Chuyên đề Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình có chứa tam thức bậc hai ở trong căn

Vũ Hồng Phong (Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du , Bắc Ninh) 
1 
Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016 
Phương pháp đặt ẩn phụ phương trình 
có chứa tam thức bậc hai ở trong căn 
 Vũ Hồng Phong (GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh) 
 (Ý tưởng bài viết: Dựa vào phép thế Ơ-le trong Tích Phân) 
Đặt ẩn phụ là một phương pháp rất hay giúp ta giải quyết được nhiều phương trình(PT) vô tỉ. Bài viết 
này xin giới thiệu tới các bạn cách giải quyết một số dạng phương trình có chứa tam thức bậc hai ở 
trong căn khá thú vị và hữu ích. 
dạng 1: Phương trình có chứa 
 cbxax 2 với 0a 
cách giải: Đặt txacbxax 2 
Thí dụ 1.Giải phương trình 
0
4516
15316
)1)(12( 2 



x
x
xxx 
Lời giải 
Đặt txx 12






22 )(1
0
xtx
tx
(*)
12
0
2






txt
tx
Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (*) 
Khi 0t thì 











t
t
x
t
t
2
1
0
2
1
(*)
2
2









t
t
x
t
2
1
0
2 (**)
thay vào PT đã cho được: 
0
45
1
.8
153
1
.8
1
1
2
2
2













t
t
t
t
t
t
t
0
8458
81538
1
2
2
2 



tt
tt
tt 
08153
8)8458)(1( 222


t
ttttt
019053378 234  tttt 
0)198)(5)(2(  tttt 
0 t hoặc 2t hoặc 5t hoặc 
8
19
t 
Ta loại 0t ,
8
19
t còn 2t và 5t 
 thay vào (**) ta được 
5
12
;
4
3
 xx 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm 
5
12
;
4
3
 xx
Thí dụ 2. Giải phương trình 
916
15
14)18(16 223


x
xxx
Lời giải 
Điều kiện 
16
9
x 
PT đã cho tương đương với PT 
(*)
916
30
14)216(32 223


x
xxx 
Ta có 
Vũ Hồng Phong (Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du , Bắc Ninh) 
2 
14)14()14(6
14128)142(
222
22332


xxxx
xxxxx
14)116(632 223  xxxx 
Suy ra 
)142(3
14)116(632(*)
2
223


xx
xxxxVT
)142(3)142( 232  xxxx 
Đặt txx  142 2 xtx 212 






22 )2(14
02
xtx
xt






14
02
2ttx
xt
 (1) 
+ Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (1) 
+ Xét 0t 











t
t
x
t
t
4
1
0
2
1
)1(
2
2









t
t
x
t
4
1
0
2 
 Khi này PT(*) trở thành 
9
4
1
.16
30
3
2
3



t
t
tt 
494
30
3
2
3


tt
t
tt 
494
30
3
2
2


tt
t (do 0t ) 
 30)494)(3( 22  ttt 
018271694 234  tttt 
0)354)(3)(2( 2  tttt 









0354
3
2
2 tt
t
t
Xét phương trình 0354 2  tt 
 có 0 nên nó vô nghiệm 
Do 0t nên ta chỉ lấy 2t 
-Với 2t thay vào (1) ta được 
8
3
x 
Vậy PT(*) có 1 nghiệm 
8
3
x 
dạng 2: Phương trình có chứa 
 cbxax 2 với 0c 
cách giải: 
Khi 0x đặt cxtcbxax 2 
Thí dụ 3. Giải phương trình 
3
7011
1
3
2
3
7
1
23
3
2 xxxx









 
Lời giải 
+Dễ thấy 0x không thoả mãn PT đã cho 
+ Xét 0x 
Đặt 11
3
2
3
7 2  txxx 








121
3
2
3
7
01
222 xtxtxx
tx






xtxxxt
tx
2673
01
222
)1(
26)73(
01
2






txt
tx
 (do 0x ) 
Dễ thấy khi 
3
7
073 2  tt 
không thoả mãn (1) 
Khi 
3
7
t thì 













01
73
26
.
73
26
)1(
2
2
t
t
t
t
t
x
Vũ Hồng Phong (Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du , Bắc Ninh) 
3 













0
73
723
73
26
2
2
2
t
tt
t
t
x





















3
7
3
7
73
26
2
t
t
t
t
x
 (2) 
Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta được 
3
7011
)11(
23
3 xxtx

 
233 .
3
7011
x
x
xt

 
70113 3  xxt 
70
73
26
.11
73
26
.3
22
3 






t
t
t
t
t 
)73(70)26(11)26(3 23  tttt 
046866210618 234  tttt 
0)1343)(2)(3(6 2  tttt 









01343
2
3
2 tt
t
t













3
432
2
3
t
t
t
đối chiếu điều kiện của t ở (2) ta loại 
3
432 
t 
Với t còn lại thay vào (2) ta được 
43213
4333
;2;1


 xxx 
Vậy PT đã cho có 3 nghiệm 
43213
4333
;2;1


 xxx 
dạng 3: Phương trình có chứa 
 ))(( 21 xxxxa  
cách giải: Khi 1xx  
đặt txxxxxxa )())(( 121  
Thí dụ 4. Giải phương trình 
14
41
28
27
)116)(1(2
11176 2



x
xx
xx
Lời giải. 
Dễ thấy 1x không là nghiệm của phương 
trình đã cho 
Với 1x đặt 
 0)1()116)(1(  txxx (1) 
22)1()116)(1( txxx  
2)1(116 txx  
22 11)6( txt  (2) 
Dễ thấy 6t không thoả mãn (2) 
Với 6t suy ra 
6
11
2
2



t
t
x (3) 
thay vào (1) ta được: 
0
6
5
)116)(1(
2



t
t
xx 
Suy ra 






06
6
t
t
(4) 
Phương trình đã cho trở thành 
14
41
6
11
.
28
27
6
5
2
6
5
2
2
2
2
2













t
t
t
t
t
t
)1252)(19555(700 222  tttt
)1252)(3911(140 222  tttt 
04681953505522 234  tttt 
0)15614322)(3)(1( 2  tttt 













44
6721143
3
1
t
t
t
Kiểm tra điều kiện ở (4) ta lấy 3t và 
Vũ Hồng Phong (Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du , Bắc Ninh) 
4 
44
6721143
t 
Thay các giá trị t vào (3) ta được 
3
2
x 
và 
672128615554
58746721286


x 
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm 
3
2
x và 
672128615554
58746721286


x 
Ta thử sức thêm với một phương trình phức 
tạp xem khả năng của cách đặt ẩn phụ khi 
này chuyển từ tìm nghiệm xấu sang tìm 
nghiệm đẹp như thế nào nhé! 
Thí dụ 5. Giải phương trình 
1
1224
25216
1
23
1
)23)(1(














 x
x
x
x
xx 
Lời giải. 
Do 1x đặt 
 0)1()23)(1(  txxx (1) 
22)1()23)(1( txxx  
2)1(23 txx  
22 2)3( txt  (2) 
Dễ thấy 3t không thoả mãn (2) 
Với 3t suy ra 
3
2
2
2



t
t
x (3) 
thay vào (1) ta được: 
0
3
)32(
)23)(1(
2




t
t
xx 
Suy ra 






30
3
t
t
(4) 
Từ cách đặt có 2
1
23
t
x
x



Phương trình đã cho trở thành 
1
1224
2521
3
2
6
1
)1( 2
2
2 


















 t
t
t
x
tx
0
)3)(1224(
63221)2515(
1
2
2
2 










t
t
tt 
0)63221(
)2515()3)(1224)(1(
2
42


t
ttt
021236)21236()75225(
)1224()2515(
2
34


tt
tt
  01826)2729()2515(
)2)(1(
2 

tt
tt













10
2019
2
1
t
t
t
Đối chiếu điều kiện (4) ta chỉ lấy 1t và 
2t . Suy ra 
2
21
x ; 42 x 
là tất cả các nghiệm của PT đã cho 
bài tập 
1)
x
xxxx
41105
891
1)34(54 223


Vũ Hồng Phong (Bất Lự,Hoàn Sơn, Tiên Du , Bắc Ninh) 
5 
2)  
5
2520
510
2
3
22



xx
x
xxx
3)   2322 2252423 xxxx  
4)  
5
2520
510
2
23
2



xx
x
xx
5)  
19
82315
242
3
2 
x
xxx
6) 
5
7
30
13
)1)(67( 2  xxxx 
7)
  4
105
94123
4091418
3
2
23



xx
xxx
8) 28
11176)16(
114635366
2
2



xxx
xx
9) 222 )22(11176)252(  xxxxx
10)
 22
34
2
243
142
815434



xx
xx
xxx
11)
5
1324
1)12(2 223


x
xxx
12)  
94
7425
94
8493
47
581
4322
2343
2 xxxxx 
13)
 
504
102531754204
35
35 2
2
2
2 xx
xxx
xxx 



14) x
x
xx
x
xx














44
1231
7
65
1
12
28
13 2
3
2
15) 1
3
2
3
7
1
3
2
3
7
1 22
3
2 







 xxxx 
xxx
27
640
27
373
27
230 23 


Các phương trình trong bài viết chưa được gọn và đẹp. 
Hi vọng các bạn tự sáng tác được ra các phương trình dạng này đẹp hơn!