SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 Mụn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 3 3 3( 1) 1, y x mx m x m = - + - - + (1) (với m là tham số). a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi 1. m = b) Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại A của đồ thị hàm số (1). Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để diện tớch tam giỏc OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ. Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: sin 4 2 cos3 4sin cos . x x x x + = + + Cõu 3 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: 2 1 2 3 1 4 3. x x x x + + = - + + Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: 2 2 2 2 3 . 1 1 x dx x x + + - ũ Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2 a , , SA SB = SA vuụng gúc với AC , mặt phẳng ( ) SCD tạo với mặt phẳng đỏy một gúc bằng 60 O . Tớnh thể tớch khối chúp . S ABCD theo a . Cõu 6 (1,0 điểm). Cho , , x y z là ba số thực dương thỏa món 3 xy yz zx xyz + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 . (3 1) (3 1) (3 1) 4 x x y y z z + + ³ - - - II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trỡnh Chuẩn Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh A thuộc đường thẳng : 4 0, d x y - - = đường thẳng BC đi qua điểm (4;0), M đường thẳng CD đi qua điểm (0;2). N Biết tam giỏc AMN cõn tại A , viết phương trỡnh đường thẳng BC. Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (3;1; 4). A - Tỡm tọa độ cỏc điểm , B C thuộc trục Oy sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A . Cõu 9.a (1,0 điểm). Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiờn cựng lỳc ra 4 quả cầu từ hộp đú. Tớnh xỏc suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra cú đỳng một quả cầu màu đỏ và khụng quỏ hai quả cầu màu vàng. B. Theo chương trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho hỡnh vuụng ABCD, cú BD nằm trờn đường thẳng : 3 0 d x y + - = , điểm ( 1;2) M - thuộc đường thẳng AB, điểm (2; 2) N - thuộc đường thẳng AD. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng ABCD biết điểm B cú hoành độ dương. Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 1 0 x y z - - + = và điểm ( ) 3; 2; 2 A - - . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) Q đi qua A , vuụng gúc với mặt phẳng ( ) P và cắt cỏc trục , Oy Oz lần lượt tại , M N sao cho OM ON = (M, N khụng trựng với O). Cõu 9.b (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh: ( ) ( ) 2 2 log 3 1 6 1 log 7 10 x x + + - ³ - - . ưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 Mụn: TOÁN; Khối B HƯỚNG DẪN CHẤM I. LƯU í CHUNG: ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. II. ĐÁP ÁN: Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm 1 a 1,0 Khi 1 m = ta cú hàm số 3 2 3 y x x = - Tập xỏc định: D = Ă . Ta cú 2 ' 3 6 y x x = - ; 0 ' 0 2 x y x = ộ = Û ờ = ở 0,25 ư Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ;0) -Ơ và (2; ) +Ơ ; nghịch biến trờn khoảng (0;2) . ư Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0, 0 CD x y = = ; đạt cực tiểu tại 2 , 4 CT x y = = - ư Giới hạn: lim , lim x x y y đ+Ơ đ-Ơ = +Ơ = -Ơ . 0,25 Bảng biến thiờn: x 0 2 y' + 0 ư 0 + y 0 ư4 +Ơ +Ơ -Ơ -Ơ 0,25 Đồ thị: 0,25 b 1,0 Ta cú ( ) 2 2 3 6 3 1 ; y x mx m  = - + - 2 2 1 0 2 1 0 1 x m y x mx m x m = - ộ  = Û - + - = Û ờ = + ở 0,25 www.VNMATH.com Suy ra hàm số cú cực đại và cực tiểu với mọi mẻ Ă . Ta cú ''( 1) 6; ''( 1) 6 y m y m - = - + = , do đú điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( ) 1 ; 3 3 A m m - - + . Phương trỡnh tiếp tuyến d : ( )( ) : 3 3 A A A y y x x x y d y m  = - + Û = - + 0,25 Ta cú { } ( ) 0 ; 3 3 B d Oy B m = ầ ị - + . Điều kiện cú tam giỏc là 1 m ạ . 0,25 Do tiếp tuyến song song với trục Ox nờn tam giỏc OAB vuụng tại B . 1 , AB m = - 3 3 OB m = - + . Nờn diện tớch tam giỏc OAB là ( ) 2 1 1 . 1 4 3 2 OAB m S ABOB m m D = - ộ = Û - = Û ờ = ở . Vậy 1 m = - và 3 m = thoả món yờu cầu. 0,25 2 1,0 Phương trỡnh đó cho tương đương với 4sin .cos .cos 2 2 cos3 4sin cos x x x x x x + = + + 0,25 ( ) 2sin 2cos .cos 2 2 2 cos3 cos 0 x x x x x Û - + - - = ( ) 2sin cos3 cos 2 2 cos3 cos 0 (2sin 1)(cos3 cos 2) 0 x x x x x x x x Û + - + - - = Û - + - = 0,25 *) 2 1 6 sin 5 2 2 6 x k x x k p p p p ộ = + ờ = Û ờ ờ = + ờ ở *) 3 cos3 cos 2 0 4cos 2cos 2 0 cos 1 2 x x x x x x k p + - = Û - - = Û = Û = 0,25 Vậy phương trỡnh cú cỏc nghiệm: 5 2 , 2 6 6 x k x k p p p p = + = + và 2 x k p = với k ẻ 0,25 3 1,0 ĐK: 0 1 2 1 x x x ạ ỡ ù ùộ ³ - ớ ờ ù ờ ù Ê - ở ợ (*) 0,25 ư Nếu 0 x > thỡ phương trỡnh tương đương với 2 2 3 1 3 1 2 4 x x x x + + = - + + ( ) 1 . Đặt 2 3 1 2 ( 0) t t x x = + + ³ ( ) 1 . Phương trỡnh (1) trở thành 2 0 3 6 t t t t ³ ỡ Û = ớ = - ợ . Với 3 t = , ta cú 2 2 3 37 ( ) 3 1 14 2 3 7 3 1 0 3 37 ( . ) 14 x tm x x x x x k tm ộ + = ờ ờ + + = Û - - = Û ờ - = ờ ở 0,25 ưNếu 0 x < thỡ phương trỡnh tương đương với 2 2 3 1 3 1 2 4 x x x x + + = - - ( ) 2 . 0,25 www.VNMATH.com Đặt 2 3 1 2 t x x = + + , ( 0) t ³ . Phương trỡnh ( ) 2 trở thành 2 0 2 6 t t t t ³ ỡ Û = ớ = - ợ . Với 2 t = , ta cú 2 2 3 17 ( . ) 3 1 4 2 2 2 3 1 0 3 17 ( ) 4 x k tm x x x x x tm ộ + = ờ ờ + + = Û - - = Û ờ - = ờ ở Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là: 3 37 14 x + = , 3 17 4 x - = . 0,25 4 1,0 Đặt 2 2 2 1 1 . t x x t xdx tdt = + ị = - ị = Đổi cận : x 3 2 2 t 2 3 0,25 Ta cú ( )( ) 3 3 2 2 2 2 2 1 tdt tdt I dx t t t t = = + - + - ũ ũ 0,25 3 3 3 2 2 2 1 1 2 1 2 ln| 1| ln| 2 | 3 1 2 3 3 dt t t t t ộ ự = + = - + + ờ ỳ - + ở ỷ ũ 0,25 ( ) ( ) 1 2 1 ln 2 ln 5 ln 4 2 ln5 3ln 2 . 3 3 3 = + - = - Vậy ( ) 1 2ln5 3ln 2 . 3 I = - 0,25 5 1,0 H O M D B A C S Gọi O là tõm của đỏy, M là trung điểm của CD . Vỡ SA=SB nờn S thuộc mặt phẳng trung trực của AB (cũng là mặt phẳng trung trực của CD). Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng ( ) ABCD suy ra H OM ẻ . Lại cú AC SH AC AH AC SA ^ ỡ ị ^ ớ ^ ợ , hay tam giỏc AOH vuụng cõn tại A. 0,25 Ta cú ( ) SHM CD ^ ị gúc ã SMH là gúc giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ( ) ABCD ã 60 . O SMH ị = 0,25 www.VNMATH.com Tứ giỏc AOBH là hỡnh vuụng cạnh 3 2 . 2 a a HM ị = Trong tam giỏc vuụng SHM ta cú 0 3 6 . tan 60 . 2 a SH HM = = 0,25 Thể tớch khối chúp . S ABCD là 2 3 1 1 3 6 . 2 6 3 3 2 ABCD a V SH S a a = = = (đvtt). 0,25 6 1,0 Từ giả thiết 1 1 1 3 3. xy yz zx xyz x y z + + = Û + + = Đặt 1 1 1 1 1 1 , , 3. a b c a b c x y z x y z = = = ị + + = + + = Ta cú ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 ; 3 1 3 a a x x a b c = = - - + ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 ; 3 1 3 b b y y b a c = = - - + ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 . 3 1 3 c c z z c a b = = - - + 0,25 Bất đẳng thức đó cho tương đương: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 4 a b c b c c a a b + + ³ + + + Áp dụng bất đẳng thức Cụưsi ta cú: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 8 8 4 b c b c a a b c + + + + ³ + ; ( ) ( ) ( ) 3 2 3 8 8 4 c a c a b b c a + + + + ³ + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 8 8 4 a b a b c c a b + + + + ³ + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 3 1 4 2 a b c a b c a b c b c c a a b + + ³ + + - + + + + + 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 3 . 4 4 a b c a b c b c c a a b Û + + ³ + + = + + + Đẳng thức xảy ra 1 1. a b c x y z Û = = = Û = = = 0,25 7.a 1,0 d A D B C M N Giả sử ( ) ; 4 A t t d - ẻ , do tam giỏc AMN cõn tại đỉnh A nờn 2 2 AM AN AM AN = Û = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 6 1 1; 5 t t t t t A Û - + - = + - Û = - ị - - 0,25 BC đi qua ( ) 4;0 M nờn phương trỡnh BC cú dạng 0,25 www.VNMATH.com ( ) 2 2 4 0 0 ax by a a b + - = + > Do CD BC ^ và CD đi qua ( ) 0;2 N ị phương trỡnhCD : 2 0 bx ay a - + = . Do ABCD là hỡnh vuụng nờn khoảng cỏch ( ) ( ) , , d A BC d A CD = 2 2 2 2 3 0 5 5 7 3 0 a b a b a b a b a b a b + = - - - ộ Û = Û ờ - = + + ở 0,25 ư Nếu 3 0 a b + = , chọn 1 3 a b = ị = - ị phương trỡnh : 3 4 0 BC x y - - = ư Nếu 3 0 a b - = , chọn 3 1 a b = ị = ị phương trỡnh : 3 12 0 BC x y + - = . 0,25 8.a 1,0 Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn trục Oy, suy ra (0;1;0) H . Do đú (3;0; 4) 5. HA HA - ị = uuur 0,25 B thuộc Oy nờn (0; ;0) (0; 1;0) B b HB b ị - uuur . Do tam giỏc ABC vuụng cõn tại A nờn 6 | 1| 5 4 b HB HA b b = ộ = ị - = ị ờ = - ở 0,25 ưVới 6 (0;6;0) (0; 4;0) b B C = ị ị - . 0,25 ưVới 4 (0; 4;0) (0;6;0) b B C = - ị - ị . 0,25 9.a 1,0 Số phần tử của khụng gian mẫu là 4 16 1820 C W = = . 0,25 Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được cú đỳng một quả cầu màu đỏ và khụng quỏ hai quả màu vàng”. Ta xột ba khả năng sau: ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 1 3 4 5 C C ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 1 2 1 4 5 7 C C C ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: 1 1 2 4 5 7 C C C 0,25 Khi đú 1 3 1 1 2 1 2 1 4 5 4 7 5 4 7 5 740 B C C C C C C C C W = + + = . 0,25 Xỏc suất của biến cố B là ( ) 740 37 1820 91 B P B W = = = W . 0,25 7.b 1,0 Gọi H là hỡnh chiếu của M trờn d, suy ra ( ;3 ) H t t - . Ta cú ( 1;1 ) MH t t + - uuuur , d cú vộc tơ chỉ phương (1; 1) u - r . MH vuụng gúc với d suy ra 1 1 0 0 (1;1) t t t MH + - + = ị = ị uuuur . 0,25 Do đú 2. 2 MB MH = = . B thuộc d nờn ( ;3 ) B b b - ; 2 2 2 ( 1) (1 ) 4 MB b b = Û + + - = Suy ra 1 b = hoặc 1 b = - (loại). Từ đú (1;2) B . 0,25 AB đi qua M và B nờn phương trỡnh AB là 2. y = AD qua N và vuụng gúc với AB nờn phương trỡnh AD là 2 x = . Vậy (2;2) A . 0,25 A D B C M H N www.VNMATH.com Tọa độ D là nghiệm hệ 2 (2;1) 3 0 x D x y = ỡ ị ớ + - = ợ . Gọi I là trung điểm BD suy ra 3 3 ; 2 2 I ổ ử ỗ ữ ố ứ . I là trung điểm AC nờn (1;1). C Vậy (2;2), (1;2), (1;1), (2;1). A B C D 0,25 8.b 1,0 Gọi ( ) ( ) 0; ;0 , 0;0; M a N b trong đú 0 ab ạ . Ta cú ( ) ( ) 3;2 ;2 , 3;2; 2 AM a AN b = - + = - + uuuur uuur . 0,25 Gọi vộctơ phỏp tuyến của ( ) Q là Q n r ( ) , 2 2 ; 3 ;3 Q n AM AN a b ab a b ộ ự ị = = + + ở ỷ uuuur uuur r .Vộctơ phỏp tuyến của mặt phẳng ( ) P là ( ) 1; 1; 1 P n = - - r . 0,25 ( ) ( ) . 0 0 P Q P Q P Q n n n n ab a b ^ Û ^ Û = Û - - = r r r r (1) và (2) a b OM ON a b a b = ộ = Û = Û ờ = - ở . 0,25 Từ (1) và (2) ta được + 0 ( ) 2 a loai a b a = ộ = ị ờ = ở . Với ( ) ( ) 2 12;6;6 :2 2 0 Q a n Q x y z = ị = ị + + - = r + 0 ( ) a b a loai = - ị = . Vậy phương trỡnh ( ) : 2 2 0 Q x y z + + - = . 0,25 9.b 1,0 ĐK : 1 10 3 x - Ê Ê . Bất phương trỡnh tương đương ( ) 2 2 6 3 1 log log 7 10 2 x x + + ³ - - 0,25 ( )( ) 3 1 2 10 8 4 3 1 10 23 x x x x x Û + + - ³ Û + - ³ + 0,25 Với 1 10 3 x - Ê Ê bất phương trỡnh tương đương với 2 369 49 418 369 0 1 49 x x x - + Ê Û Ê Ê 0,25 Kết hợp với điều kiện ta cú nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là : 369 1 49 x Ê Ê 0,25 ưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưư www.VNMATH.com
Tài liệu đính kèm: