Đề thi olympic lớp 8 năm học 2013 - 2014 môn: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang
Câu 1 ( 4 điểm ) 
Giải phương trình: 
a, 2x2+ 11x +12 =0 
b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0 
Câu 2 (2điểm ) 
 . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 
 a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca)
Câu 3 (5điểm ) 
 1. Tìm các hằng số a, b để đa thức A (x) chia hết cho đa thức B (x) :
 A (x) = 2x3 +7x2 + ax + b ; B (x)= x2 + x – 1 với mọi x є Q.
 	2. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa
 	thức .
Câu 4 ( 2 điểm )
Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6
Câu 5 ( 7 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A . và M là trung điểm của BC . Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các cạnh AB , AC sao cho = . Chứng minh rằng:
	a, ∆ BDM đồng dạng với ∆ CME
	b, BD . CE không đổi.
 	c, DM là phân giác của 
----------- Hết -------------
 TRƯỜNG THCS TÂN ƯỚC
H­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2013 - 2014
M«n thi : To¸n Líp 8
Câu
Nội dung
Điểm
1 a, 2x2+ 11x +12 = ( 2x + 3 ) (x + 4) =0
 S = 
1,0đ
1,0đ.
Câu 1
(4đ)
b, 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 = 0 (1)
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)
 Chia hai vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta được :
 6x2 -5x -38 - + = 0 
Đặt = y thì = y2 -2 ta được :
 6(y2 -2) -5y - 38 = 0
 ó 6y2 -5y -50 = 0 
 ó (3y -10) ( 2y +5) = 0
 ó y Î { ; - }
+ Với y = thì = ó 3x2 -10x + 3 = 0 
 ó ( 3x-1) ( x-3) = 0 ó x1 = 3
 x2 = 
+ Với y = - thì = - 
 ó 2x2 +5x + 2 = 0 
 ó ( 2x+1) ( x+2) = 0 ó x1 = -2
 x2 = -
 Vậy S = 3; ; -2 ;- 	
0,5đ
0,5đ
 0,5đ
 0,5đ
Câu 2
(2đ)
 Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên :
 a a . a a2 < ab + ca 
Tương tự ta có : b2 < ab + bc ; c2 < ca + bc.
 Do đó a2 + b2 + c2 < ab + ca +ab + bc+ ca +bc
 => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) 
1,0đ.
1,0đ.
1. Thực hiện phép chia A (x) cho B (x) ta được số dư là
(a - 3) x + b + 5.
Để đa thức A(x) B(x) khi ( a - 3) x + b + 5 là đa thức 0 
 => a - 3 = 0 => a = 3
 và b + 5 = 0 => b = -5
Vậy để đa thức A(x) chia hết cho đa thức B(x) thì a=3 ; b = -5 
 1,0đ.
 0,5đ.
0,5đ.
 0,5đ.
Câu 3
(5đ)
2 . Ta có : 
 = (x + 2) ( x + 8) (x + 4) ( x + 6) + 2008
 = ( x2 + 10x + 16)( x2 + 10x + 24) + 2008 (1) 
 Đặt ( x2 + 10x + 16)= t . Thay vào biểu thức (1) ta có :
 t (t+ 8) + 2008
 = t2 +8t +2008 
 = t2 +3t +5t +15 + 1993 
 = ( t +3 ) (t + 5) + 1993
 = ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993
 Vì ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) ( x2 + 10x + 21) 
 Nên ( x2 + 10x + 19)( x2 + 10x + 21) + 1993 chia x2 + 10x + 21
dư 1993 .
Vậy số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức là 1993 .
0,5đ.
 1,0đ.
 0,5đ.
 0,5đ
Ta có A = x6 + y6 = = (x2 + y2)(x4 + y4 - x2y2)
 = x4 + y4 - x2y2 (Vì x2 + y2 = 1)
 = (x2 + y2)2 - 3 x2y2 = 1 - 3x2y2
0,75 đ
Câu 4 2điểm
Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1-3x2y2 ≤ 1 với mọi x, y
Hay A ≤ 1
0,25đ
 max A = 1 x2y2 = 0 (1)
Mà x2 + y2 = 1 nên (1) 
0,25đ
0,5đ
A
Vậy max Q = 1 x = 0 ; y = hoặc x = ; y = 0
0,25đ
Câu 5 (7đ)
D
E
C
M
BC
 Vẽ hình đúng : 
a) Xét ∆ BDM có :
 + + = 1800
 + + = 1800 
 mà = (GT)
 = 
Xét ∆ BDM và ∆ CME có :
 và = 
 => ∆ BDM ∽∆ CME ( g.g)
 0,5đ
 2,5 đ
b) Từ ∆ BDM ∽∆ CME ( cmt) :
 => 	
 BD . CE = CM . BM = BC2 ( CM = MB = BC) 
 Vây BD . CE không đổi.
 2 đ 
c) c/m : ∽ ( c.g.c)
 => = ( 2 góc tương ứng ) 
 => DM là phân giác của 
 2đ
- Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa.
Tân Ước, ngày 22 tháng 03 năm 2014
Xác nhận của tổ KHXH	 Người thực hiện
	 Vũ Thị Liêm
Xác nhận của Ban giám hiệu