Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức (Có lời giải)

 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 
HD:
	Xét hiệu ta có:
	Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 
HD:
	Xét hiệu ta có:
	Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì 
HD:
	Xét hiệu ta có:
	Dấu bằng khi x=y=z=1
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 
HD :
	Xét hiệu ta có :
	Dấu bằng khi a=b
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 
HD:
	Ta có:
, Dấu bằng khi a=b=c
Bài 6: CMR : 
HD:
	Ta có:
	, Dấu bằng khi a=b=c
Bài 7: CMR : 
HD:
	Ta chứng minh:
	Dấu bằng khi a=b
	Ta chứng minh 
	Dấu bằng khi a=b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR:  
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : 
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : 
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 
HD:
	ta có: VT 
	Dấu bằng khi 
Bài 12: Cho 
HD:
	Ta có:
	, Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: 
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng khi a=b
Bài 14: Cho CMR: 
HD:
Xét hiệu:
	Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : 
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0
Bài 17: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 19: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 20: CMR : 
HD:
	Ta có:
	Dấu bằng khi x=z=1, y=
Bài 21: CMR : 
HD:
	Ta có :
Bài 22: CMR : 
HD:
ta có:
Bài 23: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 24: CMR : 
HD:
Đặt 
Khi đó ta có: 
Bài 25: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 26: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: 
HD:
	Ta có:
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD:
	Ta có:
Bài 30: CMR: 
HD:
	Ta có:
Bài 31: CMR: 
HD:
	ta có:
Bài 32: CMR: 
HD:
Bài 33: CMR: 
HD:
	Ta có:
Bài 34: CMR: 
HD:
ta có:
Bài 35: CMR: 
HD:
ta có:
Không xảy ra dấu bằng
Bài 36: CMR: 
HD:
Ta có:
Bài 37: CMR: 
HD:
ta có: 
, Vì x > 0
Bài 39: CMR: 
HD:
Đặt 
Khi đó ta có: 
, Dấu bằng khi t=0 
Bài 40: CMR: 
HD:
Ta có :	
x
 ( ĐPCM)
Bài 41: CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 42: CMR : với a, b, c >0
HD:
Ta có:
Bài 43: CMR: với a,b,c>0
HD:
Ta có:
Vì , Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: 
HD:
Ta có:
Bài 45: CMR : Nếu , thì 
HD:
	Ta có:
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 47: CMR : 
HD:
Ta có:
Nên VT > 0
Bài 48: CMR : 
HD:
	Ta có:
	. đặt 
	, Dấu bằng khi 
Bài 49: CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 50: CMR : , Với a,b > 0
HD:
Ta có:
Bài 51: CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 52: CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : 
HD:
Ta có: 
Dấu bằng khi a=b=c=0
Bài 54: Cho x,y,z , CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : 
HD:
Ta có: 
Bài 56: CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 57: CMR : 
HD:
	ta có:
Bài 58: CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 59: CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 60: CMR : 
HD:
	Ta có:
	Đặt => 	
Bài 61: CMR : , Với 
HD:
Ta có:
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : 
HD:
Ta có:
Quy đồng 
 ( đúng)
Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì 
HD:
Ta có: 
Bài 64: CMR : 
HD:
	Ta có: 
Bài 65: CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và , CMR : 
HD:
Ta có: , 
Xét 
= 
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : , CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 68: CMR : 
HD:
Ta có: 
, Giả sử a > b => => ĐPCM
Nếu a => ĐPCM
Bài 79: CMR : 
HD:
Ta có:
Cộng theo vế ta được: 
Bài 70: Cho a+b=2, CMR : 
HD:
Ta có: 
Giả sử Nếu 
Bài 71: CMR : 
HD:
Ta có:
Giả sử : và 	=> ĐPCM
Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì 
HD:
Xét 
Giả sử => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 75: CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : 
HD:
	Ta có:
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : 
HD:
Ta có:
Bài 78: Cho , CMR : 
HD:
Ta có:
Xét tích 
mà 
mà 
Bài 79: Cho và x+y+z=0, CMR : 
HD:
Ta có:
Xét , Cộng theo vế ta có: 
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : , Với 
HD:
Ta có:
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR : 
HD:
Do 
=> 
Mặt khác: 0 
Vậy , Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: CMR : 
HD:
Chuyển vế ta có: 
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: , , CMR: 
HD:
Ta có: , Nhân vào ta được ĐPCM
Bài 84: Cho , CMR : 
HD:
Ta có: ( do ab >0)
Do 
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1, , CMR : 
HD:
Xét hiệu 
, Do ĐPCM
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu và a,b,c,d là các số dương thì 
a= b= c= d
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: Chứng minh rằng: 
HD:
Ta có: 
 (ĐPCM)
Bài 88: Cho hãy so sánh : , và 
HD:
	Vì 
	 , lại có: 
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: , Chứng minh rằng: , Dấu bằng xảy ra khi nào?
