Chuyên đề: Về Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Chuyªn ®Ò:
Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh.
A) tãm t¾t lý thuyÕt
B­íc 1: LËp ph­¬ng tr×nh hoÆc hÖ oh­¬ng tr×nh:
	a) Chän Èn vµ ®Æt ®iÒu kiÖn cho Èn.
	b) BiÓu diÔn c¸c ®¹i l­îng ch­a biÕt th«ng qua Èn vµ c¸c ®Þa l­îng ®· biÕt.
	c) LËp ph­¬ng tr×nh biÓu thÞ mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l­îng.
B­íc 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh.
B­íc 3: §èi chiÕu nghiÖm cña pt, hÖ ph­¬ng tr×nh (nÕu cã) víi ®iÒu kiÖn cña Èn sè ®Ó tr¶ lêi.
	Chó ý: Tuú tõng bµi tËp cô thÓ mµ ta cã thÓ lËp ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn, hÖ ph­¬ng tr×nh hay ph­¬ng tr×nh bËc hai.
	Khi ®Æt diÒu kiÖn cho Èn ta ph¶i dùa vµo néi dung bµi to¸n vµ nh÷ng kiÕn thøc thùc tÕ....
B) C¸c d¹ng to¸n
D¹ng 1: To¸n vÒ quan hÖ c¸c sè.
	N÷ng kiÕn thøc cÇn nhí: 
+ BiÓu diÔn sè cã hai ch÷ sè : 
+ BiÓu diÔn sè cã ba ch÷ sè : 
+ Tổng hai sè x; y lµ: x + y
+ Tæng b×nh ph­¬ng hai sè x, y lµ: x2 + y2
+ B×nh ph­¬ng cña tæng hai sè x, y lµ: (x + y)2.
+ Tæng nghÞch ®¶o hai sè x, y lµ: .
VÝ dô 1: Méu sè cña mét ph©n sè lín h¬n tö sè cña nã lµ 3 ®¬n vÞ. NÕu t¨ng c¶ tö vµ mÉu cña nã thªm 1 ®¬n vÞ th× ®­îc mét ph©n sè míi b»ng ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã?
Gi¶i: 
	Gäi tö sè cña ph©n sè ®ã lµ x (®k: )
	MÉu sè cña ph©n sè ®ã lµ x + 3.
NÕu t¨ng c¶ tö vµ mÉu thªm 1 ®¬n vÞ th×
	Tö sè lµ x + 1
	MÉu sè lµ x + 3 + 1 = x + 4
§­îc ph©n sè míi b»ng ta cã ph­¬ng tr×nh .
VÝ dô 2: Tæng c¸c ch÷ sè cña 1 sè cã hai ch÷ sè lµ 9. NÕu thªm vµo sè ®ã 63 ®¬n vÞ th× sè thu ®­îc còng viÕt b»ng hai ch÷ sè ®ã nh­ng theo thø tù ng­îc l¹i. H·y t×m sè ®ã?
	Gi¶i 
Gäi ch÷ sè hµng chôc lµ x (
V× tổng 2 chữ sè lµ 9 ta cã x + y = 9 (1)
Sè ®ã lµ 
Sè viÕt ng­îc l¹i lµ 
V× thªm vµo sè ®ã 63 ®¬n vÞ th× ®­îc sè viÕt theo thø tù ng­îc l¹i ta cã 
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
Vậy số ph¶i t×m lµ 18.
VÝ dô 3: T×m hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña nã lµ 85.
	Gi¶i 
Gäi sè bÐ lµ x (). Sè tù nhiªn kÒ sau lµ x + 1.
V× tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña nã lµ 85 nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: x2 + (x + 1)2 = 85
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 
Vậy hai sè ph¶i t×m lµ 6 vµ 7.
Bµi tËp: 
Bµi 1: §em mét sè nh©n víi 3 råi trõ ®i 7 th× ®­îc 50. Hái sè ®ã lµ bao nhiªu?
Bµi 2: Tæng hai sè b»ng 51. T×m hai sè ®ã biÕt r»ng sè thø nhÊt th× b»ng sè thø hai.
Bµi 3: T×m mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña nã lµ 7. NÕu ®æi chç hai ch÷ sè hµng ®¬n vÞ vµ hµng chôccho nhau th× sè ®ã gi¶m ®i 45 ®¬n vÞ.
Bµi 4: T×m hai sè h¬n kÐm nhau 5 ®¬n vÞ vµ tÝch cña chóng b»ng 150.
Bµi 5: T×m sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã b»ng lËp ph­¬ng cña sè t¹o bëi ch÷ sè hµng v¹n vµ ch÷ sè hµng ngh×n cña sè ®· cho theo thø tù ®ã.
