Chuyên đề Tìm chữ số tận cùng. Tìm một chữ số tận cùng

CHUYÊN ĐỀ 3 TÌM CHỮ SỐ TÂN CÙNG. 
 TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tìm chữ số tận cùng của tích: 
	+ Tích các số lẽ là một số lẽ.
	+ Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5.
	+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.
	+ Tích của một số t/cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng bằng 0.
2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
a) Tìm một chữ số tân cùng:
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) thì vẫn có tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6.
+ Các số tự nhiên có t/cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên l/thừa 4n đều có tận cùng là 1.
	34n = .1;	..74n = .1;	94n = 1
+ Các số t/nhiên có t/cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên l/thừa 4n (n0) đều có t /cùng là 6. 
 	24n = .6;	..44n = .6;	84n = 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số tận cùng bằng chính nó.
B/ Ví dụ : Tìm một chữ số tân cùng:
Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 .
 2) CMR 8102 – 2 102 Chia hết cho 10.
Giải: 1) Có : 7430 = 744.7.742 = (6). (6) = (6);	
 4931 = (.9); 	 
 8732 = 874.8 = (1);
 	 5833 = 5832. 58 = 584.8. 58 = (6). 58 = (8); 	
 2335 = 2332. 233 = (1) .(7) = (7).
 2) 8102 = 8100.82 = 84.25.82 = (6). 64 = .4
 2 102 = 2100.22 = 24.25.22 = (6) . 4 = .4.
 	Vậy 8102 – 2 102 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. 
C/ Bài Tập:
 1) CMR A = 51n + 47102 (n N) Chia hết cho 10.
Chứng tỏ rằng 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
 3) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:
74n - 1 chia hết cho 10.
34n+1 + 2 chia hết cho 5.
24n+1 + 3 chia hết cho 5
24n+2 + 1 chia hết cho 5
92n+1 + 1 chia hết cho cả 2 và 5.
4) Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10.
5) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n2 - n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng của n?
 TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tìm hai chữ số tân cùng:
+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76.
	+ Các số 320 (hoặc số 815); 74; 512; 992 có tận cùng bằng 01.
	+ Các số 220; 65; 184; 242; 742 ; 684 có tận cùng bằng 76. 
	+ Số 26n ( n > 1) có tận cùng bằng 76.
2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:
+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.
+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 0625.
 + Một số chính phương thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng:
	a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2100.
	b) Tìm hai chữ số tân cùng 71991.
Giải: 
 a) Ta có: 210 = 1024. Bình phương của số có t/cùng bằng 24 thì t/cùng bằng 76.
	Do đó 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = (76)5 = 76
 	Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100 là 76. 
b) 74 = 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Do đó:	7 1991 = 71998.73 = (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = (01). 343 = 43.
Vậy 71991 có tận cùng bằng 43.
C/ Bài Tập:
 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: 
 a) 5151 ;	 b) 6666 ;	 c) 14101. 16101; 	d) ; 	e) 5n, với n > 1
-
CHUYÊN ĐỀ 3 CHỮ SỐ TÂN CÙNG. (3 TIẾT)
Tiết 9,10,11: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:	
1) Tìm chữ số tận cùng của tích: 
+ Tích các số lẽ là một số lẽ.
+ Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5.
+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.
+ Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng bằng 0.
2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
a) Tìm một chữ số tân cùng:
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) thì vẫn có tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có tận cùng là 1.
	34n = .1;	..74n = .1;	94n = 1
+ Các số tự nhiên có t/cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên l/thừa 4n (n0) đều có tận cùng là 6. 
 	24n = .6;	..44n = .6;	84n = 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số tận cùng bằng chính nó.
B/ Ví dụ : Tìm một chữ số tân cùng:
Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 .
 2) CMR 8102 – 2 102 Chia hết cho 10.
Giải: 1) * Có : 7430 = 744.7.742 = (6). (6) = (6);	
 * 4931 = (.9); 	 
 * 8732 = 874.8 = (1);
 	 * 5833 = 5832. 58 = 584.8. 58 = (6). 58 = (8); 	
 * 2335 = 2332. 233 = (1) .(7) = (7).
 2) 8102 = 8100.82 = 84.25.82 = (6). 64 = .4
 2 102 = 2100.22 = 24.25.22 = (6) . 4 = .4.
 	Vậy 8102 – 2 102 có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10. 
C/ Bài Tập:
 Bài1) CMR A = 51n + 47102 (n N) Chia hết cho 10.
Giải: 51n = .1
 47102 = 47100.472 = 474.25.472 = (.1).( 9) = 9Vậy A = .1 + .9 = .0 nên ch hết cho 10.
Bài 2/Chứng tỏ rằng A = 175 + 244 – 1321 chia hết cho 10.
Giải: Có 175 + 244 – 1321 = 174.17 + (6) – (132)10. 13 = (1).17 + (6) – (9)10.13
 = (7) + (6) – (..1). 13 = (7) + (6) – (..3) = (3) + (3) = (0).Vậyá A chhết cho 10.
 Bài 3) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:
74n - 1 chia hết cho 10.
34n+1 + 2 chia hết cho 5.
24n+1 + 3 chia hết cho 5
24n+2 + 1 chia hết cho 5
92n+1 + 1 chia hết cho cả 2 và 5.
Giải: a/ Có 74n - 1 = (1) – 1 = (0) nên chia hết cho 10.
	b/ 34n+1 + 2 = 34n.3 + 2 = (1). 3 + 2 = (3) + 2 = 5 nên chia hết cho 5.
	c/ 24n+1 + 3 = 24n. 2 + 3 = (6). 2 + 3 = (2) + 3 = (5) nên chia hết cho 5.
	d/ 24n+2 + 1 = 24n.22 + 1 = (6). 4 + 1 = (4) + 1 = (..5) nên chia hết cho 5.
	e/ 92n+1 + 1 = (9) + 1 = (0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ).
Bài 4) Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10.
Giải: 4) Có n10 + 1 chia hết cho 10 => n10= n5.2= (n5)2 có tận cùng bằng 9.
 => n5 tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7. 
Bài 5) B/ rằng số t/nhiên n chia hết cho 2 và n2 - n chia hết cho 5. Tìm c/số t/cùng của n?
Giải: Có n2 – n = n.(n – 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n – 1 chia hết cho 5 
Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n – 1 tận cùng là 0 ; 5. => n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 .
Vì n chiz hết cho 2 . Vậy n tận cùng là 0; 6.
 TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tìm hai chữ số tân cùng:
+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01; 25; 76.
+ Các số 320 (hoặc số 815); 74; 512; 992 có tận cùng bằng 01.
+ Các số 220; 65; 184; 242; 742 ; 684 có tận cùng bằng 76. 
+ Số 26n ( n > 1) có tận cùng bằng 76.
2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:
+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 001; 376; 625.
+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 0625.
 + Một số chính phương thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng:
	a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2100. b) Tìm hai chữ số tân cùng 71991.
Giải: a) Ta có: 210 = 1024. B/phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76.
Do đó 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = (76)5 = 76Vậy2chữ số t/cùng của 2 100 là 76. 
b) 74 = 2401. Số có t/cùng bằng 01 nâng lên l/thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Do đó:	7 1991 = 71998.73 = (74)497. 343 = ( 01)497. 343 = (01). 343 = 43.
Vậy 71991 có tận cùng bằng 43.
C/ Bài Tập: 1) Tìm hai chữ số tận cùng của: 
 a) 5151 ;	 b) 6666 ;	 c) 14101. 16101; 	d) ; 	e) 5n, với n > 1
 Giải: a) 5151 = (512)25 . 51 = ;	
 b) 6666 = (65)133. 6 = (..76)133 . 6 = (76) . 6 = 56
 c) 14101. 16101 = (14 . 16)101 = 224101 = (2242)50 .224 = (76)50 .224 = (76) .224 = 24; 	
d) ; 	
e) 5n =.25. (n > 1).