Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 - Chuyên đề 1 - Phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 A. MỤC TIÊU:
* Hệ thống lại các dạng tốn và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) cĩ nghiệm hữu tỉ thì cĩ dạng p/q trong đĩ p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) cĩ một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) cĩ tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) cĩ một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để nhanh chĩng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu cĩ thì x = , chỉ cĩ f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) nên f(x) cĩ một nhân tử là x – 2. Do đĩ ta tách f(x) thành các nhĩm cĩ xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = = 
Cách 2: 
 = 
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: khơng là nghiệm của f(x), như vậy f(x) khơng cĩ nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu cĩ nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đĩ f(x) cĩ một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 
 = 
Vì với mọi x nên khơng phân tích được thành 
nhân tử nữa
Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4 
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức cĩ một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức cĩ một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta cĩ:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 khơng cĩ nghiệm nguyên cũng khơng cĩ nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích được nữa
Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x) 
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9) 
Ví dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4 
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 ) 
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) 
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức cĩ dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều cĩ nhân tử chung là x2 + x + 1
III. ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cĩ dạng
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đĩ
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - )2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 
Chú ý: Ví dụ trên cĩ thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = 
= 
Đặt = a, xy + yz + zx = b ta cĩ 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( + xy + yz + zx)2
Ví dụ 4: B = 
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cĩ:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại cĩ: a – b2 = - 2() và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đĩ;
B = - 4() + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 
Ví dụ 5: 
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + ). Ta cĩ:
C = (m + c)3 – 4. = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số 1, 3 khơng là nghiệm của đa thức, đa thức khơng cĩ nghiệm nguyên củng khơng cĩ nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải cĩ dạng 
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta cĩ: 
Xét bd = 3 với b, d Z, b với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành
Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) 
Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức cĩ 1 nghiệm là x = 2 nên cĩ thừa số là x - 2 do đĩ ta cĩ:
 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) 
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c 
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) 
Ta lại cĩ 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức cĩ tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nên cĩ 1 nhân tử là x + 1 nên 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví dụ 3: 
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x4 - 32x2 + 1
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
12) x3 + 3xy + y3 - 1
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
14) x8 + x + 1
15) x8 + 3x4 + 4 
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
17) x4 - 8x + 63
CHUYÊN ĐỀ 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP, 
CHUYÊN ĐỀ 2: HỐN VỊ, TỔ HỢP
A. MỤC TIÊU:
* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hốn vị và tổ hợp
* Vận dụng kiến thức vào một ssĩ bài tốn cụ thể và thực tế
* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải tốn cho HS
B. KIẾN THỨC:
I. Chỉnh hợp:
1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp X ( 1 k n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu 
 = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)]
2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử 
II. Hốn vị:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hốn vị của n phần tử ấy
Số tất cả các hốn vị của n phần tử được kí hiệu Pn
Pn = = n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n! 
2. Tính số hốn vị của n phần tử 
( n! : n giai thừa)
III. Tổ hợp:
1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 k n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy
Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu 
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử 
 = : k! = 
C. Ví dụ:
1. Ví dụ 1:
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5
a) cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên
b) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên
c)Cĩ bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên
Giải:
a) số tự nhiên cĩ ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
b) số tự nhiên cĩ 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hốn vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):
 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử: 
c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số nhĩm
 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
2. Ví dụ 2:
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này:
a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số trong đĩ khơng cĩ chữ số nào lặp lại? Tính tổng các số lập được
b) lập được bao nhiêu số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau?
c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ hai chữ số kề nhau phải khác nhau
d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đĩ cĩ hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn
Giải
a) số tự nhiên cĩ 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử: = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số cĩ mặt: 120 : 5 = 24 lần
Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360
Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
b) chữ số tận cùng cĩ 2 cách chọn (là 2 hoặc 4)
bốn chữ số trước là hốn vị của của 4 chữ số cịn lại và cĩ P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách chọn
Tất cả cĩ 24 . 2 = 48 cách chọn
c) Các số phải lập cĩ dạng , trong đĩ : a cĩ 5 cách chọn, b cĩ 4 cách chọn (khác a), c cĩ 4 cách chọn (khác b), d cĩ 4 cách chọn (khác c), e cĩ 4 cách chọn (khác d)
Tất cả cĩ: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số
d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, cĩ 1 cách chọn
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, cĩ 3 cách chọn. Các chữ số cĩ thể hốn vị, do đĩ cĩ: 
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: Cho . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12 điểm nĩi trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.