§¸p sè:
Bµi 1: Sè ®ã lµ 19;
Bµi 2: Hai sè ®ã lµ 15 vµ 36
Bµi 3: Sè ®ã lµ 61
Bµi 4: Hai sè ®ã lµ 10 vµ 15 hoÆc -10 vµ -15;
Bµi 5: Sè ®ã lµ 32.
D¹ng 2: To¸n chuyÓn ®éng
Nh÷ng kiÕn thøc cÇn nhí:
	NÕu gäi qu¶ng ®­êng lµ S; VËn tèc lµ v; thêi gian lµ t th×:
S = v.t; .
Gäi vËn tèc thùc cña ca n« lµ v1 vËn tèc dßng n­íc lµ v2 t× vËn tèc ca n« khi xu«i dßng n­íc lµ 
v = v1 + v2. V©n tèc ca n« khi ng­îc dßng lµ v = v1 - v2 
VÝ dô1: Xe m¸y thø nhÊt ®i trªn qu¶ng ®­êng tõ Hµ Néi vÒ Th¸i B×nh hÕt 3 giê 20 phót. Xe m¸y thø hai ®i hÕt 3 giê 40 phót. Mçi giê xe m¸y thø nhÊt ®i nhanh h¬n xe m¸y thø hai 3 km.
TÝnh vËn tèc cña mçi xe m¸y vµ qu¶ng ®­êng tõ Hµ Néi ®Õn Th¸i B×nh?
Gi¶i: 
Gäi vËn tèc x thø nhÊt lµ x (km/h), ®k: x>3; 
VËn tèc cña xe tø hai lµ x - 3 (km/h).
Trong 3 giê 20 phót (=giê) xe m¸y thø nhÊt ®i ®­îc 
Trong 3 giê 40 phót (=giê) xe m¸y thø nhÊt ®i ®­îc 
§ã lµ qu¶ng ®­êng tø Hµ néi ®Õn Th¸i B×nh nªn ta cã ph­¬ng tr×nh 
 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n).
VËy vËn tèc cña xe m¸y thø nhÊt lµ 33 km/h. VËn tèc cña xe m¸y thø hai lµ 30 km/h.
Qu¶ng ®­êng tõ Hµ Néi ®Õn Th¸i B×nh lµ 110 km.
VÝ dô 2: §o¹n ®­êng AB dµi 180 km . Cïng mét lóc xe m¸y ®i tõ A vµ « t« ®i tõ B xe m¸y gÆp « t« t¹i C c¸ch A 80 km. NÕu xe m¸y khëi hµnh sau 54 phót th× chóng gÆp nhau t¹i D c¸ch A lµ 60 km. TÝnh vËn tèc cña « t« vµ xe m¸y ?
	Gi¶i 
Gäi vËn tèc cña « t« lµ x (km/h), ®k: x > 0.
Gäi vËn tèc cña xe m¸ylµ y(km/h), ®k: y > 0.
Thêi gian xe m¸y ®i ®Ó gÆp « t« lµ (giê)
Qu¶ng ®­êng « t« ®i lµ 100 km nªn thêi gian « t« ®i lµ (giê)
ta cã ph­¬ng tr×nh (1)
Qu¶ng ®­êng xe m¸y ®i lµ 60 km nªn thêi gian xe m¸y ®i lµ (giê)
Qu¶ng ®­êng « t« ®i lag 120 km nªn thêi gian « t« ®i lµ (giê)
V× « t« ®i tr­íc xe m¸y 54 phót = nªn ta cã ph­¬ng tr×nh 
.
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
VËy vËn tèc cña « t« lµ 50 km/h. VËn tèc cña xe m¸y lµ 40 km/h.
VÝ dô 3: Mét « t« ®i trªn qu¶ng ®­êng dai 520 km. Khi ®i ®­îc 240 km th× « t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h n÷a vµ ®i hÕt qu¶ng ®­êng cßn l¹i. T Ýnh vËn tèc ban ®Çu cña « t« biÕt thêi gian ®i hÕt qu¶ng ®­êng lµ 8 giê.
Gi¶i:
	Gäi vËn tèc ban ®Çu cña « t« lµ x (km/h), ®k: x>0.
VËn tèc lóc sau cña « t« lµ x+10 (km/h).
Thêi gian « t« ®i hÕt qu¶ng ®­êng ®Çu lµ (giê)
Thêi gian « t« ®i hÕt qu¶ng ®­êng ®Çu lµ (giê)
V× thêi gian « t« ®i hÕt qu¶ng ®­êng lµ 8 giê nªn ta cã ph­¬ng tr×nh
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 
VËy vËn tèc ban ®Çu cña « t« lµ 60 km/h.
Bµi tËp: 
1. Mét « t« khëi hµnh tõ A víi vËn tèc 50 km/h. Qua 1 giê 15 phót « t« thø hai còng khëi hµnh tõ A ®i cïng h­íng víi « t« thø nhÊt víi vËn tèc 40 km/h. Hái sau mÊy giê th× « t« gÆp nhau, ®iÓm gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu km?
2. Mét ca n« xu«i dßng 50 km råi ng­îc dßng 30 km. BiÕt thêi gian ®i xu«i dßng l©u h¬n thêi gian ng­îc dßng lµ 30 phót vµ vËn tèc ®i xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ®i ng­îc dßng lµ 5 km/h.
TÝnh vËn tèc lóc ®i xu«i dßng?
	3. Hai « t« cïng khëi hµnh cïng mét lóc tõ A ®Õn B c¸ch nhau 150 km. BiÕt vËn tèc « t« thø nhÊt lín h¬n vËn tèc « t« thø hai lµ 10 km/h vµ « t« thø nhÊt ®Õn B tr­íc « t« thø hai lµ 30 phót. TÝnh v©nl tèc cña mçi « t«.
	4. Mét chiÕc thuyÒn ®i trªn dßng s«ng dµi 50 km. Tæng thêi gian xu«i dßng vµ ng­îc dßng lµ 4 giê 10 phót. TÝnh vËn tèc thùc cña thuyÒn biÕt r»ng mét chiÕc bÌ th¶ næi ph¶i mÊt 10 giê míi xu«i hÕt dßng s«ng.
	5. Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 108 km. Cïng lóc ®ã mét « t« khëi hµnh tõ B ®Õn A víi vËn tèc h¬n vËn tèc xe ®¹p lµ 18 km/h. Sau khi hai xe gÆp nhau xe ®¹p ph¶i ®i mÊt 4 giê n÷a míi tíi B. TÝnh vËn tèc cña mçi xe?
	6. Mét ca n« xu«i dßng tõ A ®Õn B c¸ch nhau 100 km. Cïng lóc ®ã mét bÌ nøa tr«i tù do tõ A ®Õn B. Ca n« ®Õn B th× quay l¹i A ngay, thêi gian c¶ xu«i dßng vµ ng­îc dßng hÕt 15 giê. Trªn ®­êng ca n« ng­îc vÒ A th× gÆp bÌ nøa t¹i mét ®iÓm c¸ch A lµ 50 km. T×m vËn tèc riªng cña ca n« vµ vËn tèc cña dßng n­íc?
	§¸p ¸n:
1. 
2. 20 km/h
3. Vận tèc cña « t« thø nhÊt 60 km/h. VËn tèc cña « t« thø hai lµ 50 km/h.
4. 25 km/h
5.
6. VËn tèc cña ca n« lµ 15 km/h. VËn tèc cña dßng n­íc lµ 5 km/h.
D¹ng 3: To¸n lµm chung c«ng viÖc
Nh÷ng kiÕn thøc cÇn nhí:
- NÕu mét ®éi lµm xong c«ng viÖc trong x giê th× mét ngµy ®éi ®ã lµm ®­îc c«ng viÖc.
- Xem toµn bé c«ng viÖc lµ 1
VÝ dô 1: 
	Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm 3 giê, ng­êi thø hai lµm 6 giê th× chØ hoµn thµnh ®­îc 25% c«ng viÖc. Hái nÕu lµm riªng th× mçi ng­êi hoµn thµnh c«ng viÖc trong bao l©u?
Gi¶i:
Ta cã 25%= .
Gäi thêi gian mét m×nh ng­êi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc lµ x(x > 0; giê)
Gäi thêi gian mét m×nh ng­êi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc lµ y(y > 0; giê)
Trong mét giê ng­êi thø nhÊt lµm ®­îc c«ng viÖc
Trong mét giê ng­êi thø hai lµm ®­îc c«ng viÖc.
Hai ng­êi cïng lµm th× xong trong 16 giê. VËy trong 1 giê c¶ hai ng­êi cïng lµm ®­îc c«ng viÖc.
Ta cã ph­¬ng tr×nh: 
Ng­êi thø nhÊt lµm trong 3 giê, ng­êi thø hai lµm trong 6 giê th× 25%= c«ng viÖc. Ta cã ph­¬ng tr×nh (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
.
 Vậy nÕu lµm riªng th× ng­êi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc trong 24 giê. Ng­êi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc trong 48 giê.
VÝ dô 2: 
	Hai thî cïng ®µo mét con m­¬ng th× sau 2giê 55 phót th× xong viÖc. NÕu hä lµm riªng th× ®éi 1 hoµn thµnh c«ng viÖc nhanh h¬n ®éi 2 lµ 2 giê. Hái nÕu lµm riªng th× mçi ®éi ph¶i lµm trong bao nhiªu giê th× xong c«ng viÖc?
	Gi¶i :
Gäi thêi gian ®éi 1 lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x (x > 0; giê)
Gäi thêi gian ®éi 2 lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x + 2 (giê)
Mçi giê ®éi 1 lµm ®­îc 
Mçi giê ®éi 2 lµm ®­îc 
V× c¶ hai ®éi th× sau 2 giê 55 phót =(giê) xong. 
Trong 1 giê c¶ hai ®éi lµm ®­îc c«ng viÖc
Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh 
Ta cã
VËy ®éi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc trong 5 giê. §éi hai hoµn thµnh c«ng viÖc trong 7 giê.
	Chó ý: 
	+ NÕu cã hai ®èi t­îng cïng lµm mét c«ng viÖc nÕu biÕt thêi gian cña ®¹i l­îng nµy h¬n, kÐm ®¹i l­îng kia ta nªn chän mét Èn vµ ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai.
	+ NÕu thêi gian cña hai ®¹i l­îng nµy kh«ng phô thuéc vµo nhau ta nªn chän hai Èn lµm thêi gian cña hai ®éi råi ®­a vÒ d¹ng hÖ ph­¬ng tr×nh ®Ó gi¶i.
VÝ dô 3: 
	Hai ng­êi thî cïng s¬n cöa cho mét ng«i nhµ th× 2 ngµy xong viÖc. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong 4 ngµy råi nghØ ng­êi thø hai lµm tiÕp trong 1 ngµy n÷a th× xong viÖc. Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh th× bao l©u xong c«ng viÖc?
Gi¶i:
Gäi thêi gian ®Ó mét m×nh ng­êi thø nhÊt hoµn thµnh c«ng viÖc lµ x (x>2; ngµy)
Gäi thêi gian ®Ó mét m×nh ng­êi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc lµ y (x>2; ngµy).
Trong mét ngµy ng­êi thø nhÊt lµm ®­îc c«ng viÖc
Trong mét ngµy ng­êi thø hai lµm ®­îc c«ng viÖc
C¶ hai ng­êi lµm xong trong 2 ngµy nªn trong 1 ngµy c¶ hai ng­êi lµm ®­îc c«ng viÖc. Tõ ®ã ta cã pt + = (1)
Ng­êi thø nhÊt lµm trong 4 ngµy råi ng­êi thø hai lµm trong 1 ngµy th× xong c«ng viÖc ta cã pt:
 (2) 
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt 
VËy ng­êi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viÖc trong 6 ngµy. Ng­êi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viÖc trong 3 ngµy.
Bµi t©p: 
	1. Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc th× xong trong 18 giê. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong 4 giê, ng­êi thø hai lµm trong 7 giê th× ®­îc 1/3 c«ng viÖc. Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh th× mÊt bao l©u sÏ xong c«ng viÖc?
	2. §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc hai tæ ph¶i lµm trong 6 giê. Sau 2 giê lµm chung th× tæ hai ®­îc ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c. Tæ mét ®· hoµn thµnh c«ng viÖc cßn l¹i trong 10 giê. Hái nÕu mçi tæ lµm riªng thh× bao l©u xong c«ng viÖc ®ã?
	3. Hai ®éi c«ng nh©n cïng ®µo mét con m­¬ng. NÕu hä cïng lµm th× trong 2 ngµy sÏ xong c«ng viÖc. NÕu lµm riªng th× ®éi haihoµn thµnh c«ng viÖc nhanh h¬n ®éi mét lµ 3 ngµy. Hái nÕu lµm riªng th× mçi ®éi ph¶i lµm trong bao nhiªu ngµy ®Ó xong c«ng viÖc?
	4. Hai chiÕc b×nh rçng gièng nhau cã cïng dung tÝch lµ 375 lÝt. Ë mçi binmhf cã mét vßi n­íc ch¶y vµo vµ dung l­îng n­íc ch¶y trong mét giê lµ nh­ nhau. Ng­êi ta më cho hai vßi cïng ch¶y vµo b×nh nh­ng sau 2 giê th× kho¸ vßi thø hai l¹i vµ sau 45 phót míi tiÕp tôc më l¹i. §Ó hai b×nh cïng ®Çy mét lóc ng­êi ta ph¶i t¨ng dung l­îng vßi thø hai thªm 25 lÝt/giê.
TÝnh xem mçi giê vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc bao nhiªu lÝt n­íc.
KÕt qu¶: 
	1) Ng­êi thø nhÊt lµm mét m×nh trong 54 giê. Ng­êi thø hai lµm mét m×nh trong 27 giê.
	2) Tæ thø nhÊt lµm mét m×nh trong 10 giê. Tæ thø hai lµm mét m×nh trong 15 giê.
	3) §éi thø nhÊt lµm mét m×nh trong 6 ngµy. §éi thø hai lµm mét m×nh trong 3 ngµy.
4) Mçi giê vßi thø nhÊt ch¶y ®­îc 75 lÝt.
D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc:
	KiÕn thøc cÇn nhí: 
	- DiÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt S = x.y ( xlµ chiÒu réng; y lµ chiÒu dµi)
	- DiÖn tÝch tam gi¸c ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)
	- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông)
	- Số đường chéo của một đa giác (n là số đỉnh)
Ví dụ 1: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.
Giải: 
 Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm2) . Theo bài ra ta có pt x.y = 40 (1)
Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là. Theo bài ra ta có pt 
(x + 3)(y + 3) – xy = 48 ó 3x + 3y + 9 = 48 óx + y = 13(2) 
Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X2 – 13 X + 40 = 0
Ta có 
Phương trình có hai nghiệm 
Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)
Ví dụ 2: Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác?
Giải: 
	Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m) (5 > x > 0)
	 Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m)
Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình 
x2 + (x + 1)2 = 52 
Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m.
Bài tâp : 
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi 
Bài 3: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Bài 4: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m2 . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi?
Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đừng lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường bằng diện tích hình thang.
Đáp số: 
	Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là 60 m2 
	Bài 2: Diện tích hình chữ nhật là 3750 m2
	Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh 
	Bài 4: Cạnh đày của tam giác là 36 m.
	Bài 5: Chiều rộng của đoạn đường là 5 m.
Dạng 5: To¸n d©n sè, l·i suÊt, t¨ng tr­ëng
	Nh÷ng kiÕn thøc cÇn nhí :
	+ x% = 
+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh A là
Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58
	Gọi lãi suất cho vay là x (%),đk: x > 0
Tiền lãi suất sau 1 năm là (đồng) 
 Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng)
Riêng tiền lãi năm thứ hai là 
Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng)
	200x2 + 40000x +2000000 (đồng)
Theo bài ra ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000
	ó x2 + 200x – 2100 = 0 .
	Giải phương trình ta được x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn)
Vậy lãi suất cho vay là 10 % trong một năm.
Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu.
	Giải 
 Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk 0 < x < 600.
Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x (sản phẩm).
Số sản phẩm vượt mức của tổ I là (sản phẩm).
Số sản phẩm vượt mức của tổ II là (sản phẩm).
Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt
	 ó x = 20 (thoả mãn yêu cầu của bài toán) 
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm)
Bài tập: 
	Bài 1: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lên 2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm.
	Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
	Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17%. Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?
Kết quả: 
	Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%
	Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm 
	Bài 3: Tổ I được giao 400 sản phẩm. Tổ II được giao 600 sản phẩm
Dạng 6: Các dạng toán khác
 Những kiến thức cần nhớ :
	- 
	- Khối lượng nồng độ dung dịch = 
Ví dụ : (Bài 5 trang 59 SGK)
 Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là x (g) . đk x > 0.
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là 
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch là: 
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 
Giải pt ta được x1 = -440 ( loại); 	x2 = 160 (thoả mãn đk của bài toán)
	Vậy trước khi đổ thêm nước trong dung dịch có 160 g nước.
	Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm3 để được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 . Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Giải 
	Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm3). Đk x > 0,2
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm3).
Thể tích của chất lỏng thứ nhất là 
Thể tích của chất lỏng thứ hai là 
Thể tích của hỗn hợp là 
Theo bài ra ta có pt . Giải pt ta được kết quả 
x1 = 0,1 (loại) ; 	x2 = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm3)
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm3).
Bài tập: 
Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế.
Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30 cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng số sách ở ngăn thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều. Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất. Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng ”. Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh tôi chỉ bán được đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?
	Kết quả: 
 	Bài 1: Có 60 dãy ghế 
	Bài 2: Giá thứ nhất có 180 quyển. Giá thứ hai có 220 quyển.
	Bài 3: Khoảng cách giữa hai hàng là 5m 
	Bài 4: Người thứ nhất có 40 quả. Người thứ hai có 60 quả. 
	Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam.