Đề khảo sát học sinh giỏi năm học: 2015 - 2016 môn toán lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2015 - 2016
Câu 1.(4 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a1. a2. a3. 
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 
 Rút gọn biểu thức: A= 
Câu 2.(4 điểm)
a) Cho	 Tính 
b) Với mọi x, y, Cho : , chứng minh rằng: 
Câu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng : là số chính phương.
 b) Cho là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5.
Chứng minh rằng: chia hết cho 5.
Câu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
Câu 5. (2 điểm) Chứng minh rằng: P=
Với mọi a,b,c.
HẾT
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:.......................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG 
MÔN: TOÁN 8 
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 
5đ
a.1
 =
0.5
0.5
a.2
=
=
==
==
0.5
0.5
0.5
a.3
a3. ==
 =
0.5
0.5
b
 Rút gọn biểu thức: A= Ta có: 
A= 
0.5
0.5
0.5
Câu 2
A
2 đ
Ta có: 
Vậy: 
 do đó: 
0.5
0.5
0.5
0.5
B
1 đ
 với mọi x,y.
0.5
0.5
Câu
3
a
a) Chứng minh : là số chính phương.Thật vậy:
; ; Vậy A là số chính phương.
0.5
0.5
0.5
0.5
b
Dễ thấy: là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; còn là bội của 5 nên chia hết cho 5. 
Vậy; chia hết cho5
Xét hiệu 
 chia hết cho 5
Mà là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. 
Do vậy A chia hết cho 5.
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu
4
0,5
a
Ta có: ÐCAB = ÐFMB= 450 ÞAC // MF (Vị trí đồng vị) 
mà EB ^ MC (T/c đường chéo hình vuông) ÞEB ^ AC
∆ACB có: BE ^ AC; CM ^ ABÞ E là trực tâm của ∆ACB ÞAE ^ BC; 
0,5
0,5
0,5
b
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 
Þ ∆DHM vuông tại H
Þ ÐDHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: ÐMHF = 900
Suy ra: ÐDHM + ÐMHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ÐDMF = 900 Þ MF ^ DM mà IO ^ DM Þ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 
Kẻ IK ^ AB (KÎAB) 
Þ IK là đường trung bình của hình thang ABFD 
 (không đổi)
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu
5
Chứng minh rằng: P=
Với mọi a,b,c.
Thật vậy, với mọi a,b,c ta có:
; 
; 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được:
 .Điều phải chứng minh.
0,5
0,5
0,5
0,5