Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 03: Giải phương trình. Hệ phương trình cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 03
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1. Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
	Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
	 (I)
	· Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì được gọi là một nghiệm của hệ (I).
	· Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm.
	· Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
2. Hệ phương trình tương đương
	Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định nghĩa
	Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng , trong đó x là ẩn; a, b, 	c là những số cho trước gọi là các hệ số và .
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
	Đối với phương trình bậc hai và biệt thức :
	· Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
	· Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép .
	· Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm.
	Chú ý: 
	· Nếu phương trình có a và c trái dấu thì D > 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
	· Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm:
	+ Nếu nhẩm được: thì phương trình có nghiệm .
	+ Nếu thì phương trình có nghiệm .
	+ Nếu thì phương trình có nghiệm .
3. Công thức nghiệm thu gọn
	Đối với phương trình bậc hai và , :
	· Nếu D¢ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
	· Nếu D¢ = 0 thì phương trình có nghiệm kép .
	· Nếu D¢ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4. Hệ thức Viet
	· Định lí Viet: Nếu là các nghiệm của phương trình thì: 
	· Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
	(Điều kiện để có hai số đó là: ).
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai
	Cho phương trình bậc hai:	
	+ có nghiệm .
	+ có hai nghiệm phân biệt .
	+ có hai nghiệm trái dấu 	Û 
	+ có hai nghiệm cùng dấu 	Û 
	+ có hai nghiệm dương phân biệt	Û 
	+ có hai nghiệm âm phân biệt	Û 
CHỦ ĐỀ 1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KHÁNH HÒA năm 2021)
Giải hệ phương trình: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) b) 
	c) d) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
a) Giải hệ phương trình: .
b) Giải phương trình: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021)
Giải hệ phương trình và phương trình:
a) 	b) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021)
Giải phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Giải hệ phương trình 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
1) Giải phương trình 
2) Giải phương trình 
3) Giải hệ phương trình 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Không sử dụng máy tinh cầm tay, giải hệ phuong trinh: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Giải phương trình 	
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Giải hệ pt: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1) 	2) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình:
a. 	b. 	
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hê phương trình: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Giải hệ phương trình 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Giải phương trình: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Giải phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Giải hệ phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Giải phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho hệ phương trình Tim a và biết hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Giải phương trình: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
1. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình 
2. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
1. Giải hệ phương trình . 
2. Giải phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
Giải phương trình 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021)
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Giải hệ phương trình: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021)Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	c)
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) .	b) 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Tìm số không âm, biết .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: . 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
Giải phương trình: .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
a) Cho phương trình (*). Hãy xác định các hệ số và giải phương trình (*) .
b) Giải hệ phương trình: . 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Giải phương trình .
CHỦ ĐỀ 2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN THAM SỐ m 
VI-ET
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC KHÁ GIỎI
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Cho phương trình: ( là ẩn số, là tham số). Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Cho phương trình (là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tính giá trị của biểu thức .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Tìm giá trị của tham số thực để Parabol và đường thẳng có đúng một điểm chung.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Cho phương trình . Gọi là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH DƯƠNG năm 2021)
Cho hệ phương trình ( là tham số)
a) Giải hệ phương trình đã cho khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho phương trình (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho hệ phương trình 
Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (3;2)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Cho phương trình: (1)
a) Giải pt (1) với m=-3.
b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Gọi là hai nghiệm của phương trình: với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Cho (P): và đường thẳng d: (m là tham số)
a) Tìm toạ độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho phương trình ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tim giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn:
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số, là tham số).
a) Giải phuơng trình (1) khi 
b) Xác định các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho phương trình (ẩn x) 
1. Giải phương trình khi .
2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho phương trình: 
( là tham số). Giả sử và là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Tìm các giá trị của tham số để phương trình: có hai nghiệm thóa mãn: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho phương trình (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt (với ) thỏa mãn: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Không giải
phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho hệ phương trình ( là tham số)
a) Giải hệ phương trình với 
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Tìm dể phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021)
Cho hệ phương trình (là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi 
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
Cho phương trình ( là tham số). Tìm các giá trị của đề phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho phương trình: (m là tham số). Hãy tìm giá trị của để là nghiệm của phương trình và xác định nghiệm còn lại của phương trình (nếu có).
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho phương trình (ẩn ): .
a) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm để . 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố Đà Nẵng năm 2021)
Cho phương trình , với là tham số.
a) Giải phương trình khi 
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Cho phương trình: ( là ẩn số).
a) Giải phương trình khi . 
b) Tìm các giá trị của để phương trình có nghiệm.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm thỏa mãn đẳng thức: 
.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Cho phương trình (1) vói là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho phương trình (m là tham số).
a. Giải phương trình (1) khi .
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Cho phương trình , với m là tham số.
Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
HƯỚNG DẪN GIẢI
CHUYÊN ĐỀ 03
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
CHỦ ĐỀ 1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC TRUNG BÌNH
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KHÁNH HÒA năm 2021)
Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Vậy hệ phương trình có nghiệm là 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) b) 
	c) d) 
Lời giải:
a) Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
b) Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
c) Ta có: 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 
d) Ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
a) Giải hệ phương trình: .
b) Giải phương trình: .
Lời giải
a) Giải hệ phương trình: .
.
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là .
b) Giải phương trình: .
Xét phương trình: 
 , phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Vậy phương trình có tập ngiệm là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TIỀN GIANG năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) 
	Ta có: ; ; và nên phương trình có hai nghiệm phân biệt và . Vậy . 	
	b) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; .
c) 
	Đặt với .
Khi đó phương trình đã cho trở thành: .
Với ; ; ta có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt (loại) và (nhận)
	Với thì .
	Vậy .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SÓC TRĂNG năm 2021)
Giải hệ phương trình và phương trình:
a) 	b) 
Lời giải
a) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
b) Đặt ; ta có phương trình: 
Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Với ta có: .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẬU GIANG năm 2021)
Giải phương trình .
Lời giải
.
Ta có nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Giải hệ phương trình 
Lời giải
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
1) Giải phương trình 
2) Giải phương trình 
3) Giải hệ phương trình 
Lời giải
1) Giải phương trình 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt
; 
2) Giải phương trình 
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành 
Ta thấy nên (nhận); (loại)
Với , ta có . Suy ra .
Vậy phương trình có hai nghiệm 
3) Giải hệ phương trình 
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Không sử dụng máy tinh cầm tay, giải hệ phuong trinh: 
Lời giải
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Giải phương trình 	
Lời giải
ĐKXĐ: 
 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Giải hệ pt: 
Lời giải
 Vậy 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
1) Giải phương trình 
2) Giải hệ phương trình 
Lời giải
1) 	
Ta có nên phương trình có nghiệm phân biệt 
2) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
1) 
2) 
Lời giải
1) 
Cách 1: 
	Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
	Cách 2: Vì 
	Nên phương trình đã cho có hai nghiệm 
2) 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LAI CHÂU năm 2021)
Giải các phương trình và hệ phương trình:
a. 	b. 	
Lời giải
a) 5x – 10 = 0
Vậy: 
b) 
Ta có : 
Vậy: 
Vật hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; -4)
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
a) Giải phương trình: .
b) Giải hê phương trình: .
Lời giải
a) Giải phương trình: .
Ta có: 
Vậy nghiệm của phương trình là 
b) Giải hê phương trình: .
 Ta có:
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Giải hệ phương trình 
Lời giải
a) 
KL ...
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Giải phương trình: .
Lời giải
KL....
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Giải phương trình .
Lời giải
a) 
Xét phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy phương trình có hai nghiệm là 2 và .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Giải hệ phương trình .
Lời giải
Giải hệ phương trình .
.
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Giải phương trình .
Lời giải
Phương trình có 
 phương trình có hai nghiệ phân biệt ; 
Vậy phương trình có tập nghiệm .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Cho hệ phương trình Tim a và biết hệ phương trình đã cho có nghiệm là 
Lời giải
Ta có: là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy và thỏa mãn bài toán.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TÂY NINH năm 2021)
Giải phương trình: 
Lời giải
Phương trình có: 
 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt và .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI NGUYÊN năm 2021)
1. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình 
2. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình 
Lời giải
1. Không dùng máy tính cầm tay, giải phương trình 
Phương trình có 
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 
2. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình 
Vậy hệ phương trình có nghiệm 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
1. Giải hệ phương trình . 
2. Giải phương trình .
Lời giải
1. Giải hệ phương trình . 
Ta có: 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
2. Giải phương trình .
Ta có: nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
Vậy phương trình có tập nghiệm .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
Giải phương trình 
Lời giải
	Ta có: 
Suy ra phương trinh có 2 nghiệm phân biệt:
; 
Vậy phương trình có nghiệm là: ; . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021)
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình 
Lời giải
a) Giải phương trình 
Phương trình đã cho có .
Suy ra phương trình có hai nghiệm và .
b) Giải hệ phương trình 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Phú Yên năm 2021)Giải các phương trình sau:
a) 	b) 	c)
Lời giải
Vậy là nghiệm của phương trình.
Giải phương trình: (; ; )
Ta có: nên phương trình luôn có hai nghiệm và 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Giải phương trình: 
Đặt với . Khi đó phương trình trở thành
 (thỏa mãn điều kiện)
Với thì 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) .	b) 
Lời giải
a) .
Phương trình: có: , , 
Ta có: 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: , 
b) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Tìm số không âm, biết .
Lời giải
Với không âm thì .
Vậy . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2021)
Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: . 
Lời giải
Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: .
+) Ta có 
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
Giải phương trình: .
Lời giải
Xét phương trình 
Ta có nên phương trình đã cho có hai nghiệm:
Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
a) Cho phương trình (*). Hãy xác định các hệ số và giải phương trình (*) .
b) Giải hệ phương trình: . 
Lời giải
a) Cho phương trình (*). Hãy xác dịnh các hệ số và giải phương trình (*).
Phương trình có .
Vì nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
b) Giải hệ phương trình .
Ta có: .
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình .
Lời giải
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh GIA LAI năm 2021)
Giải phương trình .
Lời giải
 hoặc 
 hoặc .
Vậy phương trình có tập nghiệm .
CHỦ ĐỀ 2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN THAM SỐ m 
VI-ET
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC KHÁ GIỎI
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH LONG năm 2021)
Cho phương trình: ( là ẩn số, là tham số). Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Lời giải:
Ta có: 
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
Theo Vi-et ta có: 
Mà: 
Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KIÊN GIANG năm 2021)
Cho phương trình (là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: (*)
 Phương trình (*) có hai nghiệm khi 
Với thì phương trình (*) có hai nghiệm 
 Theo hệ thức Vi ét: 
 Theo đề bài: 
(nhận)
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG THÁP năm 2021)
Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu .
Khi đó áp dụng định li Vi-ét ta có: .
Ta có: .
Vậy .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Tìm giá trị của tham số thực để Parabol và đường thẳng có đúng một điểm chung.
Lời giải
Phương trình hoanh độ giao điểm của và :
.
Để và có đúng một điểm chung thì 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐỒNG NAI năm 2021)
Cho phương trình . Gọi là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức .
Lời giải
Vì nên và trái dấu suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét có 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH PHƯỚC năm 2021)
Cho phương trình (1), với là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Giải phương trình (1) khi .
Thay vào phương trình (1) ta được: 
Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: .
Vậy phương trình có tập nghiệm .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Phương trình (1) có: nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt .
Khi đó theo Vi-ét ta có: 
Ta có:
Vậy . Dấu "=" xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 49 khi .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH DƯƠNG năm 2021)
Cho hệ phương trình ( là tham số)
a) Giải hệ phương trình đã cho khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa .
Lời giải
a) Với hệ phương trình trở thành 
Vậy với hệ phương trình có nghiệm là .
b) 
Ta có: 
Thay (2) vào (1) ta được
Thay vào (2) ta được .
Đề khi và chi khi .
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho phương trình (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.
Lời giải
a) (1)
Phương trình (1) có nghiệm 
Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.
b) 
Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt 
Vậy với m > thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CÀ MAU năm 2021)
Cho hệ phương trình 
Tìm a và b biết hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (3;2)
Lời giải
Điều kiện 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (3;2) nên ta có hệ phương trình:
Đặt . Hệ phương trình trở thành:
Vậy 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẠC LIÊU năm 2021)
Cho phương trình: (1)
a) Giải pt (1) với m=-3.
b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là .
Lời giải
a) Giải pt (1) với m=-3.
Khi m=-3 pt (1) trở thành : . Vì 1+1+(-2)=0 nên pt có hai nghiệm 
b) Chứng tỏ pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Ta có: với mọi m
Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là .
Theo câu b ta có: 
Pt (1) có có hai nghiệm phân biệt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông 
Mặt khác tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền nên áp dụng hệ thức ta có: 
. Đối chiếu điều kiện ta được m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy m=1 là giá trị cần tìm.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BẾN TRE năm 2021)
Gọi là hai nghiệm của phương trình: với m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Phương trình có với mọi 
Suy ra: phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt 
Theo định lí Vi-et ta có : 
Ta có :
(vì )
Dấu ‘’= ‘’ xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTNN của C là đạt tại 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh BÌNH THUẬN năm 2021)
Cho (P): và đường thẳng d: (m là tham số)
a) Tìm toạ độ giao điểm của parabol (P) với đường thẳng d khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d luôn cắt (p) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Cho (P): y = và đường thẳng d: y = (m là tham số)
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
 = - 
Thay m = 0 vào phương trình trên ta được phương trình
 + 4
Ta có 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 ; .
Với 
Với 
Vậy khi m = 0 thì d cắt (P) tại hai điểm có toạ độ (-1;1) và (-3;9).
b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
 = - 
Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hai điểm phân biệt
Vậy với thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho phương trình ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tim giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn:
Lời giải
Cho phương trình (m là tham số)
a) Giải phương trình với .
Với , phương trình đã cho trở thành .
Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy khi tập nghiệm của phương trình là .
b) Tìm giá trị của để phương trình đã cho có hai nghiệm thóa mãn: 
Ta có: .
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì .
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: .
Theo bài ra ta có:
Ta có nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
Vậy có 1 giá trị của thỏa mãn là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số, là tham số).
a) Giải phuơng trình (1) khi 
b) Xác định các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện: 
Lời giải
a) Thay vào phương trình ta có:
Phương trình có: 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
Vậy với thì phương trình có tập nghiệm là: .
b) Xét phương trình (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: .
Theo đề bài ta có: 
Vậy là thỏa mãn bài toán.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Lời giải
Ta có: 
	Để phương trình có hai nghiệm thì 
	Áp dụng định lí Vi-et ta có:
	Theo bài ta ta có: 
	Vậy với thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho phương trình (ẩn x) 
1. Giải phương trình khi .
2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
1. Khi , phương trình đã cho trở thành: .
Vì nên phương trình có 2 nghiệm và .
2. Vì nên phương trình có nghiệm và với mọi giá trị của m.
Ta có: 
Lại có: 
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh CAO BẰNG năm 2021)
Cho phương trình: 
( là tham số). Giả sử và là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Giả sử là các nghiệm của phuoong trình trên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chi khi 
 (luôn đúng với mọi vì 
 với mọi m).
 Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: 
TH1: 
TH2:. Khi đó phương trình (*) có:
Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì phương trình (*) phải có nghiệm.
Khi đó ta có: 
 Hoặc Hoặc 
Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng và giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2.
Với ta có: 
Với ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng đạt được khi và giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2 đạt được khi 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh LÀO CAI năm 2021)
Tìm các giá trị của tham số để phương trình: có hai nghiệm thóa mãn: .
Lời giải
Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi .
 (luôn đúng).
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt .
Theo hệ thức Vi -ét ta có: .
Theo bài ra ta có:
Ta có nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho phương trình (với là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có hai nghiệm phân biệt (với ) thỏa mãn: .
Lời giải.
Phương trình: (1)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn có: 
>0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi , mà nên:
 thỏa mãn: 
Vây tất cả các giá trị của thỏa mãn đề bài là: và .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NGHỆ AN năm 2021)
Cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Không giải
phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Xét nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 
Ta có:
Nhận xét và với mọi suy ra 
Vây .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho hệ phương trình ( là tham số)
a) Giải hệ phương trình với 
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn 
Lời giải
a. Thay vào phương trình ta được 
KL: Với hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
b. Ta thấy nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất với m
Thay vào phương trình ta được:
Vậy 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho phương trình (1) ( là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
Lời giải
Xét phương trình (1) ( là tham số).
a) Khi , ta có 
(1) 
Vì phương trình có hai nghiệm .
Vậy thì phương trình có tập nghiệm là .
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn .
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì
.
Khi đó theo hệ thức Vi-et, ta có .
Theo bài ra 
(thỏa mãn).
Vậy là giá trị cần tìm.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh SƠN LA năm 2021)
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn .
Lời giải
Xét phương trình 
Phương tr