Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lần 2 - Năm học 2015 - 2016 môn: Toán 8 thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THCS BỒ LÝ
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LẦN 2 - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm): 
Cho biểu thức 
	a) Rút gọn Q.
	b) Tính giá trị của Q biết .
	c) Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm):
	a) Cho đa thức . Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho các nhị thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều có số dư là 6 và tại x = -1 thì đa thức nhận giá trị -18.
b) Cho a > 0, b > 0 và a + b =1. Chứng minh rằng:
Câu 3 (1,5 điểm): 
Lúc 8 giờ An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4km/h. Lúc 8giờ 20 phút Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình. Khi về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp 4 lần quãng đường Bình đã đi. Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.
Câu 4 (2,0 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI tại G.
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
Câu 5 (1,5 điểm): 
Có 3 viên gạch kích thước 20x20(cm) xếp liền nhau và được kẻ như hình vẽ. Tính diện tích phần bị gạch. 
 -------------Hết-------------
Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Câu
ý
Hướng dẫn chấm
Thang điểm
1
a
ĐKXĐ: 
0.5
0.25
0.25
b
 x =2 ( loại); Vậy với x =-1/2 Q = -3
0.5
c
 với x {-3;-2-1}
0.5
2
a
 Ta có f(x) -6 chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3)
Vì f(x) bậc ba nên có dạng f(x) -6 =m(x-1).(x-2).(x-3), m là hằng số.
Lại có f(-1) = -18 -18-6=m(-2)(-3)(-4) m=1
Vậy f(x) -6 = (x-1).(x-2).(x-3) f(x) = x3-6x2+11x
0.25
0.25
0.25
0.25
b
3(a+1+b+1) 4(a+1)(b+1)
 9 4(ab+a+b+1) ( do a+b =1)
 9 4ab+ 8 1 4ab (a+b)2 4ab
 (a - b)2 0 đúng với mọi a, b.
0.25
0.25
0.25
0.25
3
Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x (km), x>0. 
Theo bài ra ta có quãng đường An đi được là 2x. Suy ra quãng đường Bình đã đi là: 
0.5
Do đó quãng đường Bình đi từ nhà đến khi gặp An là , quãng đường An đi từ nhà đến khi gặp Bình là: 
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là: ( giờ), thời gian Bình đi từ nhà đến khi gặp An là (giờ)
0.5
Theo bài ra, ta có phương trình: 
9x - 4x =16 x =(km)
0.5
4
0.5
a
Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, = (cùng phụ với DAE)
Vậy AE=AF
Vì AE=AF và AI là trung tuyến của AIEF
Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG =IFK ( so le trong) nên EG=FK
Tứ giác có EGFK có hai cạnh EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi.
1.0
c
Theo câu a) ta có: nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK= KF
Do đó chu vi tam giác =EK+ KC + CE =CF + CE=CD + DF + CE= 2CD ( không đổi)
0.5
5
Ta có Vì 
E là trung điểm của BH
+ Chứng minh tương tự ta có F là trung điểm của CG.
+ Mặt khác EHGF là hình bình hành I là trung điểm của EG, HF.
+ Do có chung đường cao hạ từ H, có đáy IG = EG
Tổng điểm
10.0