Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 05 (Phần 1) - Hình học - Trương Ngọc Vỹ

CHUYÊN ĐỀ 05 (Phần 1)
HÌNH HỌC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
 (1,0 điểm) Cho vuông tại , đường cao . Biết .
	a) Tính độ dài và số đo (làm tròn đến phút) 
	b) Phân giác của cắt tại . Tính độ dài . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , đường cao (). Biết . Tính độ dài và diện tích tam giác .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có và . Tính độ dài cạnh và giá trị của .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , có độ dài cạnh , cạnh . Gọi là đường cao của tam giác, tính diện tích tam giác .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , đường cao , biết , . Tính độ dài các cạnh .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có các cạnh .
a) Tính độ dài cạnh .
b) Kẻ đường cao . Tính độ dài đoạn thẳng .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , có độ dài các cạnh của tam giác thóa mãn hệ thức: , hãy tính số đo góc .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho vuông tai có Trên cạnh lấy điểm sao cho Tính độ dài đoạn thẳng .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Cho tam giácvuông tại , đường cao . Biết và . Tính độ dài các đoạn thẳng và 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục tọa độ.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có đường cao . Biết , . Tính độ dài và đường cao .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có đường cao và đường trung tuyến Biết , . Hãy tính và diện tích tam giác .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), biết (như hình vẽ bên). 
Tính số đo các góc .
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ - GIỎI XUẤT SẮC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KHÁNH HÒA năm 2021)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O, R) và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh OA ^ EF
c) Hai đường thẳng BE, CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là N và P. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M và cắt BC tại D. Tính giá trị biểu thức 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm ; là điểm chính giữa cung nhỏ .
a) Chứng minh .
b) Gọi là điểm trên cạnh sao cho khác là giao điểm của với đường tròn tâm ( khác ). Gọi là giao điểm của với là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao và của cắt
nhau tại 
a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của và đồng dạng với .
c) Giao điểm của với đường tròn là , cắt đường tròn tại Gọi là trung điểm của đọn thẳng . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho hình vuông , các điểm thay đổi trên các cạnh sao cho góc bằng ( không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi lần lượt là giao điểm của với . Chứng minh rằng:
1) Tứ giác và tứ giác là các tứ giác nội tiếp.
2) là phân giác của góc .
3) tiếp xúc với một đường tròn cố định
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021)
Cho đường tròn tâm (O; R), từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tâm O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ tiếp tuyến thứ hai MB (B là tiếp điểm).
a. Chứng minh tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Gọi I là giao điểm của AB và OM. Chứng minh .
c. Gọi điểm H là trục tâm của tam giác MAB. Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H.
1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh .
3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho tam giác có ba góc nhọn, . Vẽ các đường cao và của tam giác . Gọi là giao điểm của và .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Tính tỉ số .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Cho đường tròn (O), từ điểm A nẳm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại . Qua kẻ đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn (O) tại . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tai 
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh: vuông góc với .
c) Chứng minh: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính của đường tròn 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , các đường cao và và cắt nhau tại .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh 
c) Gọi là trung điểm của , tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng OM tại . Chứng minh 
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho đường tròn đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C 
(C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng CD tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác AODE nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (K không trùng với B). Chứng minh 
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho đường tròn đường kính , dây cung vuông góc với tại sao cho . Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác và ), tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) đồng dạng với .
c) .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Cho tam giác nhọn có đường cao và là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm đường kính , từ kẻ các tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh và .
c) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho hình chữ nhật . Gọi lần lượt là trung diểm của các canh và . Gọi là giao diểm của vói và là giao điểm của vói ; cắt tại K. Chứng minh điểm nằm trên đường tròn ngọi tiếp tam giác 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho vuông tại ngọi tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với các cạnh và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại Tính 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021)
Qua điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ( là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm (nằm giữa và).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và.
b) Chứng minh.
c) Gọi là trung điểm của dây cung và là giao điểm của hai đường thẳng và . Tính độ dài đoạn thẳng theo khi .
d) Qua tâm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại và . Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Cho đường tròn và dây cung ( không phải là đường kính). Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm . Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh 
b) Gọi ..là điểm đối xứng với điểm qua . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm . Chứng minh là đường kính của đường tròn .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . là điểm nằm trên cung nhỏ . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Đường tròn đường kính cắt đường tròn tại điểm . Đường thẳng và cắt đường tròn đường kính lần lượt tại các điểm . Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh:
a) Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao thuộc thuộc thuộc ) của tam giác cắt nhau tại là trung điểm của cạnh .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh các đường thẳng và là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
3. Chứng minh .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
Trên nửa đường tròn đường kính lấy hai điểm phân biệt sao cho ở giữa và ( khác và khác ). Gọi là giao điểm của và ; là chân đường vuông góc kẻ từ xuống . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
b) Hai tam giác và đồng dạng với nhau.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021)
Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn. Qua điểm kẻ hai tiếp tuyến và đến ( là các tiếp điểm). Kẻ tia (nằm giữa hai tia ) cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ) .
a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp đường tròn. 
b) Chứng minh rằng và , với là giao điểm của và .
c) Đường thẳng qua song song với cắt đường thẳng tại Đường thẳng cắt đường thẳng tại Chứng minh rằng 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021)
Cho hình thang có , , . Gọi là trung điểm của , là hình chiếu vuông góc của lên . Tia cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh rằng .
b) Chứng minh rằng là hình bình hành.
c) Đường thẳng qua vuông góc với cắt cạnh tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh rằng tam giác cân.
d) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của .
HƯỚNG DẪN GIẢI
CHUYÊN ĐỀ 05 (Phần 1)
HÌNH HỌC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
 (1,0 điểm) Cho vuông tại , đường cao . Biết .
	a) Tính độ dài và số đo (làm tròn đến phút) 
	b) Phân giác của cắt tại . Tính độ dài . 
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pi – Ta – Go Ta có: 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
b) Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ta có: (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , đường cao (). Biết . Tính độ dài và diện tích tam giác .
Lời giải
Trong vuông tại có là đường cao, theo hệ thức lượng, ta có: 
.
Diện tích là .
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có và . Tính độ dài cạnh và giá trị của .
Lời giải
Ta có: 
	 cm.
 .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , có độ dài cạnh , cạnh . Gọi là đường cao của tam giác, tính diện tích tam giác .
Lời giải
 Cho tam giác vuông tại , có độ dài cạnh , cạnh . Gọi là đường cao của tam giác, tính diện tích tam giác . 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Áp dụng định li Pytago trong tam giác vuông ta có:
Vi tam giác vuông tại nên .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , đường cao , biết , . Tính độ dài các cạnh .
Lời giải
	Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có:
	`	
	Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông , ta có:
	Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông , ta có:
	Vậy ; 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có các cạnh .
a) Tính độ dài cạnh .
b) Kẻ đường cao . Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
a) Tính độ dài cạnh .
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông tại ta có:
Vậy 
b) Kẻ đường cao Tính độ dài đọn thẳng 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tại có đường cao 
Vậy 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Cho tam giác vuông tại , có độ dài các cạnh của tam giác thóa mãn hệ thức: , hãy tính số đo góc .
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago ta có: 
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho vuông tai có Trên cạnh lấy điểm sao cho Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
Theo đề bài ta có: và 
Áp dụng định lý Pitago cho vuông tại ta có:
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Cho tam giácvuông tại , đường cao . Biết và . Tính độ dài các đoạn thẳng và 
Lời giải
Xét vuông tại , đường cao ta có
(Định lý pytago)
Áp dụng hệ thưc lượng: 
Vậy 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
Trong mặt phẳng tọa độ , cho điểm . Xác định vị trí tương đối của đường tròn và các trục tọa độ.
Lời giải
T
Gọi là bán kính đường tròn 
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các trục tọa độ 
Ta có: là hình chữ nhật
Vậy tiếp xúc với ; không cắt đường tròn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có đường cao . Biết , . Tính độ dài và đường cao .
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông , đường cao ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông , đường cao ta có:
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho tam giác vuông tại có đường cao và đường trung tuyến Biết , . Hãy tính và diện tích tam giác .
Lời giải
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Vì là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông nên (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Ta có .
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), biết (như hình vẽ bên). 
Tính số đo các góc .
Lời giải
Xét tam giác có :
(tổng 3 góc trong tam giác)
Hay 
Tứ giác nội tiếp đường tròn nên 
(tổng 2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp) 
Hay 
Ta có : (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ) 
.	
Vậy 
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH - KHÁ - GIỎI XUẤT SẮC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KHÁNH HÒA năm 2021)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O, R) và hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh OA ^ EF
c) Hai đường thẳng BE, CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là N và P. Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M và cắt BC tại D. Tính giá trị biểu thức 
Lời giải
a) Chứng minh BCEF là tứ giác nội tiếp
Tứ giác có nên tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh OA ^ EF
Kẻ tiếp tuyến của đường tròn 
(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung).
(tứ giác nội tiếp)
Suy ra 
Suy ra 
mà 
nên 
c) Tính giá trị biểu thức 
Chứng minh được .
Từ đó suy ra .
Chứng minh tương tự ta có .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm ; là điểm chính giữa cung nhỏ .
a) Chứng minh .
b) Gọi là điểm trên cạnh sao cho khác là giao điểm của với đường tròn tâm ( khác ). Gọi là giao điểm của với là giao điểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Lời giải
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm ; là điểm chính giữa cung nhỏ .
a) Chứng minh .
Vì là điểm chính giữa của cung nhỏ nên .
 (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).
b) Gọi là điểm trên cạnh sao cho khác là giao điểm của với đường tròn tâm ( khác ). Gọi là giao diểm của với là giao diểm của với . Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Vì , mà (do 
 cân tại (2 góc ở đáy).
Ta có: ( 2 góc đối diện của tứ giác nội tiếp )
 (kề bù)
.
Lại có ( 2 góc nội tiểp chắn hai cung bằng nhau)
 là phân giác của .
Mà tam giác cân tại nên đồng thời là đường cao .
Mà ( 2 góc nội tiểp chắn hai cung bẳng nhau)
 vuông tại 
Xét tứ giác có: .
Vậy EKMI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ).
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao và của cắt
nhau tại 
a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tia phân giác của và đồng dạng với .
c) Giao điểm của với đường tròn là , cắt đường tròn tại Gọi là trung điểm của đọn thẳng . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
a) Ta có: lần lượt là các đường cao của 
Xét tứ giác ta có: 
 là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bẳng nhau).
Xét tứ giác ta có: 
 là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).
b) Ta có: là tứ giác nội tiếp 
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có: là tứ giác nội tiếp 
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Hay 
 là tia phân giác của . (dpcm)
Ta có: là tứ giác nội tiếp (cmt)
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có: là tứ giác nội tiếp 
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Hay 
Xét và ta có:
đpcm.
c) Chứng minh: 
Lại có ()
Suy ra 
Mà thẳng hàng. 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho hình vuông , các điểm thay đổi trên các cạnh sao cho góc bằng ( không trùng với các đỉnh của hình vuông). Gọi lần lượt là giao điểm của với . Chứng minh rằng:
	1) Tứ giác và tứ giác là các tứ giác nội tiếp.
	2) là phân giác của góc .
	3) tiếp xúc với một đường tròn cố định
Lời giải
1) Tứ giác và tứ giác là các tứ giác nội tiếp.
	Ta có: hay 
	Lại có: (do là đường chéo của hình vuông ) nên 
	Do đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
	Suy ra (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
	Ta có: (do là đường chéo của hình vuông ) nên 
	Mà nên 
	Do đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng chắn một cạnh dưới các góc bằng nhau) (đpcm).
2) là phân giác của góc .
	Do tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt) nên .
	Mà (do là hình vuông) nên 
	Xét tam giác vuông ta có: ( do là hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
	Do tứ giác nội tiếp đường tròn (cmt) nên (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)
	Do đó suy ra hay là phân giác của góc (đpcm).
	3) tiếp xúc với một đường tròn cố định
	Gọi là giao điểm của và .
	Vì tứ giác nội tiếp (cmt) nên 
	Mà 
	Lại có 
	Mà là giao điểm của và 
	 là trực tâm của tam giác .
	Gọi là giao điểm của và .
	Suy ra (Do là đường cao thứ ba của tam giác )
	Ta có tứ giác nội tiếp (cmt) nên (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
	Mà tứ giác nội tiếp (cmt) nên (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)
	Suy ra hay 
	Xét và ta có:
	 (cmt)
	 là cạnh chung
	Do đó 
	(cặp cạnh tương ứng) nên có độ dài không đổi
	 cố định
	Lại có là tiếp tuyến của đường tròn tại 
	Vậy tiếp xúc với đường tròn cố định (đpcm).
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021)
Cho đường tròn tâm (O; R), từ một điểm A trên đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tâm O. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A), kẻ tiếp tuyến thứ hai MB (B là tiếp điểm).
a. Chứng minh tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Gọi I là giao điểm của AB và OM. Chứng minh .
c. Gọi điểm H là trục tâm của tam giác MAB. Tìm quỹ tích điểm H khi điểm M di chuyển trên đường thẳng d.
Lời giải
a. Vì MA, MB là tiếp truyến của đường tròn (O) .
Ta có: .
 nội tiếp đường tròn đường kính OM.
b. Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R.
 MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB tại I.
Ta lại có: (tính chất của tiếp tuyến)
 vuông tại A.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 
 và (đpcm).
c. Ta có: (tính chất của tiếp tuyến) và (AK là đường cao của ).
.
Chứng minh tương tự ta có: .
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác AOBN là hình bình hành.
Mà OA = OA = R.
 hình bình hành AOBN là hình thoi.
 AH = AO = R
Vậy khi M di chuyển trên đường thẳng (d) thì H luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó, quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng (d) là nửa đường tròn tâm (A; AH), AH = R.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H.
1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh .
3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
Lời giải
1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
Ta có: nên suy ra tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh .
Ta có: nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Suy ra (là 2 góc cùng chắn cung AB).
3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
Trước hết ta chứng minh: .
Trong tứ giác nội tiếp ABEF ta có: (Vì cùng chắn cung EF).
Suy ra .
Trong tam giác cân ODE (cân tại O), ta có: ,
Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ED) 
Suy ra: .
Từ (1) và (2) suy ra: .
Xét hai tam giác OAE và tam giác OEH có:
* Góc O chung;
* (theo chứng minh trên).
Vậy .
4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng.
Trong tam giác CKF ta có CD và FG là các đường cao nên giao điểm của chúng là trực tâm của tam giác CKF.
Vì thế để chứng minh I, K, H thẳng hàng ta cần chứng minh KH là đường cao của tam giác CKF hay là cần chứng minh. 
Thật vậy, trước hết ta có (Vì cùng bằng ).
Suy ra tứ giác ADOE là tứ giác nội tiếp.
Từ đó suy ra (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE).
Mà (Trong tứ giác nội tiếp, góc ngoài bằng góc trong đối diện).
Suy ra (3).
Vì tứ giác ABEH là tứ giác nội tiếp nên suy ra (4)
Trong tam giác KCB ta có: (5)
Lại có (theo chứng minh ở câu 3)
Suy ra (6).
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra hay 
Suy ra tứ giác CKDH là tứ giác nội tiếp.
Suy ra (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK).
Suy ra .
Vậy I, K, H thẳng hàng.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho tam giác có ba góc nhọn, . Vẽ các đường cao và của tam giác . Gọi là giao điểm của và .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Tính tỉ số .
Lời giải
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
Vì là các đường cao của nên .
Xét tứ giác có .
 là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng ).
b) Tính tỉ số 
Vì là tứ giác nội tiếp nên (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Xét và có:
 chung;
 .
Xét có vuông cân tại 
 Vậy 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Cho đường tròn (O), từ điểm A nẳm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại . Qua kẻ đường thẳng không đi qua tâm cắt đường tròn (O) tại . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tai 
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh: vuông góc với .
c) Chứng minh: .
Lời giải
a. Ta có:  (là đường kính, )
Theo giả thiết, ta có: 
Vậy tứ giác nội tiếp.
b. Ta thấy  (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Lại có tứ giác nội tiếp (cmt) 
Mà 
c. Vì nội tiếp    (1)
Tương tự, tứ giác nội tiếp  (2)
Cộng 2 vế (1) và (2) 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ các tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Kẻ đường kính của đường tròn 
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Lời giải.
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp đường tròn và .
Do là các tiếp tuyến của đường tròn (gt)
 (Tính chất tiếp tuyến)
Từ đó suy ra 
Xét tứ giác có:
 và hai góc ở vị trí đối nhau
Nên tứ giác nội tiếp đường tròn.
Ta có là các tiếp tuyến của đường tròn (gt)
Suy ra (Tính chất tiếp tuyến) nên thuộc đường trung trực của 
Lại có nên suy ra cũng thuộc đường trung trực của 
Từ đó suy ra là đường trung trực của 
Xét có: là đường kính (gt) và 
Suy ra (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Từ (1) và (2) suy ra (Từ vuông góc đến song song)
b) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng là trung điểm của .
Kẻ tại 
Ta có và 
Mà (do tam giác cân)
Từ đó suy ra cân
Mà nên suy ra (3)
Vì (Vì cùng vuông góc )
 (Định lí Talet) (4)
Từ (3) và (4) suy ra 
Từ đó suy ra là trung điểm của 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm , các đường cao và và cắt nhau tại .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh 
c) Gọi là trung điểm của , tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng OM tại . Chứng minh 
Lời giải
a) Xét tứ giác ta có:
 ( là đường cao); ( là đường cao) 
 và cùng nhìn dưới một góc bằng nhau.
 Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Xét tứ giác ta có:
 ( là đường cao); ( là đường cao) tứ giác nội tiếp đường tròn
 (góc nội tiếp cùng chắn cung ) (1).
Ta có: Tứ giác nội tiếp đường tròn (chứng minh câu a) (góc nội tiếp cùng chắn cung ..). (2).
Từ (1) (2) suy ra . Xét tam giác có là phân giác của góc ta có:
 (tinh chất đường phân giác). (3)
Xét và ta có:
Từ (3) (4) suy ra .EF (đpcm)
c)Vì là tiếp tuyến của hay vuông ở .
 là trung điểm hay 
Tam giác vuông ở có (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà 
Xét tam giác và tam giác có:
 chung
 (5)
Vi (so le trong) (6).
Từ (5) và (6) suy ra (đpcm).
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho đường tròn đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C 
(C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng CD tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác AODE nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (K không trùng với B). Chứng minh 
c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh 
Lời giải
Hình vẽ:
a). Tứ giác có:
 (Vì EA là tiếp tuyến của đường tròn (O))
 (Vì ED là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Do đó: 
Vậy tứ giác AODE nội tiếp đường tròn.
b). Ta có (Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
 (Cùng là bán kính của đường tròn (O))
Do đó EO là đường trung trực của AD hay 
 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Vậy hai điểm kề nhau H, K cùng nhìn xuống đoạn thẳng EA một góc vuông nên tứ giác nội tiếp đường tròn.
Suy ra: (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Mà (Cùng phụ với )
Vậy: 
c). Ta có (gt)
 (Vì EA là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Suy ra 
(Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
 (Hai góc so le trong và )
Vậy hay tam giác MEO cân tại M 
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho tam giác 
Ta có: 
 (Chú ý là)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho đường tròn đường kính , dây cung vuông góc với tại sao cho . Trên đoạn thẳng lấy điểm ( khác và ), tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai là . Chứng minh rằng:
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) đồng dạng với .
c) .
Lời giải
a) Tứ giác nội tiếp đường tròn.
Tứ giác có (); (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
b) đồng dạng với .
Xét và có 
 chung;
 là điểm chính giữa cung (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)
.
c) .
Ta có (hai tam giác vuông có góc nhọn chung) .
;
. 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Cho tam giác nhọn có đường cao và là trực tâm tam giác. Vẽ đường tròn tâm đường kính , từ kẻ các tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh và .
c) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Lời giải
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Ta có: , là các tiếp tuyến của đường tròn tại , 
 (định nghĩa đường tiếp tuyến của đường tròn).
Xét tứ giác ta có: 
 là tứ giác nội tiếp đường tròn. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).
b) Chứng minh và .
* Ta có: là đường cao cùa tại hay 
Xét tử giác ta có: 
 lả tứ giác nội tiếp. (tự giác có tồng hai góc đối điện bẩng )
, , , cùng thuộc một đường tròn.
Lại có: là tứ giác nội tiếp (cmt) , , , cùng thuộc một đường trờn.
, , , , cùng thuộc một đường tròn.
Hay là tứ giác nội tiếp.
 (hai góc nội tiểp củng chẳn cung ).
* Goi lả chân đường cao hạ từ của tại hay 
Xét và ta có:
 chung 
 (g - g)
Xét và ta có:
 chung
 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung cung )
 g – g)
Tù và suy ra 
Xét và ta có:
 chung
 (cmt)
 (c -g -c)
c) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Ta có: (hai góc tạo bởi tia tiếp tuyến và đây cung cùng chắn của )
Ta có: (cmt)
 (hai góc tương ứng)
Lại có , nằm cùng phía với 
, , thẳng hàng. 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho hình chĩ nhật . Gọi lần lượt là trung diểm của các canh và . Gọi là giao diểm của vói và là giao điểm của vói ; cắt tại K. Chứng minh điểm nằm trên đường tròn ngọi tiếp tam giác 
Lời giải
Xét và ta có:
 (hai góc tương ứng bằng nhau)
Hay 
Ta có: 
Lại có: (góc ngoài của )
Xét và ta có:
 (hai góc tương úng)
Hay 
Mà (hai góc phụ nhau)
Từ (1) và (2) suy ra 
Mặt khác: 
 là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
 là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiểp (đpcm)
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho vuông tại ngọi tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các tiếp điểm của với các cạnh và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại Tính 
Lời giải
.
Ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm củng chắn cung ).
Vì là các tiếp tuyến của lần lượt tại nên là tia phân giác của (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
 là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đinh đối diện).
Xét tứ giác có nên là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Lại có là các tiếp tuyến của tại nên (tính chất 2 tiểp tuyến cắt nhau
 là hình vuông (hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau .
Mà là tứ giác nội tiếp .
 (góc ngoài yà góc trong tại đinh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Vậy .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021)
Qua điểm nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến ( là hai tiếp điểm). Vẽ cát tuyến không đi qua tâm (nằm giữa và).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp và.
b) Chứng minh.
c) Gọi là trung điểm của dây cung và là giao điểm của hai đường thẳng và . Tính độ dài đoạn thẳng theo khi .
d) Qua tâm kẻ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng lần lượt tại và