HD:
	Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
	 , Do vậy 
,() 
	Mà: , nên 
	Do vậy 
	Dấu bằng xảy ra khi: 
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: 
HD:
	Ta có: 
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: , Chứng minh rằng: 
HD:
	Ta có: 
Bài 92: Cho các số a, b, c , chứng minh rằng: 
HD:
	Do a, b,c , nên: 
	Do , từ đó ta có:
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : 
HD:
Ta có: 
=> 
Vậy 
Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 4: Cho , CMR: 
HD:
Ta có:
Cộng theo vế ta được: 
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: 
HD:
Ta có: 
=> 
Bài 7: Cho , CMR : 
HD:
Ta có: , Nhân theo vế ta được: 
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : 
HD:
Ta có: , Do 
Khi đó 
Chứng minh tương tự ta có:
 và 
Khi đó ta có: 
Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì 
HD:
Ta có: và 
Nhân theo vế ta có: 
Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : 
HD:
Ta có:
Từ , Đặt 
=> 
=> 
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì : 
HD:
Ta có: 
Bài 15: CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : 
HD:
Vì 
Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và ,CMR : 
HD:
Ta có: 
Đặt => , 
Khi đó: 
Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : 
HD:
Ta có: , Tương tự và 
Cộng theo vế ta có: 
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b 4
HD:
Ta có:
 Do 
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR : 
HD:
Ta có:
Mà: 
Tương tự => 
Khi đó VT 
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: , CMR: 
HD:
Ta có: 
=> 	(1)
Mặt khác: 	(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: CMR: , với mọi x,y là số thực
HD:
Ta có: 	(1)
Tương tự: 	(2)
Cộng theo vế ta được : 
Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì 
HD:
Ta có: , Tương tự ta có: 
Cộng theo vế ta được :
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì 
HD:
Ta có: , Mà 
Khi đó 
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : 
HD:
Ta có: 
=> 
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: , CMR : 
HD:
Ta có: 
Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: 
HD:
Ta có: 
Bài 28: Cho a+b=1, CMR: 
HD:
Ta có: 
Mặt khác:
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: 
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi 
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: CMR: 
HD:
Vì 
Khi đó: 
	(1)
mà 
	(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 
DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ
BĐT Cô Si: Với hai số a,b không âm ta có: , Dấu = xảy ra khi a=b
Mở rộng ta có: 
Co si ngược dấu: và 
BĐT Schwarz: với x, y > 0, Dấu = khi x = y
Mở rộng : , dấu = khi x = y = z
Bài 1: Cho x, y>0. Chứng minh BĐT : 
HD :
Ta có: gt 
Dấu ‘ = ‘ khi x=y
Bài 2: CMR: 
HD :
Ta có : 
Bài 3: CMR: 
HD:
Ta có : , tương tự : , và 
Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP => VT> VP
Bài 4: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: 
HD:
Ta có : và 
	Nhân theo vế ta được : 
Bài 5: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: 
HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :
Đặt 
Bài 6: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương
Áp dụng BĐT schawzr ta có : 
Tương tự ta cũng có : và 
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 7: Cho , CMR: 
HD :
Ta có : , Nhân theo vế ta được : 
Bài 8: Cho , CMR: 
HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có :
, Vì 
Bài 9: Cho a,b,c dương có tích bằng 1, CMR: 
HD :
Ta có : 
Bài 10: Cho a,b không âm, CMR: 
HD :
Ta có : 
Bài 11: Cho a,b,c,d dương có tích bằng 1, CMR:
HD :
Ta có : 
Bài 12: CMR: 
HD :
Ta có : 
Do áp dụng BĐT : 
Bài 13: CMR: 
HD :
Ta có :	(1)
Mặt khác : 
, Thay vào (1) ta được : 
Bài 14: CMR: 
HD :
Vì là 4 số dương => 
Bài 15: Cho a,b > 0, CMR: 
HD :
Bài 16: CMR: 
HD :
Ta có : Tương tự ta có : và 
Cộng theo vế ta có :
Bài 17: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD :
Ta có : , Tương tự ta có : và 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 18: Cho a,b,c>0, CMR: 
HD :
Ta có : => ĐPCM
Bài 19: Cho a,b > 0, a+b = 1, CMR: 
HD :
Ta có :
Ta lại có : 
Khi đó 
Bài 20: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 
HD :
Ta có : 
Bài 21: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: , CMR: 
HD :
Áp dụng BĐT : 
Tương tự ta có : 
Khi đó nhân theo vế ta được : 
Bài 22: CMR: với a,b,c > 0 thì 
HD :
Áp dụng BĐT : 
Tương tự ta có : , Cộng theo vế ta được  ĐPCM
Bài 23: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD :
Ta có : , Tương tự ta có : và 
Cộng theo vế ta được :
Bài 24: Cho a,b không âm, CMR: 
HD :
Ta có : 
Bài 25: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD :
Co si cho hai số : , Ta được: 
Tương tự ta có :
 và 
Cộng thoe vế ta được : 
Bài 26: CMR: Trong tam giác ABC ta có: 
HD :
Ta có : 
Lại có : 
, Tương tự ta có :
 và 
=> => Bài 27: Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1, CMR: 
HD :
Ta có : 
Chứng minh tương tự ta có :
Vì 
Bài 28: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: 
HD :
Ta có : , 
Ki đó 
Bài 29: Cho CMR: 
HD :
Áp dụng BĐT : 
Dấu ’’=’’ xảy ra khi 
Khi đó ta có :
tương tự ta có :
, Khi đó 
Bài 30: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của: 
Bài 31: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : 
Bài 32: Cho a,b,c là các số thực dương, CMR: 
Bài 33: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của :
Bài 34: CMR với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, thì: 
Bài 35: Giả sử có: 2015 số nguyên dương: thỏa mãn: , CMR có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau
Bài 36: Cho , CMR: 
HD: 
Từ: 
Do đó :
Bài 37: Cho hai số a,b khác 0 và trái dấu nhau trong đó: . xác định dấu của mỗi số
HD: 
Vì nên nên mà a ,b trái dấu nên a <0
Bài 38: Cho x>y>0 và , CMR: 
HD: 
Vì x>y>0=>x - y>0, 
Do đó : 
=> 
Bài 39: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : , CMR: 
HD:
	Cách 1:
Ta có: 
	Vì 
Khi đó: , Mà: 
	Cách 2:
Ta có: 
	Mặt khác ta lại có: Nên ,
Dấu ‘’=’’ khi 
Bài 40: Cho , Chứng minh rằng: (1) 
HD:
	Đặt , Khi đó: 
	 , Với 
	Áp dụng BĐT Côsi ta có:
	 , ĐT xảy ra khi x=y=z 
	 , ĐT xảy ra khi 
 , mà , Đẳng thức xảy ra khi : 
Bài 41: Cho a, b,c là ba số dương và , CMR : 
HD:
	Ta có: và 
	Áp dụng BĐT co si cho ba số dương a, b, c , Dấu bằng xảy ra khi a= b= c
DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:
Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có : 
Tương tự ta có: , cộng theo vế 
Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD :
Ta có : và và 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 
HD :
Ta có : và 
 và 
Cộng theo vế ta có :
Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 
HD :
Ta có : 
Chứng minh tương tự :
, 
Và 
Cộng theo vế ta có :
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta có : và và 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì 
HD :
Áp dung BĐT : , Đặt 
Khi đó ta có : 
=> ĐPCM
Bài 7: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Đặt : , Khi đó : 
Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 
CMR: 
HD :
Áp dụng BĐT Schawzr : 
Tương tự ta có :
 và , Cộng theo vế ta được : ĐPCM
Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì:
HD :
Ta có : 
Tương tự ta có : và 
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR: 
HD :
ta có : 
Chứng minh tương tự ta có : và 
Nhân theo vế ta được : 
Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:
HD :
Ta chứng minh : 
Chuyển vế ta được : 
Ta chứng minh : 
Ta có : , Cộng theo vế ta được : 
Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Ta có : 
Tương tự ta có : và 
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Ta có :
 (Luôn đúng )
Bài 14: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR: với 
HD :
Nhân 2 vế với a,b,c ta có : 
 Đúng
Bài 15: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì: 
HD :
Xét hiệu : 
 đúng
Bài 16: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
HD :
Ta xét : 
Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm
Bài 17: Cho 
HD :
Đặt Cộng theo vế ta được : 
	(1)
Mà : , Thay vào (1)
=> 
Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Ta có : , Cộng theo vế ta được ĐPCM
Bài 19: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: , cũng là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
HD :
Ta cần chứng minh : 
Tương tự ta cũng có : và 
Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1,
CMR: 
HD :
Giải sử : 
Khi đó : 
lại có :
Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,
 CMR: 
HD :
Ta có :
Tương tự ta có : và 
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR : 
HD :
Ta chứng minh : 
Chuyển vế ta được : 
Ta chứng minh : 
ta có :
, Cộng theo vế ta được : 
Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR: 
HD :
Giải sử : 
Khi đó : 
lại có :
Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: 
HD :
Ta có : 
, Lại có :
Bài 25: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn: ,
 Tìm Max của: 
HD :
Ta có : 
Schawzr ta có :
	(1)
Mà : , Tự chứng minh
=> thay vào (1) ta được :
Bài 26: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác: CMR :
HD :
Xét hiệu ta có :
Tương tự ta cũng có :
 và 
Khi đó 
Giả sử : Ngoặc 2, 3 
ta có ngoặc 1= , ĐPCM
Bài 27: Cho 
HD :
Đặt Cộng theo vế ta được : 
	(1)
mà : , Thay vào (1)
=> 
Bài 28: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 
HD :
Đặt : , Khi đó : 
Bài 29: Cho a,b,c,d>0, CMR: 
Bài 30: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì :
Bài 31: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : , CMR : 
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi
HD:
	Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương)
	Ta có: (1) và 	(2)
	Từ (2) , thay vào (1) ta có:
	 , thay vào (1) ta được :
	Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : 
DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI:
Bài 1: Cho 
HD :
Ta có :	Dấu bằng khi a = 2 => 
Khi đó ta có :
Dấu bằng khi 
Bài 2: Cho a,b > 0, 
HD :
Ta có : Dấu bằng khi 
Khi đó : 
, Mà 
Bài 3: Cho Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có : , đặt 
Dấu bằng khi 
Bài 4: Cho a3, Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có : Dấu bằng khi 
Vậy Min 
Bài 5: Cho x1, Tìm Min của: 
HD :
