Đề 2 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số (1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi .
b) Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB.
Câu 2* (1,0 điểm): 
a. Giải phương trình: 
b. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 
Câu 3* (0,5 điểm):Cho các số thực thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức 
 .
Câu 4: ( 1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
Câu 5*: (1,0 điểm). Tính tích phân: 
Câu 6 (1 điểm): Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Câu 7 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình vuông có tâm I. Trung điểm cạnh AB là , trung điểm đoạn CI là . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D thuộc đường thẳng .
Câu 8* (1 điểm): Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I và diện tích bằng Khoảng cách từ I đến (P) bằng 3. Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn, tính diện tích hình tròn đó.
Câu 9* (0,5 điểm): Trong không gian cho điểm phân biệt, trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Tìm biết rằng số tứ diện có đỉnh là 4 trong điểm đã cho nhiều gấp 4 lần số tam giác có đỉnh là 3 trong điểm đã cho.
Câu 10 (1 điểm): Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
---------- Hết ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....; Số báo danh:
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 2
(Hướng dẫn chấm có 4 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM KTCL ÔN THI THPTQG 
Môn: TOÁN 
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a
1,0 điểm
Khi hàm số trở thành 
* Tập xác định: 
* Chiều biến thiên: Ta có 
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên 
0.25
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hàm số đạt cực tiểu tại 
* Giới hạn: Ta có và 
0.25
* Bảng biến thiên:
x
+
–
0
0
+
0.25
- Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (1; 0), . 
0.25
b
 1,0 điểm
Ta có 
Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt .
0.25
Tọa độ các điểm cực trị là . 
0.25
Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 
0.25
Giải hệ, ta được . Vậy là giá trị cần tìm.
0.25
2
a
0.5 điểm
0.25
-Với 
-Với 
0.25
b
0.5 điểm
Gọi z = x + yi (x, y )
Ta có: 
0.25
0.25
3
0,5 điểm
Ta có 
0.25
0.25
4
Từ (1) và (2) ta có 
0.25
0.25
0.25
.
Do đó (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1) .
0.25
5
= 
0.25
0.25
Đặt 
0.25
0.25
6
1,0 điểm
Theo giả thiết, ta có . Góc giữa và (ABC) là .
0.25
Vậy thể tích khối lăng trụ là .
0.25
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABB’A’, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, K là hình chiếu vuông góc của A trên A’H. Ta có . Do đó . Vậy IK là hình chiếu của IA lên , hay góc giữa AB’ và mặt phẳng là .
0.25
Dễ thấy Ứng dụng hệ thức trong tam giác vuông, ta có 
 Suy ra . 
Xét tam giác vuông AKI. ta có 
0.25
7
1,0 điểm 
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật AMND. Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính của (C)). Mà MD cũng là đường kính của (C) nên JM vuông góc với JD. (1)
0.25
D thuộc nên Theo (1) 
.
0.25
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD. Dễ thấy .
Gọi Vì 
- Với (thỏa mãn)
0.25
- Với 
(loại).
 Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là .
(Học sinh lấy cả 2 nghiệm, trừ 0.25 điểm)
0.25
8
( 1 điểm)
Theo công thức tính diện tích mặt cầu, ta có 
0.25
Vì nên (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
0.25
Gọi H, r thứ tự là tâm và bán kính đường tròn (C), ta có .
0.25
Vậy diện tích hình tròn (C) là: S = 
0.25
9
0.5 điểm
Số tứ diện có đỉnh là 4 trong n điểm đã cho là , số tam giác có đỉnh là 3 trong n điểm đã cho là.
0,25
Theo giả thiết, ta có 
0.25
10
1.0 điểm
Từ giả thiết ta suy ra . Xét hàm số trên , ta có với , suy ra đồng biến trên , từ đó (*)
0.25
Theo (*) ta có . Đặt 
 (2)
0.25
 (3)
Theo Cô si (4). Từ (2), (3), (4) ta có .
0.25
Xét hàm số trên , ta có
 , suy ra nghịch biến trên , bởi vậy 
0.25
---------- Hết ----------