Các phương pháp giải toán tiểu học phương pháp diện tích

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TIỂU HỌC
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH
Trong số những bài tập hình học có một nhóm bài tập liên quan đến diện tích các hình. Để giải các bài tập đó ở tiểu học thường áp dụng một số phương pháp thể hiện sau đây :
1.Vận dụng công thức tính toán diện tích các hình
Các bài toán có nội dung liên quan đến diện tích thường được thể hiện dưới các dạng sau đây:
a.Áp dụng trực tiếp công thức diện tích khi đã cho biết độ dài các đoạn thẳng là các thành phần của công thức diện tích.
b.Nhờ công thức diện tích mà tính độ dài một đoạn thẳng là yếu tố của hình.
 Ví dụ : Cho hình tam giác ABC có diện tích 24m2 và cạnh AB dài 16m, cạnh AC dài 10m. Kéo dài hai cạnh AB và AC về phía B và C , trên đó lấy BM= CN= 2m ( xem hình 19). Tính diện tích hình tam giác AMN.
Các bước giải :
Hình 19
+ Chiều cao CH của hình tam giác ABC bằng : 24 x 216 =3(m)
+ Cạnh AM bằng : 16 + 2 = 18 (m)
+ Diện tích hình tam giác ACM bằng : 18 x 32 = 27(m2)
+ Chiều cao MK của hình tam giác ACM bằng : 27 x 210 = 5,4(m)
+ Cạnh AN bằng : 10 + 2 = 12(m)
+ Diện tích hình tam giác AMN bằng : 12 x 5,42 = 32,4(m2)
2. Dùng tỉ số
Trong một bài toán hình học người ta có thể dùng tỉ số các số đo đoạn thẳng , tỉ số các số đo diện tích hay thể tích như một phương tiện để tính toán, giải thích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài đoạn thẳng , về diện tích hoặc thể tích. Điều này thường được thể hiện dưới những hình thức sau đây ( đối với hình tam giác) :
a.Hai hình tam giác có diện tích bằng nhau ( tương đương), nếu có hai đáy bằng nhau thì hai chiều cao bằng nhau, hoặc nếu hai chiều cao bằng nhau thì hai đáy bằng nhau.
b. Hai hình tam giác có diện tích bằng nhau , nếu đáy của hình 1 lớn gấp bao nhiêu lần đáy của hình 2 thì chiều cao của hình 2 lớn gấp bấy nhiêu lần chiều cao của hình 1 và ngược lại.
c. Hai hình tam giác có hai đáy ( hoặc chiều cao) bằng nhau, nếu diện tích hình tam giác 1 lớn gấp bao nhiêu lần diện tích hình tam giác 2 thì chiều cao của hình tam giác 1 cũng lớn gần bấy nhiêu lần chiều cao của hình tam giác 2 và ngược lại
Có thể nói một cách tổng quát đối với hình tam giác :
-Khi diện tích không đổi thì đáy và chiều cao là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
-Khi đáy không đổi thì diện tích và chiều cao là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
-Khi chiều cao không đổi thì diện tích và đáy là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau
Ví dụ : Cho hình tam giác ABC và một điểm O trong hình này. Đường thẳng AO cắt cạnh BC tại M và đường thẳng BO cắt cạnh AC tại N tạo thành các hình tam giác có diện tích như sau : AOB có diện tích 6cm2 , hai hình BOM và AON đều có diện tích 2cm2 . Hãy tính diện tích hình tam giác ABC .
Các bước giải :
+Diện tích ABM và ABN đều bằng 6 + 2 = 8 (cm)
+Diện tích ABM so với diện tích OBM thì gấp : 8 : 2=4 (lần)
+Hai hình tam giác ABM và OBM có chung đáy BM, diện tích tam giác ABM lớn gấp 4 lần diện tích tam giác OBM nên chiều cao AH lớn gấp 4 lần chiều cao OK 
+Tương tự như trên, tam giác ABN cũng có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác OAN nên chiều cao BD cũng lớn gấp 4 lần chiều cao OE 
+Hai hình tam giác ABC và OBC có chung đáy BC ,có chiều cao AH gấp 4 lần chiều cao OK nên diện tích tam giác ABC lớn gấp 4 lần diện tích tam giác OBC .Tương tự , diện tích tam giác ABC cũng lớn gấp 4 lần diện tích tam giác OAC
+Nếu coi diện tích OBC là một phần, diện tích OAC là một phần thì diện tích ABC là 4 phần đó , vì thế diện tích OAB gồm 4 -1 -1 = 2 (phần)
+Vì hai phần biệu thị 6cm2 nên diện tích ABC biểu thị 4 phần là :
6 x 2 = 12 (cm2)
Vậy hình tam giác ABC có diện tích là 12cm2
Chú ý : Đối với các hình học khác cũng có thể dùng tỉ số dưới những thể hiện tương tự như hình tam giác đã nêu ở trên.
Hình 20
3. Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích tổng hợp trên hình
Có những bào toán hình học đòi hỏi phải biết vận dụng thao tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện tích. Điều đó có thể được thực hiện như sau :
a.Một hình được chia ra thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ được chia .
b. Hai hình có diệc tích bằng nhau mà cùng có phần chung thì hai hình còn lại sẽ có diện tích bằng nhau.
c.Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ được hai hình mới có diện tích bằng nhau.
Ví dụ . Cho hình tú giác ABCD . Điểm M là điểm chính giữa cạnh BC , điểm E là điểm chính giữa cạnh AD . Nối điểm A với điểm M và nối điểm B với điểm E , hai đoạn thẳng này cắt nhau ở điểm K. Nối điểm D với điểm M và nối điểm C với điểm E, hai đoạn thẳng này cắt nhau ở điểm N.
Cho biết diện tích hình tam giác ABK bằng 3cm2 và diện tích hình tam giác CDN bằng 5cm2 . TÍnh diện tích hình tứ giác EKMN.
Các bước giải :
+Nối AC có SABCD= SABC + SACD
+Nối M với E có :
SABCD = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 (h23)
Hình 21
+MB = MC và chung chiều cao hạ từ A xuống BC nên :SABM = SAMC = SABC : 2 hay S1 + S2 = SABC : 2 (1)
+ Vì ED = EA và chung chiều cao hạ từ C xuống AD nên :
SCDE = SCEA = SACD : 2 hay S7 + S8 = SACD : 2 (2)
+Từ điều (1) và điều (2) có :
S1 + S2 + S7 + S8 = S3 + S4 + S5 + S6 = SABCD : 2 (3)
+Vì MB = MC và chung chiều cao hạ từ E xuống BC nên :
 SEBM = SBMC hay S2 + S3 = S5 + S6 (4)
+Vì EA = ED và chung chiều cao hạ từ M xuống AD nên :
 SMAF = SMED hay S3 + S4 = S5 + S8 (5)
+Từ điều (4) và điều (5) có :
 S2 + S3 + S5 + S8 = S3 + S4 + S5 + S6 (6)
+Từ điều (3) và điều (6) có :
 S1 + S2 + S7 + S8 = S2 + S3 + S5 + S8
 ( cùng bằng S3 + S4 + S5 + S6 )
hay S1 + S7 = S3 + S5 ( cùng bớt S2 + S8 )
+Do đó : S3 + S5 = S1 + S7 = 3 + 5 = 8 (cm2)
Vậy SMNEK = 8cm2.
BÀI TẬP
101.Cho hình tam giác ABC có đáy BC là 35m. Nếu BC được kéo dài thêm 5m thì diện tích sẽ tăng thêm 30m2 . Tính diện tích ABC .
102.Cho hình tam giác ABC có góc A vuông ,AB = 50cm và AC = 60cm. Trên AB lấy điểm M cách A là 10cm. Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BN ở N. Tính diện tích BMN.
103.Trong hình bên cho biết ABC là hình tam giác có M là điểm chính giữa của BC , hình EGHK là hình chữ nhật, đoạn thẳng AM cắt EQ tại N. 
a.Hãy so sánh diện tích hình tam giác AEM với diện tích hình tam giác AGM 
b.Hãy so sánh đoạn thẳng EN và đoạn thẳng NG .
104.Cho hình tam giác ABC có diện tích là 108cm2 , cạnh AB dài 20cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC x 2. Ta cần phải kẻ một đường thẳng qua M và cắt cạnh AB tại điểm N sao cho diện tích hình tam giác BMN bằng 30cm2 . Hỏi điểm N phải cách B mấy xen-ti-mét?
105.Cho hình tam giác ABC.Trên cạnh AB lấy các điểm D,E,G sao cho AD = DE= GB. Trên cạnh AC lấy các điểm M,N, P sao cho AM = MN = NP = PC.Tính tỉ số diện tích của hai hình tứ giác EDMN và BENC.
106.Hãy nêu ít nhất ca cách chia một hình vuông thành 4 tam giác có diện tích bằng nhau.
107.Cho hai hình vuông có cạnh lần lượt là a và b. Hãy cắt chúng rồi ghép lại ( không có phần nào chồng lên nhau) để được một hình vuông mới.
108.Cho hình tứ giác ABCD ,đoạn AC =6cm (AC gọi là đường chéo ).Hãy xác định điểm E trên đoạn AC sao cho diện tích hình ABED gấp đôi diện tích hình BCDE.
Đáp án bài: 
Phương pháp diện tích - Giải toán tiểu học
101.(h29) Cách 1- HÌnh tam giác ABC đã biết đáy BC =35m, do đó muốn tính diện tích hình đó thì cần phải tính chiều cao AH.
-AH là chiều cao của những hình tam giác nào?
-Dựa vào hình tam giác nào để tính AH?
Cách 2 – AH là chiều cao chung của những tam giác nào ?
-Hai hình tam giác có chung chiều cao, có đáy gấp nhau bao nhiêu lần thì hai diện tích gấp nhau bấy nhiêu lần.
-Từ diện tích hình ACD sẽ tính diệc tích hình ABC .
102.(h30) Cách 1 – Muốn tính diện tích hình tam giác vuông BMN, biết đáy BM phải tính chiều cao NM.
-Muốn tính NM thì có thể dựa vào diện tích hình tam giác NAB cần biết diện tích hình tam giác ABC và diện tích hình tam giác NAC.
Cách 2 – Có thể vận dụng phương pháp dùng tỉ số để tính diện tích hình tam giác NBM từ diện tích hình tam giác NAB với tỉ số hai đáy BM và BA.
103.(h31) a.Muốn so sánh diện tích hai hình tam giác AEM và AGM có thể tiến hành :
- So sánh diện tích hai hình tam giác ABM và ACM .
- So sánh diện tích hai hình tam giác EBM và GMC .
b.Hãy so sánh diện tích hai hình tam giác AEN và AGN , từ đó sẽ so sánh hai cạnh EN và GN của hai hình đó.
104.-TÍnh diện tích ABM (h32)
-So sánh diện tích ABM với diện tích BMN.
-So sánh AB và BN, từ đó tính BN.
105.-So sánh diện tích hình 1 với hình 2 (h33)
-So sánh tổng diện tích hình 1 và 2 với hình 3.
-So sánh tổng diện tích hình 1,2 và 3 với hình 4.
-So sánh tổng diện tích hình 1,2,3 và 4 với hình 5.
-Từ đó so sánh tổng diện tích hình 2 và 3 với tổng diện tích hình 4 và 5.
106.Trước hết hãy chia hình vuông thành hai hình có diện tích bằng nhau như tren hình vẽ, rồi lại chia mỗi hình này thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Chú ý là nếu hai tam giác có đáy bằng nhau và đường cao bằng nhau thì có diện tích bằng nhau (h34).
107.Gọi là cạnh hình vuông mới là x thì diện tích hình này phải bằng diện tích hai hình vuông đã cho tức là x2 = a2 + b2 . Biểu thức này gợi cho ta thấy cạnh x chính là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a và b. Hãy đặt hai hình vuông đã cho liền kề nahu để tạo được một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a và b như thế, từ đó xác định được cạnh x và hình vuông có cạnh x.
108.Đoạn AC chia tứ giác đã cho thành hai tam giác ABC va ADC . Khi đó diện tích hình ABED bằng SABE + SADE , còn diện tích hình BCDE bằng SBCE + SCDE vì thế chỉ cần tìm điểm E trên cạnh AC sao cho (h35) SABE = 2SBCE ( hai tam giác này có chung đường cao) và SADE = 2SCDE ( hai tam giác này cũng có chung đường cao ).