Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi THCS huyện Ý Yên năm học 2015 - 2016 môn: Toán – lớp 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HUYỆN Ý YÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI THCS
NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN : TOÁN – LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề gồm 01 trang
Bài 1. (6 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
2) Cho đa thức Q(x) với a, b, c ,d . Biết Q(x) chia hết cho 3 với mọi x . Chứng tỏ các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 3.
Bài 2. ( 4 điểm) 
	1) Biết (với ). 
 Chứng minh rằng: .	
2) Số M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3; 5; 6. Biết rằng tổng các lập phương của ba phần đó là 10728. Hãy tìm số M.
Bài 3. ( 6 điểm) Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD. Tại D kẻ đường vuông góc với AB cắt cạnh BC tại E. Tại E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại F.
 Chứng minh DF AC. Biết trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc thì bằng nửa cạnh huyền.
Chứng minh tam giác DEF đều.
Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF. Chứng minh GA = GB = GC.
Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và BE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng nếu thì .
Bài 5. ( 2 điểm) 
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức C= có giá trị lớn nhất.
Họ và tên thí sinh: 
Số báo danh:
Họ, tên chữ ký GT 1: .
Họ, tên chữ ký GT 2: .
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Hướng dẫn chung:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa.
2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm:
Bài 
ý
Nội dung đáp án
Điểm
1
(6,0đ)
1) 
(4đ)
 A= 
0,5
 = 
0,5
0,5
0,5
Tính: *) 
0,25
 ( vì )
0,25
*) 
0,25
 (vì )
0,25
1,0
2)
(2,0đ)
Cho đa thức Q(x) 
Vì Q(x) 3 với mọi x , nên
Với x = 0, ta có 3
0,5
Với x = 1, ta có Q(1) = 
 mà d3 => a + b +c 3 (1)
0,25
 Với x = -1, ta có 
 mà d3 => a + b – c 3 (2)
0,25
 3 mà (2 ; 3) =1 nên b3
0,25
 mà (2 ; 3) =1 nên a+c 3 (3)
0,25
Với x = 2 , ta có 
 hay 7a + (a + c) + 2b + d 3
0,25
Mà d3, a + c 3, b3 nên 7a3 mà (7; 3) = 1 => a3
Từ (3) suy ra c3=> đpcm
0,25
2
(4,0đ) 
1
(2,0đ) 
 Với , ta có
= 
0,25
 = 
0,25
Suy ra =0 , do đó (1)
0,5
 = 0, do đó (2)
0,5
 Từ (1) và (2) suy ra 
0,5
2
(2,0đ)
Gọi ba phần được chia của số M là x, y, z. , ta được x + y + z = M
0,25
 Theo đề bài ta có và (1)
0,25
 Hay và 
0,25
Suy ra 
0,5
 Thay vào (1), được 
0,25
 suy ra 20; y = 12; z =10 Vậy M = 42.
0,5
 3.
(6,0đ)
1)
(3,0đ)
 DABC đều nên AB =AC = BC = a và A = B =C = 600 
0,25
BD (gt) 
0,25
 Xét DBDE vuông tại D có B = 600 Þ DEB = 300 
0,25
Xét DBDE vuông tại D có DEB = 300 Þ BD = BE
 hay BE = 2 BD = 2 . a = a mà BC = a nên EC = a
0,5
 Tương tự, xét DECF vuông tại E có C = 600 Þ EFC = 300
 Þ AF = a
0,75
 Xét DADF và DBED có: 
 AD = BE (= a)
 A =B (= 600 ) 
 AF = BD (=a )
Þ DADF = DBED ( c. g. c) 
0,5
Þ AFD = BDE ( hai góc tương ứng)
 Mà BDE =900 ÞAFD =900 hay DF ^AC
0,5
2..
(1,5đ)
*) Chứng minh tương tự cũng có . D DBE = DECF (c.g.c) Þ DE = EF ( hai cạnh tương ứng)
0, 5
Có DADF = DBED ( c. g. c) (cmt) ÞDF = DE ( hai cạnh tương ứng)
0,5
Þ DE = DF = EF ÞDDEF là tam giác đều.
0,5
3) 
(1,5 đ)
XétrDEF đều có G là trọng tâm của tam giác ÞG là giao điểm của ba đường phân giác 
Þ GD, GE, GF là các đường phân giác của các góc EDF; DEF; DFE
0,25
 Có rDEF đều nên D = E= F = 600
 ÞD1= E1= F1 = 300 ( cùng bằng nửa góc D, E, F = 600)
0,25
 Suy ra BDG = 900 + 300 = 1200
 CEG = 900 + 300 = 1200
 AFG = 900 + 300 = 1200
0,25
 XétrDEF đều có G là trọng tâm của tam giác ÞG là giao điểm của ba đường trung trực ÞGD = GE = GF 
0,25
*) Xét DAGF và DBGD có 
 GF = GD 
 AFG = BDG ( = 1200)
 	AF = BD
ÞDAGF = DBGD (c. g. c) Þ GA = GB ( hai cạnh tương ứng)
0,25
Tương tự, có DAGF = DCGE (c. g. c) Þ AG = GC ( hai cạnh tương ứng)
0,25
Þ AG = BG = CG (đpcm)
4. (2,0đ)
Vẽ trung tuyến CF của Tam giác ABC, Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC.
0,25
C/M được : DANF = DBCF (c-g- c) Þ AN = BC 
0,25
 Xét DCAN có AN + AC > NC ( bất đẳng thức tam giác)
 Þ AC + BC > NC
0,25
 Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên CF = 3 GF ÞNC = 6 GF (1)
0,25
Ta sẽ chứng minh: nếu AGB thì GF 
Giả sử GF < hay GF < AF = BF thì FAG < AGF ; FBG < BGF ( quan hệ góc và cạnh tương ứng trong tam giác)
0,25
 ABG + BAG < FGB + FGA = AGB 900
0,25
Xét tam giác AGB có ABG + BAG + AGB < 900 + 900 = 1800 vô lí.
Vậy nếu AGB thì GF (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra AC + BC > 3AB ( đpcm)
0,25
5.
(2,0đ)
Biến đổi C = = 
0,5
 C có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi có giá trị lớn nhất
0,25
 Có x , ta xét các trường hợp sau
 Với x > 4 Þ 4 – x < 0 thì < 0 (1)
0,25
 Với x > 4 Þ 4 – x > 0 . Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
 Có x Suy ra 4 – x 
 Suy ra 4 – x là số nguyên dương nhỏ nhất Þ 4 - x = 1 Þ x = 3
 khi đó có giá trị là 10 (2) 
0,5
 Từ (1) và (2) , phân số lớn nhất bằng 10
0,25
Vậy GTLN của C bằng 13 khi và chỉ khi x = 3
0,25