Ta có : Dấu bằng khi 
Khi đó : 
Bài 6: Cho x,y là các sớ thực dương thỏa mãn: x+y6, Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi , Dự đoán sẽ có các cặp (x ; y) là (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) và (4 ;2)
và nhận thấy cắp (2 ;4) thì P có giá trị nhỏ nhất
Khi đó ta có :
=>
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c20, 
Tìm Min của: 
HD :
	Dấu bằng khi a=2, b=3, c=4
	Khi đó : 
Bài 8: Cho a2, Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi a=2=> , Khi đó ta có :
Bài 9: Cho , Tìm Min của: 
HD ;
Dấu bằng khi , Khi đó ta có :
, mà 
Bài 10: Cho a10, b100, c1000, Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi , Tương tự với b và c, 
Khi đó ta có :
, Tương tự với b và c
Bài 11: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: 
HD :
	Dấu bằng khi , Khi đó 
 Mà 
Vậy 
Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: 
HD :
Ta có : Dấu bằng khi 
Tương tự ta có : 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 13: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: 
HD :
	Dấu bằng khi 
Bài 14: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , 
Tìm Min của: 
HD :
	Dấu bằng khi 
Bài 15: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: , , Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi Khi đó :
, Tương tự ta cũng có : 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 16: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm min của: 
HD :
Ta có : Dấu bằng khi 
Khi đó ta có : 
mà 
Vậy 
Bài 17: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: , Tìm min của 
HD :
Dấu bằng khi 
Bài 18: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min 
HD :
	Dấu bằng khi 
	Khi đoa : 
Bài 19: Cho a,b,c là các sơ thực dương thỏa mãn: , Tìm Min:
HD :
Dấu bằng khi : 
Bài 20: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: 
Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi : , Ta cần chứng minh 
Xét 
, do , Nên ta cần chứng minh :
BĐT này đúng do: khi 
Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi : 
Khi đó ta có :
Bài 22: Cho và a,b>0, Tìm min của: 
HD :
Dấu bằng khi 
Khi đó : 
Bài 23: Cho a,b>0 và , Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi : . Khi đó : 
 =>
Mặt khác : 
Dấu bằng khi 
Bài 24: Cho a,b>0, , Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi 
Khi đó : 
. Dấu bằng khi 
Bài 25: Cho a,b>0 và , Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi và 
Khi đó : 
, Vì =>, Dấu bằng khi 
Bài 26: Cho a,b,c>0 và , Tìm Min của: 
HD :
Dấu bằng khi , Khi đó : 
Tìm m sao cho : 
, Ta lại có : 
Bài 27: Cho x,y,z>0 và , Tìm Max của : 
HD :
Dấu bằng xảy ra khi 
Nên : 
Bài 28 : Cho a,b,c là các số thực dương và , CMR: 
HD :
Dấu bằng khi : 
Khi đó ta có : =>, 
Tương tự ta có : 
Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của 
HD :
Dấu bằng khi : 
Nên : 
Tương tự ta có :
 và 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 30: Cho x,y,z>0 và xyz=1, CMR: 
HD :
Ta có  Dấu bằng khi 
Khi đó : , tương tự ta có : và 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 31: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min của : 
HD :
	Ta có : , Cộng theo vế ta được : 
Dấu bằng khi x=y=1, z=2
Bài 32: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min của : 
HD :
Ta có : hoặc 
Hay 
Dấu bằng khi 
Bài 33 : Cho a,b là các số thực thỏa mãn : và a+b=11, 
Tìm Max của : 
HD :
Dấu bằng khi 
Khi đó :
Bài 34: Cho x,y > 0, 
HD :
Dấu bằng khi 
Khi đó : 
=>
Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn :
HD :
Dấu bằng khi 
Co si ngược ta có :, 
Tương tự ta có : 
Cộng theo vế ta được : 
Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: 
HD :
Dấu bằng khi :
Co si ngược ta có :
Cộng theo vế ta được :
Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: 
HD :
Dáu bằng khi 
Khi đó : 
Nên : , Tương tự ta có :
Bài 38: Cho x,y > 1, CMR :
HD :
Dấu bằng khi , Thay vào ta được :
Khi đó : và 
Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn:, CMR: 
HD :
Dấu bằng khi 
Khi đó : 
Tương tự ta có : 
BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN
Bài 1 : Cho , Chứng minh rằng : 
HD:
	Từ 
	Mặt khác: 
	Với 
	Với 
Bài 2 : Cho x+y=2, CMR: 
HD : 
Xét = 
Do x-1=1-y
Vậy 
Giả sử : và do đó : 
Tương tự nếu lấy và đo đó dấu = khi x=y=1
Bài 3: CMR: 
HD: 
Đặt , từ đó:
 thay vào A ta được 
Bài 4: CMR: nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A<0
HD: 
Ta có: 
 Vậy A<0
Bài 5: Cho a,b,c,d > 0, Chứng tỏ rằng: có giá trị không nguyên
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 
HD: 
Ta có gt=> =>
Bài 7: Cho và , CMR: 
HD: 
Đặt 
Khi đó x+y+z= và với 
Áp dụng Co si cho 3 số : ta được 
=> mà => đảng thức xảy ra khi x=y=z=
Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3. CMR: 
HD: 
Theo giả thiết ta có: 
Cộng hai vế với sau đó thu gọn ta được:
, Mà 
Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và 1 số bằng 1
Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: , CMR : , dấu bằng xảy ra khi nào ?
HD: 
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:	 do vậy 
Do . Mà Nên do vậy dấu bằng khi x=y=1 
Bài 10: CM: 
HD: 
=>
=> luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1
Bài 11: CMR không có giá trị nào của x thỏa mãn: 
HD: 
Ta có: mà => đpcm
Bài 12: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: , CMR: 
HD: 
Ta có: 
=> 
=> luôn đúng do a, b dương
Bài 13: Cho các số a, b, c, CMR: 
HD: 
Do a,b,c Nên 
=>, Do a,b,c nên , từ đó ta có:
Bài 14: Cho a>0, b>0 và a+b=1, CMR: 
HD: 
=> do a+b=1
=> => đúng với mọi a, b
Bài 15: Cho a, b, c là ba số dương và , CMR : 
HD:
 và 
=> 
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c
Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: vô nghiệm,
CMR: 
HD: 
Do nên ta có (*)
Vì phương trình vô nghiệm nên 
=> từ đó suy ra: (*) đúng hay 
Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : 
Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: 
Bài 19: CMR : với mọi x
Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: và . CMR: 
Bài 21 : CMR : 
HD :
Ta có : Khi đó : 
, Dấu ‘’=’’ khi x=y=z
Bài 22 : CHứng minh rằng  nếu : , thì hoặc : 
Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR : 
Bài 24: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: và , thì 
Bài 25: Cho , CMR: 
Bài 26: Cho , CMR: 
Bài 27: Cho , Tính giá trị của: 
Bài 28: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: , CMR: 
Bài 29: Cho , tính giá trị của: 
Bài 30: Cho , CMR: 
Bài 31: Cho , Rút gọn: 
Bài 32: Cho , CMR: 
Bài 33: Cho , CMR: 
 Bài 34: Chứng minh rằng nếu: thì: 
Bài 35: Cho a ,b thỏa mãn: , CMR: 
Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: , Tìm GTLN của: 
HD:
Ta có: ,
Bài 37: Cho a, b, c là các số thỏa mãn hai điều kiện vô nghiệm, 
Chứng minh rằng: 
HD:
	Do , nên bất đẳng thức: 
	Vì phương trình: vô nghiệm nên 
	Từ đó suy ra: