Đề chọn học sinh giỏi lớp 8 vòng 2 năm học 2013 – 2014 thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
 NĂM HỌC 2013 – 2014
 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
 và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = 
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
	 M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)	
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600
----- Hết -----
Trường THCS P. Bình Định ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VÒNG 2
 NĂM HỌC 2013 – 2014
 Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + x – 1
Bài 2: (2,0điểm) Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
 và a, b, c, d là các số dương thì: a = b = c = d
Bài 3: (1,5điểm) Cho Tính giá trị biểu thức M = 
Bài 4: (2,0điểm) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng:
	 M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương
Bài 5: (2,5điểm)	
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D Î AC), kẻ ME song song AC ((E Î AB)
a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất.
b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); = 600
----- Hết -----
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG VÒNG II
NĂM HỌC 2013 – 2014 
Bài 1: (2,0điểm) x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 (0,5 đ)
	 = x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) (0,5 đ)
	 = x2(x + 1) (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) (0,25 đ)
	 = (x2 – x + 1) [x2(x + 1) – 1] (0,5 đ)
	 = (x2 – x + 1) (x3 + x2 – 1) (0,25 đ)
Bài 2: (2,0điểm) a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd 
	 Û a4 – 2a2 b2 + b4 + c4 – 2c2 d2 + d4 + 2a2 b2 – 4abcd +2c2 d2 = 0 (0,5 đ)
	 Û (a2 – b2)2 + (c2 – d2)2 +2(ab – cd)2 = 0 (0,5 đ)
 	 Û (0,5 đ)
 	Do a, b, c, d > 0 nên a = b = c = d (0,5 đ)
Bài 3: (1,5điểm) 
Ta có: M = 
M = (0,5 đ)
M = (0,5 đ)
M = (0,25 đ)
M = –3 (0,25 đ)
Bài 4: (2,0điểm) 
	 M = 4x(x +y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 
	 M = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 (0,5 đ)
 Đặt x2 + xy + xz = a (0,5 đ)
	 M = 4a(a + yz) + y2z2 (0,5 đ)
 M = 4a2 + 4ayz + (yz)2 (0,25 đ)
 M = (2a + yz)2 là số chính phương (0,25 đ)
Bài 5: (2,5điểm) 	
 a) Tứ giác ADME có:
	AE // DM ( AB //DM) ; AD // EM ( AC // EM) và = 900 (gt)
 tứ giác ADME là hình chữ nhật (0,5 đ)
 DE = AM (t/c hình chữ nhật) (0,25 đ)
Þ DE ngắn nhất Û AM ngắn nhất. Mà AM ngắn nhất khi AM BC tức là AM là đường cao ∆ ABC (0,25 đ)
Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC (0,25 đ)
Xét ∆ ABM vuông tại M có = 600
 ∆ ABM là nửa tam giác đều có cạnh AB (0,25 đ)
 BM = = 2(cm)
 AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (đl pythagore) (0,5 đ)
 AM = cm
 Vậy AM ngắn nhất bằng cm DE ngắn nhất bằng cm (0,5 đ)
----- Hết -----
Ghi chú: Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của bài.
 Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài.