Đề khảo sát học sinh giỏi huyện Thái Thụy năm học 2015 - 2016 môn: Toán 7

PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (4,0 điểm). 
a) Tính 
b) Tìm x biết: 
c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 
Bài 2 (3,0 điểm). 
a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c ÎZ. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của đa thức B(x) tại 
Bài 3 (4,0 điểm). 
a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z
b) Tìm x, y, z biết:
	 và . 
Bài 4 (3,0 điểm). 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = + b - 5.
Bài 5 (5,0 điểm). 
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
	a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB
	b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
	c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK.
Bài 6 (1,0 điểm). 
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 
------HẾT------
Họ và tên học sinh:Số báo danh: ..
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015-2016
Bài
Nội dung
Biểu điểm
1
a) Tính 
b) Tìm x biết: 
c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 
a) Tính:
= 
Vậy : A = 0
0,5
0,75
0,25
b) Tìm x:
Vậy 
0,75
0,5
0,25
c) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 
+) Với x = 0, x = 1 thay vào không thỏa mãn
+) x =2 thay vào ta được (đúng), vậy x = 2 thỏa mãn
+) x > 2
Với x > 2 ta có 
( vì ) 
Suy ra x > 2 không thỏa mãn
Vây x =2
0,25
0,25
0,25
0,25
2
a) Cho f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c ÎZ. Biết f(-1); f(0); f(1) đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.
b) Cho đa thức B(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 . Tính giá trị của đa thức B(x) tại 
a) Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) vì ( 2; 3) = 1 
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3
0,25
0,5
0,5
0,25
b) Với x = thì giá trị của đa thức 
 2 B =() +2 - 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a) Cho x, y, z thỏa mãn: x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. 
 Chứng minh rằng: x = y = z
b) Tìm x, y, z biết:
 và . 
a) TH1: Nếu x = 0 thì y = z = 0 suy ra x = y = z. Tương tự với y; z
TH2: x, y, z là các số khác 0 từ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy Þ.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
 Þ 
Vậy x = y = z (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,25
b) Từ 
 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0
 20z = 24y = 30x 
 10z = 12y = 15x 
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
4
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 7 = + b - 5.
a) ĐK: x ≥ 0
Ta có x ≥ 0; 
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (tmđk)
Vậy Pmin = 0 tại x = 0
0,25
0,5
0,25
0,25
b) Nhận xét: Với x ≥ 0 thì + x = 2x
Với x < 0 thì + x = 0. Do đó + x luôn là số chẵn với " xÎZ.
Áp dụng nhận xét trên thì + b – 5 là số chẵn với b -5 Î Z.
Suy ra 2a + 7 là số chẵn Þ 2a lẻ Û a = 0 . 
Khi đó + b – 5 = 8
+ Nếu b < 5, ta có - (b – 5) + b – 5 = 8 Û 0 = 8 (loại)
+ Nếu b ≥ 5 , ta có 2(b – 5) = 8 Û b – 5 = 4 Û b = 9 (thỏa mãn)
vậy (a; b) = (0; 9)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.
	a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB
	b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
	c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK.
Vẽ hình và ghi GT, KL
0,5
a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)
1
b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) Þ MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1)
+) Chứng minh: ∆MFH = ∆HEM Þ ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH 
BH không đổi Þ MD + ME không đổi (đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,25
c) Vẽ DP^BC tại P, KQ^BC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC
+) Chứng minh : BD = FM = EH = CK
+) Chứng minh : ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn) Þ DP = KQ(cạnh tương ứng)
+) Chứng minh : Þ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ÞID = IK(đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
6
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 
+) 
Tương tự: 
+) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c
Nhân cả hai vế với a dương ta được: a2 < ab + ac
Tương tự: b2 < ba + bc; c2 < ca + cb
Þ a2 + b2 + c2 < ab + ac + ba + bc + ca + cb =2(ab+bc+ca) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
0,25
0,25
0,25
0,25
Lưu ý : 
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.