Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 8 năm học 2013 - 2014 môn: Toán thời gian: 150 phút

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO 
CẨM GIÀNG
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho P =
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A = 75.(41992 + 41991 +.....+ 42 + 5) + 25
b) Xác định a, b, c sao cho 2x4 + ax2 + bx +c chia hết cho x - 2 cũng chia cho x2 - 1 thì dư 2x.
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Cho a + b + c 3. Chứng minh rằng a4 +b4+c4 a3 + b3 + c3 
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = là một số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm).
 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, tam giác ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:
a) AH = AK
b) AH2 = BH.CK
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC (H thuộc MC), AH cắt BC tại D. Tìm tỉ số 
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 Hết
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2013-2014
 MÔN: TOÁN
(Đáp án gồm 03 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1
a) Rút gọn P= 
b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 
Từ đó tìm được a 
1
 0,5
0,5
2
a
 A = 75.(41992 + 41991 +.....+ 42 + 5) +25
 = 25.(4 – 1). (41992 + 41991 +..... + 5) +25
 = 25.(41993 – 1) + 25
 = 25.( 41993 – 1 + 1) = 25.41993
0,25
0,5
0,25
b
Ta có: 2x4 + ax2 + bx + c = (x - 2)P(x)
 x = 2 ta được 4a + 2b + c = -32 (1)
 Ta có: 2x4 + ax2 + bx + c = (x - 1)(x + 1)Q(x) + 2x
 x = 1 ta được a + b + c = 0 (2)
 x = -1 ta được a - b + c = -4 (3)
 Kết hợp (1),(2), (3) được a = - , b = 2, c = 
0,5
0,5
3
a
Do a + b + c 3 nên ta đặt : 
 Thỏa mãn x + y + z 0
 Xét hiệu : 
Vậy: 
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z =0 hay a = b = c = 1
0,5
0,5
b
 Ta có 
A = 
A= (x2+5xy+4y2)( x2+5xy+6y2) +y4 đặt x2+5xy+5y2=t (tZ) thì
A= (t-y2)(t+y2)+ y4=t2=( x2+5xy+5y2)2 
Do x,y,tZ nên A là số chính phương 
0,25
0, 5
0,25
4
Vẽ hình đúng
0,25
1.a
b
Đặt AB = c, AC = b
BD//AC (cùng vuông góc với AB)
Nên 
Hay (1)
Tương tự ta có (2)
Từ (1) và (2) AH = AK
Từ (vì AH = AK)
AH2 = BH.KC
0,25
0,25
0,25
0,5
2
Vẽ hình đúng
Kẻ MI // BC ( I AD) MI = 
Ta có : ( Do MI // BC)
 ( 1) 
MAH và ACH đồng dạng ( g-g) 
 ( ABC vuông cân tại A nên AB = AC ) 
 AH = 2 MH
AMC vuông , ta có AH2 = MH . HC 
4MH2 = MH.HC HC = 4 MH 
Thay vào (1) ta có : 
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 252 khi x = – 4
1,0
HS làm đúng theo cách khác vẫn cho điểm.