b 0 b . Vậy (1) có nghiệm. a 0 : 2b 8a 1 a a 1 a 0 a < 0 hay a 1 thì 0 1 có nghiệm. a 1 a 0 0 a 1 : từ gt ta có : b 2 a 2 a 2 2 2 2 2 2 b 4 4a a b 8a 1 a 8a 1 a 4 4a a 9a 12a 4 3a 2 0 0 1 có nghiệm. Cách 2: 2 2 2b 8a 1 a b 8a 8a Từ gt ta có: 24 a a b 8 a 8a 4a 4 ab 8a 2 Mặt khác: 2 2 2 2b 4a 2 4a b 4 ab 3 Từ (2) và (3) cho ta: 2 2 2 2 8a b 8a 8a b 8a 0 0 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quận 1 (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 1 (14-15) Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 3 3 3 x 3x a) x 7 0 x 1 x 1 (1) Điều kiện: x 1 3 2 2 x x x 3x 1 x 3 x 1 8 x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 3 2 2 2 2 3 3x x 3x x 3 1 2 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 5 1 0 x x 1 0 x thỏa mãn x 1 2 Vậy 1 S 2 2 2 2 xy x 1 7y 1 b) x y xy 1 13y 2 2 có y 0 . Do đó hệ phương trình trở thành: 2 2 2 1 xx 1 x 7x 7 y yy y x 1 x x 13 x 13 y y y y Đặt: 1 a x y x b y Khi đó hệ phương trình trở thành: 2 2 a b 7 a b 7 a 5 a 4 hay b 12 b 3a b 13 a a 20 0 Với 1 x 5 a 5 y b 12 1 x. 12 y theo định lý Vi-ét đảo thì 1 x, y là nghiệm của phương trình: 2 t 5t 12 0 : phương trình vô nghiệm. Với 1 x 4 a 4 y b 3 1 x. 3 y theo định lý Vi-ét đảo thì 1 x, y là nghiệm của phương trình: 2 h 4h 3 0 x 1 x 3 h 1 hay 1 1 3 1h 3 y y x 1 3 hay1 y 1y 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1 x;y 3;1 ; 1; 3 CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 1 (14-15) Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c abc . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 21 a 1 b 1 c Với a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c abc 2 22 1 1 abc bc bc 1 a abc a a b c bc a a b c a b a c1 a b c 1 b c . 1 2 a b a ca b a c Tương tự: 2 2 1 1 c a 1 1 a b 2 ; 2 b c b a 2 a c b c1 b 1 c (3) Từ (1), (2), (3) cho ta: 2 2 2 1 1 1 3 21 a 1 b 1 c b) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: 2 p 23 có đúng 6 ước dương. Với p = 2 thì 2 3p 23 27 3 có đúng 4 ước dương (loại). Với p = 3 thì 2 5p 23 32 2 có đúng 6 ước dương (nhận). Với p > 3 thì 2 2p 23 p 1 24 ( Ta có: p > 3, p P nên p 1;p 1 là hai số chẵn liên tiếp 2p 1 p 1 p 1 4 Mà 24 4 2 p 23 4 (1) Mặt khác: p > 3, p P nên p không thể chia hết cho 3. Mà p 1;p;p 1 là ba số liên tiếp nên tồn tại một số 3 2p 1 p 1 p 1 3 Mà 24 3 Nên 2p 23 3 (2) Ta có : 3;4 1 (3) Từ (1) , (2), (3) ta có : 2 p 23 12 Ta lại có : 2 12 2 .3 có 2 1 1 1 6 ước dương. Mà 2 p 23 12 nên 2p 23 có nhiều hơn 6 ước dương (loại) [số ước nguyên dương của một số bằng tích của các số mũ cộng 1] Vậy p = 3 là giá trị cần tìm. Bài 4: (6 điểm) Cho ABC nội tiếp (O;R) có AB AC R 2 . M là điểm di động trên cung AC. Gọi D là giao điểm của AM và BC. N D A COB M CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 1 (14-15) a) Tính độ dài BC theo R. AOB có: 2 2 2 2 0OA OB AB 2R AOB 90 Tương tự: 0 AOC 90 . Nên B, O, C thẳng hàng BC 2R b) Gọi N là trung điểm của đoạn AD. Xác định vị trí của điểm M để AM ON nhỏ nhất. Ta có: AD ON 2 ACM ADC ∽ (g-g) 2 2 2 AC AM AM.AD AC R 2 2R AD AC Ta có: 2 AM.AD AM ON 2 AM.ON 2 2 R 2R:Không đổi 2 Dấu “=” xảy ra 0AM ON R sđAM 60 Vậy khi M AC , 0sđAM 60 thì AM ON nhỏ nhất. Bài 5 : (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các tia BA, CD cắt nhau tại E, các tia DA, CB cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp CEF cắt đường tròn (O) tại N (khác C). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh: M, A, N thẳng hàng. Gọi T là giao điểm của NA và EF. Ta có: TAF DAN đối đỉnh TFN DA cùng bù ECN( )N TAF TFN TAF TFN g g ∽ 2 TA TF TF TA.TN TF TN Mặt khác: TAE BAN đối đỉnh TAE TEN TEN BAN BCN TAE TEN g g ∽ 2 2 2 TA TE TE TA.TN TE TF TA.TN T M TE TN Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng. HẾT T N M E F O A C D B
Tài liệu đính kèm: