Chuyên đề Về hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
PHẦN I. QUAN HỆ SONG SONG. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Deng 1. Giao tuyến của hai mặt phẳng
 Thiết diện của hình đa diện với một mặt phẳng – Diện tích thiết diện
1. Các phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Cách 1. Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng
Cách 2. trong đó 
Cách 3. trong đó 
2. Thiết diện do mặt phẳng cắt hình đa diện 
2.1. Phương pháp tìm các đoạn giao tuyến
	- Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến của với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian)
	- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến của với các mặt này.
	- Tiếp tục như trên cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện. 
2.2. Tính diện tích thiết diện
	- Nếu thiết diện là một đa giác đặc biệt (có công thức tính diện tích) thì ta tính các đại lượng liên quan đến công thức tính diện tích để suy ra diện tích cần tìm.
	- Nếu thiết diện là một đa giác không đặc biệt ta có thể dùng các phương pháp sau:
	1. Chia thiết diện thành các tam giác, tứ giác có thể tính được diện tích, tính từng phần rồi cộng lại.
	2. Vẽ thêm bên ngoài thiết diện các tam giác, tứ giác để được một đa giác sao cho có thể tính được diện tích đa giác ấy và các phần vẽ thêm. Từ đó suy ra diện tích thiết diện.
	3. Áp dụng công thức phép chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của hình H trên (P’) thì với là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’).
2.3. Mặt phẳng có thể được xác định bởi một trong các trường hợp sau:
Loại 1. là mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.
	Tìm giao tuyến của với các mặt của hình đa diện áp dụng cách 1.
Loại 2. là mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
	Tìm giao tuyến của với các mặt của hình đa diện áp dụng cách 2, cách 1.
Loại 3. là mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước.
	Tìm giao tuyến của với các mặt của hình đa diện áp dụng cách 3, cách 1.
Chú ý. Nếu đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước ta có thể đưa về loại 3 vì .
Loại 4. là mặt phẳng đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d cho trước. Xác đinh như sau:
Cách 1. Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì hoặc , hoặc .
Cách 2. Dựng mặt phẳng như sau:
	- Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với 
d trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M.
	- Mặt phẳng xác định bới hai đường thẳng trên chính là .
Loại 5. là mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông góc với . Xác định như sau:
	Cách 1. Nếu có đường thẳng thì hoặc chứa d.
Cách 2. Dựng mặt phẳng như sau:
Từ một điểm A thuộc đường thẳng a dựng đường thẳng 
b vuông góc với thì 
Ví dụ 1. Mặt phẳng cắt hình đa diện đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.
[1]. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM). Phân biệt trường hợp M ở giữa C và D và M nằm ngoài đoạn CD.
[2]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn . Kéo dài BD một đoạn . Gọi M là trung điểm của AB.
	a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF).
	b) Tính diện tích thiết diện.
[3]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC.
	a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
	b) Tính diện tích thiết diện.
[4]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’. P là điểm đối xứng của C qua A.
	a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (A’MN). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB.
	b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AA’ và AB.
Ví dụ 2. Mặt phẳng cắt hình đa diện chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
[1]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC, G là trọng tâm tam giác SAB.
	a) Xác định thiết diện của hình chóp với (IJG). Thiết diện là hình gì? 
b) Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
[2]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là điểm trên cạnh BD sao cho .
	a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (KIJ). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
	b) Tính diện tích thiết diện theo a.
[3]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều, , gọi Dx là đường thẳng song song với SC.
	a) Tìm giao điểm I của Dx và (SAB). Chứng minh AI//SB
	b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (AIC). Tính diện tích thiết diện. 
[4]. Cho hình vuông ABCD cạnh a, S là một điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) sao cho tam giác SAB đều. Cho . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N.
	a) Chứng minh HKNM là hình thang cân.
	b) Đặt , tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x. Tính x để diện tích này nhỏ nhất.
[5]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy, , , . Gọi M là trung điểm của đoạn SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy.
[6]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng .
	a) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp.
	b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Từ M kẻ MK vuông góc với mặt bên (SAD). Mặt phẳng (BCK) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a và .
Ví dụ 3. Mặt phẳng cắt hình đa diện song song với đường thẳng cho trước.
[1]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA, là mặt phẳng đi qua M và song song với SC, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với .
[2]. Cho hình chóp SABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD, là mặt phẳng đi qua MN và song song với SA.
	a) Tìm giao tuyến của với (SAB) và (SAC)
	b) Xác định thiết diện của hình chóp với 
	c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
[3]. Cho tứ diện ABCD có , . Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của CD. Giả sử AB vuông góc với CD. là mặt phẳng qua M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. 
	a) Tìm giao tuyến của với (ICD)
	b) Xác định thiết diện của ABCD với . Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật.
	c) Tính diện tích thiết diện biết .
[4]. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A, , . Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài sao cho . Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng qua M và song song với SB, OA cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt .
	a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
	b) Tính theo a và x diện tích của hình thang này. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
[5]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B (AD//BC) với , , , và . Lấy , . Mặt phẳng qua M và song song với (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với ? Tính diện tích thiết diện đó theo a và x.
[6]. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, là mặt phẳng qua tâm O của mặt ABCD và song song với B’D, BC’.
	a) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng .
	b) Tính diện tích thiết diện theo a.
[7]. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’, DD’. 
a) Chứng minh mặt phẳng (MNP) song song với các mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’).
b) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì? Tính diện tích của nó.
[8]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của trung tuyến AI của đáy ABC, là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AC’ và B’C. Xác định thiết diện của lăng trụ đã cho với và tìm tỉ số mà thiết diện chia cạnh CC’.
Ví dụ 4. Mặt phẳng cắt hình đa diện đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
[1]. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và . Gọi là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của hình chóp với và tính diện tích thiết diện này.
[2]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với , , và . Gọi M là một điểm trên cạnh AB, là mặt phẳng qua M, vuông góc với AB. Đặt .
	a) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với . Thiết diện là hình gì?
	b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
[3]. Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ có đáy là tam giác vuông cân tại O với , . Gọi M là trung điểm của OA, là mặt phẳng qua M và vuông góc với A’B. 
	a) Xác định thiết diện của lăng trụ với 
	b) Tính diện tích thiết diện.
[4]. Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, , và . M là điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt . Gọi là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
	a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với .
	b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. Tìm giá trị của x để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Ví dụ 5. Mặt phẳng cắt hình đa diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
[1]. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Gọi là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
	a) Xác định mặt phẳng . Mặt phẳng này cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
	b) Tính diện tích thiết diện.
[2]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, các cạnh bên bằng . Gọi M, N, I, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC, SI.
	a) Chứng minh .
	b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bới đi qua MN và vuông góc với (SBC). Tính diện tích thiết diện. 
[3]. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A với và . Điểm H ở trên cạnh AC sao cho , SH là đường cao của hình chóp và . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, SA. Tìm thiết diện và tính diện tich thiết diện của hình chóp đã cho với mặt phẳng qua BJ và vuông góc với mặt phẳng (SHI).
[4]. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a, và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’C’. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng qua MN và vuông góc với (BCC’B’). Tính diện tích thiết diện.
Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta làm như sau:
	1. Tìm giao điểm của đường thẳng a với một đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, giao điểm của a với b chính là giao điểm của a với (P)
	2. Nếu đường thẳng b chưa có sẵn trong hình vẽ ta làm như sau
	- Chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng a và đã có điểm chung với (P)
	- Xác định giao tuyến của và (P), giao tuyến đó chính là đường thẳng b
	- Trong mặt phẳng , xác định giao điểm A của đường thẳng a và b. Suy ra 
Ví dụ
[1]. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD. S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (P). M là một điểm trên cạnh SC. 
	a) Tìm giao điểm của AM với (SBD)
	b) Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN).
[2]. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành, M là trung điểm của SC. 
	a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh 
	b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD.
	c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).
[3]. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
	a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I ở trên đường thẳng CD và .
	b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính .
	c) Tìm giao điểm K của (OMG) với SA. Tính .
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh chúng là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt
	2. Để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta làm như sau
	- Xác định giao điểm A của hai trong 3 đường thẳng, giả sử 
	- Chứng minh bằng cách chứng minh A là điểm chung của hai mặt phẳng có giao tuyến là đường thẳng c.
Ví dụ
[1]. Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD, S là một điểm không thuộc (P), M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh SD.
	a) Xác định giao điểm I của BN với (SAC)
	b) Xác định giao điểm J của MN với (SAC)
	c) Gọi . Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
[2]. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng quy.
[3]. Cho tứ diện SABC. Qua C dựng mặt phẳng cắt AB, SB tại , B’, qua B dựng mặt phẳng cắt AC, SC tại , C’. , . Giả sử cắt SA tại I.
	a) Chứng minh , SO’, BC đồng quy.
	b) Chứng minh I, , B’ thẳng hàng và I, , C’ thẳng hàng.
Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng song song.
	 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
	 Chứng minh hai mặt phẳng song song.
1. Chứng minh hai đường thẳng song song
Cách 1. Chứng minh hai đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí đảo của định lí Ta-let)
Cách 2. Áp dụng một trong các kết quả sau: 
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
	7) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b không song song với c thì hai hình chiếu của a và b theo phương c song song hoặc trùng nhau.
	8) Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng thì hình chiếu b của a trên song song với a.
2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
	1) 	(Nếu b không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng chứa a và lấy b là giao tuyến của và )
	2) 	3) 
	4) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau.
	5) Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó cùng song song với một mặt phẳng(mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên).
	6) 	7) 
3. Chứng minh hai mặt phẳng song song
	1) 	2) 
	3) 	4) 
	5) Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng song song
[1]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
	a) Chứng minh .
	b) Tìm giao điểm P của SC với (AND).
	c) Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh . Tứ giác SABI là hình gì? 
[2]. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD.
	a) Chứng minh PQ//SA
	b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ, chứng minh SK//AD//BC
	c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx//SC, Qy//SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD). 
Ví dụ 2. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
[1]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. 
	a) Chứng minh MN song song với (SBC), (SAD)
	b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP)
	c) Gọi E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh EF song song với (SAD).
[2]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD.
	a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
	b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).
	c) Gọi , lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, SBC. Chứng minh song song với (SBC).
[3]. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. M là một điểm trên cạnh BC sao cho . Chứng minh MG song song với (ACD).
[4]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. 
	a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB. Chứng minh 
	b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD và xét hai điểm I, J xác định bởi , . Chứng minh , , .
[5]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC và . Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm của AC, SC, SD. 
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (OMN) và hình chóp.
b) Tìm , .
c) Gọi K là giao điểm của AB và DO. Chứng minh OB, SA song song với (IJK). 
Ví dụ 3. Chứng minh hai mặt phẳng song song
[1]. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. 
	a) Chứng minh (OMN) song song với (SBC)
	b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm AB, ON. Chứng minh PQ song song với (SBC).
	c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với (SAD).
[2]. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC.
	a) Chứng minh (HIK)//(ABCD)
	b) Tìm giao điểm J của SD và (HIK). Chứng minh tứ giác HIKJ là hình bình hành.
	c) Gọi M là giao điểm của AI và DK, N là giao điểm của DH và CI. Chứng minh (SMN)//(ABCD).
[3]. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho . Các đường thẳng song song với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.
	a) Chứng minh (CBE)//(ADF)
	b) Chứng minh (DEF)//(MNN’M’)
	c) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.
Dạng 5. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
	 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
	 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
	Cách 1. Sử dụng một trong các kết quả sau:
	1) 	2) 	3) 
	Cách 2. Nếu hai đường thẳng này cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng (trung tuyến của tam giác cân, định lý đảo của định lý Pitagor,)
	Cách 3. Nếu lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì 
	Cách 4. Góc giữa hai đường thẳng bằng .
2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
	1) 	
2) 	3) 
4) 	5) 
	6) là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng , tức là chứa hai điểm cách đều A, B, C.
3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
	1) 	2) 
	3) Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 
Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.
[1]. Cho hình chóp S.ABC có và . Chứng minh rằng .
[2]. Cho tứ diện ABCD có . Chứng minh rằng .
[3] [DB A 2007]. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có . Gọi M là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).
[4] [DB D 2007]. Cho lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh rằng và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Ví dụ 2
[1]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD.
	a) Chứng minh BC, , .
	b) Chứng minh AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK cùng chứa trong một mặt phẳng.
	c) Chứng minh . Từ đó suy ra .
[2]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điêm của AB, CD.
	a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh .
	b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng .
	c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho . Tính AM theo a.
[3]. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có , , mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có .
	a) Chứng minh và tính SA.
	b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của a trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với . Chứng minh rằng , .
	c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
[4]. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC).
	a) Chứng minh rẳng , , 
	b) H là trực tâm của tam giác ABC.
	c) 
	d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.	
[5]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. 
	a) Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK).
	b) Tính diện tích tam giác BHK biết rằng , , 
[6]. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, K là trực tâm tam giác BCM.
	a) Chứng minh , 
	b) Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện KABC.
[7] [DB A 2007]. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có . Gọi M là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).
[8] [DB D 2007]. Cho lăng trụ đứng có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh rằng và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Ví dụ 3
[1]. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
[2]. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD cùng vuông góc với mặt DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của tam giác ACD.
	a) Chứng minh AB vuông góc với (BCD)
	b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC).
	c) Gọi O, H lần lượt là trực tâm của hai tam giác BCD và ACD. Chứng minh OH vuông góc với (ACD).
[3] [A 2002]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Dạng 6. Góc 
1. Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b 
Cách 1. Lấy một điểm O nào đó. Qua O dựng a’//a, b’//b. Khi đó .
	Tính góc sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông hoặc định lí hàm số cosin trong tam giác thường.
Cách 2. Nếu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a và b thì
 	 với 
Ví dụ 1. trong đó a’//a, b’//b và 
[1]. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa các cặp đường thẳng (MN, C’D’), (BD, AD’), (MN, AP), (A’P, DN).
[2]. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, A’C’, C’B’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng (A’B, B’C’), (DE, A’F).
[3]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
	a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
	b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
[4]. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 7a, SC vuông góc với (ABC) và . Tính góc giữa SA và BC.
[5]. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng , SC vuông góc với đáy và . Gọi D, E là trung điểm của AB, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng CD và SE.
Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng dựa vào góc giữa hai vectơ chỉ phương.
[1]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
[2]. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, , . Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
[3]. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
	a) AB’ và BC’	b) AC’ và CD’.
2. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a không vuông góc với )
	1) trong đó a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (P)
2) Cách xác định góc giữa đường xiên a với (P).
- Tìm giao điểm O của a với .
	- Chọn điểm và dựng tại H.
	Khi đó 
Ví dụ 1. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
[1]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và . Tính góc giữa
	a) SC và (ABCD)	b) SC và (SAB)
	c) SB và (SAC)	d) AC và (SBC). 
[2]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông canh a, tâm O, . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng .
	a) Tính MN và SO.
	b) Tính góc giữa MN và (SBD).
[3]. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc với (ABC). Đường thẳng BC’ hợp với (ABB’A’) góc .
	a) Tính AA’
	b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA’C’).
	c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB’. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (AB’C’).
Ví dụ 2. Chứng minh hệ thức
[1]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC vuông cân tại A, AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của B’C’ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc và mặt bên BCC’B’ góc .
	a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và .
	b) Chứng minh rằng .
[2]. Cho tứ diện ABCD có ABC, ACD, ADB vuông tại A. M là một điểm ở trong tam giác BCD. Gọi lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB). Chứng mính rằng .
[3]. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, , BC’ hợp với đáy (ABC) góc . Gọi I là trung điểm của AA’. Biết rằng .
	a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân.
	b) Chứng minh .
3. Góc giữa hai mặt phẳng
1) trong đó a, b là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng .
	2) Đặc biệt: Nếu hai đường thẳng a, b cùng vuông góc giao tuyến của hai mặt phẳng tại một điểm thì .
Ví dụ 1
[1]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, SC.
	a) Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
[2]. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
	a) (SBC) và (ABCD)	b) (SBD) và (ABCD)	c) (SAB) và (SCD)
[3]. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính , SA vuông góc với (ABCD) và .
	a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
[4]. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
[5]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và .
	a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD.
	b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
[6]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, , , , . Tính
	a) Góc giữa các mặt phẳng chứa mặt bên và mặt phẳng chứa mặt đáy của hình chóp.
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp của hình chóp.
	c) Tính góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Ví dụ 2 
[1]. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, , . Lấy điểm S trong không gian sao cho , đặt . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
	a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB), (SCD). 
	b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc.
[2]. Cho tứ diện S.ABC, , , , , . 
	a) Chứng minh BC vuông góc với SB.
	b) Xác định để hai mặt phẳng (SAC) và (SCB) tạo với nhau góc .
[3]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với , ; (SAC) hợp với (SAB) một góc và hợp với (SBC) một góc . Dựng các đường cao AH, AK của các tam giác SAC, SAB.
	a) Chứng minh .
	b) Chứng minh 
Dạng 6. Khoảng cách 
1. Dựng đường thẳng qua một điểm A và vuông góc với mặt phẳng cho trước. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
a) Cách dựng
	Bước 1. Chọn trong mặt phẳng một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với d ( nên chọn d sao cho dễ dựng)
	Bước 2. Xác định 
	Bước 3. Dựng tại H.
	- Đường thẳng AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với 
	- Độ dài đoạn AH là khoảng cách từ A đến 
b) Cách tính khoảng cách tư một điểm đến một mặt phẳng
	Cách 1. Dựng AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với tại H. Tính AH.
Chú ý
	- Nếu đã có sẵn đường thẳng vuông góc với , khi đó chỉ cần dựng thì 
	- Nếu thì 
	- Nếu AB cắt tại I thì 
	Cách 2. Phương pháp thể tích: , ....
Ví dụ 1. Áp dụng cách 1
[1]. Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh nằm trong , và AC tạo với một góc .
	a) Tính khoảng cách từ C đến .
	b) Chứng minh cạnh BC hợp với một góc .
[2]. Cho SABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân đỉnh B và , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và .
	a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
	b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
[3]. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD) với .
	a) Hãy dựng đường thẳng đi qua H vuông góc với mặt phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ H đến (SCD). Từ đó suy ra khoảng cách từ O đến (SCD).
	b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
[4]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và .
	a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
	b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
	c) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC).
	d) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
[5]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính , , .
	a) Tính khoảng cách từ A và B đến (SCD).
	b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC).
[6]. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A có , . Dựng hai đoạn , cùng vuông góc với và ở cùng một phía đối với . Tình khoảng cách từ 
	a) C’ đến mặt phẳng (ABB’A’)
	b) Trung điểm của B’C đến (ACC’)
	c) B’ đến mặt phẳng (ABC’)
	d) Trung điểm của BC đến (AB’C’).
[7] [D 2002]. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với (ABC); , , . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
[8] [D 2007]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, , , . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
[9] [D 2009]. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
[10] [D 2011]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết , . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
[11]. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính .
	a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
	b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC).
	c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng song song với mặt phẳng (SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng .
Ví dụ 2. Áp dụng cách 2
[1] [DB A 2007]. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có . Gọi M là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).
b
a
A
B
2. Đoạn vuông góc chung, khoảng cá