Cĩ bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy
Giải
Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại:
+ Loại 1: các tam giác cĩ một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc Ax (cĩ 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (cĩ 5 cách chọn), gồm cĩ: 6 . 5 = 30 tam giác
+ Loại 2: Các tam giác cĩ 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 (cĩ 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Cĩ cách chọn)
Gồm 5 . 15 = 75 tam giác 
+ Loại 3: Các tam giác cĩ 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2 trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm cĩ: 6. tam giác
Tất cả cĩ: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác
Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 
Số bộ ba điểm thẳng hàng trong 6 điểm thuộc tia Ay là: 
Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác
D. BÀI TẬP:
Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Cĩ 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy?
b) Cĩ 4 chữ số, cĩ các chữ số khác nhau?
c) cĩ 3 chữ số, các chữ số khác nhau?
d) cĩ 3 chữ số, các chữ số cĩ thể giống nhau?
Bài 2: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đĩ chia hết cho 9
Bài 3: Trên trang vở cĩ 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đơi một cắt nhau. Hỏi trên trang vở đĩ cĩ bao nhiêu hình chữ nhật
CHUYÊN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
A. MỤC TIÊU: 
HS nắm được cơng thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n
Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
(a + b)n = an + an - 1 b + an - 2 b2 + + ab n - 1 + bn
I. Nhị thức Niutơn:
Trong đĩ: 
II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:
1. Cách 1: Dùng cơng thức 
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là 
Chú ý: a) với quy ước 0! = 1 
b) Ta cĩ: = nên 
2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh
1
Dịng 1
1
1
Dịng 2
1
2
1
Dịng 3
1
3
3
1
Dịng 4
1
4
6
4
1
Dịng 5
1
5
10
10
5
1
Dịng 6(n = 6)
6
15
20
15
6
1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dịng k + 1 được thành lập từ dịng k
 (k 1), chẳng hạn ở dịng 2 (n = 2) ta cĩ 2 = 1 + 1, dịng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2 
dịng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, 
Với n = 4 thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3. Cách 3:
Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:
a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
b) Muốn cĩ hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k 
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b5
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn cĩ tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa 
là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối cĩ hệ số bằng nhau
(a + b)n = an + nan -1b + an - 2b2 + + a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn
III. Ví dụ:
1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử 
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rồi rút gọn A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5
 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
 = 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2)
Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta cĩ: 
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A cĩ nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử cịn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 
 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 
 = 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
 = 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
 = 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức cĩ được sau khi khai triển
a) (4x - 3)4
Cách 1: Theo cơnh thức Niu tơn ta cĩ:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81
 Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4
Tổng các hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta cĩ: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa 
thức đĩ tại x = 1
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4
Bài 2: Tìm tổng các hệ số cĩ được sau khi khai triển đa thức
a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011
CHUÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TỐN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài tốn chia hết giữa các số, các đa thức
* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài tốn chứng minh chia hết, khơng chia hết, sốnguyên tố, số chính phương
* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, khơng chia hết vào các bài tốn cụ thể
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TỐN:
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử cĩ một nhân tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nĩ thành nhân tử cĩ các đoi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đĩ
* Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
+) an - bn chia hết cho a - b (a - b)
+) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b
+ (a + b)n = B(a) + bn
+) (a + 1)n là BS(a )+ 1
+)(a - 1)2n là B(a) + 1
+) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1
2. Bài tập:
2. Các bài tốn
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251 - 1 chia hết cho 7 b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng khơng chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với nỴ N 
Giải
a) 251 - 1 = (23)17 - 1 23 - 1 = 7
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 4 + 9 = 13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1) 
1719 + 1 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 19 - 1 = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) 
hay 1719 + 1917 18
d) 3663 - 1 36 - 1 = 35 7
 3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 24 - 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n Ỵ N ; 
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nỴ Z
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với nỴ N ; 
Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì 
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A cĩ chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)
+ Ta cĩ: 27n - 27 27 (1)
+ 10 n - 9n - 1 = [( + 1) - 9n - 1] = - 9n = 9( - n) 27 (2)
vì 9 9 và - n 3 do - n là một số cĩ tổng các chữ số chia hết cho 3 
Từ (1) và (2) suy ra đpcm 
3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a3 - a chia hết cho 3
b) a7 - a chia hết cho 7
Giải
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng cĩ một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 - a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Giải
Ta cĩ: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta cĩ: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại cĩ: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Bài tập về nhà
Chứng minh rằng:
a) a5 – a chia hết cho 5
b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
e) 20092010 khơng chia hết cho 2010
f) n2 + 7n + 22 khơng chia hết cho 9
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 1: 
Tìm số dư khi chia 2100 
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1
Ta cĩ : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7
Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
b) Tương tự ta cĩ: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1
Vậy: 2100 chia chop 25 thì dư 1
c)Sử dụng cơng thức Niutơn:
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 +  + . 52 - 50 . 5 ) + 1
Khơng kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: . 52 - 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đĩ chia cho 6 thì dư bao nhiêu?
Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + + an. 
Gọi = + a - a
 = (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + + (an 3 - an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đĩ chia cho 6 dư 3
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân
giải
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125
Vận dụng bài 1 ta cĩ 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nĩ chỉ cĩ thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nĩ chia hết cho 8
trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ cĩ 376 chia hết cho 8
Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân cĩ ba chữ số tận cùng là 376
Tổng quát: Nếu n là số chẵn khơng chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nĩ là 376
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7
a) 2222 + 5555 b)31993
c) 19921993 + 19941995 d)
Giải
a) ta cĩ: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 
= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0
b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1
Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đĩ:
 31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đĩ:
 19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1
Theo câu b ta cĩ 31993 = BS 7 + 3 nên 
 19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3 
d) = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 
Bài tập về nhà 
 Tìm số d ư khi:
a) 21994 cho 7
b) 31998 + 51998 cho 13
c) A = 13 + 23 + 33 + ...+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 
Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết
Bài 1: Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 - n
Giải
Chia A cho B ta cĩ: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2
Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đĩ 2 chia hết cho n, ta cĩ:
n
1
- 1
2
- 2
n - 1
0
- 2
1
- 3
n(n - 1)
0
2
2
6
loại
loại
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 
B = n2 - n thì n 
Bài 2:
a) Tìm n N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
b) Giải bài tốn trên nếu n Z
Giải
Ta cĩ: n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) - (n2 - 1) n3 + 1 (n + 1)(n - 1) n3 + 1 
 (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 - n + 1) n - 1 n2 - n + 1 (Vì n + 1 0)
a) Nếu n = 1 thì 0 1
Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2 - n + 1 nên khơng thể xẩy ra n - 1 n2 - n + 1 
Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1
b) n - 1 n2 - n + 1 n(n - 1) n2 - n + 1 (n2 - n + 1 ) - 1 n2 - n + 1 
 1 n2 - n + 1. Cĩ hai trường hợp xẩy ra:
+ n2 - n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 (Tm đề bài)
+ n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vơ nghiệm)
Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:
a) n2 + 2n - 4 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 
Giải
a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đĩ cĩ một hạng tử là B(11)
n2 + 2n - 4 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11 
 (n - 3)(n + 5) 11
b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 
Vậy: n thì 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1)
B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1 n + 1 (n + 1) - 2 n + 1 
 2 n + 1 
Vậy: n thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 
d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8
Để n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 thì n + 8 n2 + 1 (n + 8)(n - 8) n2 + 1 65 n2 + 1 
Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8
Thử lại ta cĩ n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 khi n = 0, n = 8
Bài tập về nhà:
Tìm số nguyên n để:
a) n3 – 2 chia hết cho n – 2
b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1
c)5n – 2n chia hết cho 63
Dạng 4: Tồn tại hay khơng tồn tại sự chia hết
Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7
Giải 
Nếu n = 3k ( k N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k - 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3
V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n N để:
a) 3n – 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
c) 5n – 2n chia hết cho 9
Giải
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n
 = BS 25 + 2(9n + 16n) 
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) thì 9n cĩ chữ số tận cùng bằng 1 , cịn 16n cĩ chữ số tận cùng bằng 6
suy ra 2((9n + 16n) cĩ chữ số tận cùng bằng 4 nên A khơng chia hết cho 5 nên khơng chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9
 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3
Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n khơng chia hết cho 9
CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Số chính phương:
A. Một số kiến thức:
 Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác
Ví dụ:
4 = 22; 9 = 32
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2
+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia
hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24,
+ Số = a thì = 9a 9a + 1 = + 1 = 10n
B. Một số bài toán:
1. Bài 1: 
Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
Giải
Gọi A = n2 (n N)
a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho 3
n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4
 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)
2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Giải
a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương
c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương
d) Q = 12 + 22 + ...+ 1002
Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương
e) R = 13 + 23 + ... + 1003
Gọi Ak = 1 + 2 +... + k = , Ak – 1 = 1 + 2 +... + k = 
Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 khi đó:
13 = A12
23 = A22 – A12
.....................
n3 = An2 = An - 12
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:
13 + 23 + ... +n3 = An2 = là số chính phương
3. Bài 3:
CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.
a) A = (10n +10n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1
A = ()(10 n+1 + 5) + 1 
 Đặt a = 10n+1 thì A = (a + 5) + 1 = 
b) B = 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)
B = + 1 = . 10n + + 1 = . 10n + 5 + 1
Đặt = a thì 10n = 9a + 1 nên
B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 = 
c) C =.+ + 1 
Đặt a = Thì C = + 4. + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1 
= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
d) D = 81 . Đặt = a 10n = a + 1
D = . 10n + 2 + 8. 10n + 1 + 1 = a . 100 . 10n + 80. 10n + 1 
 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = ()2
e) E = 5 = 00 + 25 = .10n + 2 + 2. 00 + 25
= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (5)2
f) F = = 4. là số chính phương thì là số chính phương
Số là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1
Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1
 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3
vậy không là số chính phương nên F = không là số chính phương
Bài 4:
a) Cho các số A = ; B = ; C = 
CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .
Ta có: A ; B = ; C = Nên: 
A + B + C + 8 = + + + 8 = 
= = 
b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 =