Các đề luyện thi môn Toán lớp 5: Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp ở tiểu học

* Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp ở tiểu học
1. Các cách so sánh 2 phân số
1.So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số
2. So sánh phân số bằng cách quy đồng tử số 
3. So sánh phân số với 1
Ví dụ: So sánh hai phân số và 
< 
Cách giải: Ta thấy < 1 mà 1< nên
4. So sánh phân số qua phân số trung gian (Phân số trung gian là phân số có tử số là tử số của phân số thứ nhất và mẫu số là mẫu số của phân số thứ hai và ngược lại)
Ví dụ: So sánh hai phân số và 
 Phân số trung gian là ; Ta thấy: > mà > nên > 
5. So sánh hai phần bù của hai phân số với 1 (phương pháp này áp dụng khi cả hai phân số nhỏ hơn 1. Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn). 
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
Cách giải: Phần bù của là: ( 1- = )
 phần bù của là: (1 - = )
mà: > nên < .
6. So sánh hai phần hơn của hai phân số với 1 ( phương pháp này áp dụng khi cả hai phân số lớn hơn 1. Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn) 
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
Cách giải: Phần hơn của là ( - 1 = )
 Phần hơn của là ( - 1 = )
Mà: < nên: <
7. So sánh hai phân số bằng cách so sánh phân số đảo ngược của chúng:
 ( Vận dụng cho phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số)
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Đảo ngược của phân số là = 2; Đảo ngược của là = 2
Ta thấy 2 > 2 suy ra > nên < ( phân số nào có đảo ngược lớn hơn thì phân số đó bé hơn).
8. So sánh hai phân số bằng cách rút gọn và đưa về dạng phân số có cùng tử số hoặc mẫu số.
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: và 
Cách giải: rút gọn phân số = 
Đưa về dạng có cùng tử số: = ; Mà < nên < .
9. So sánh phân số bằng cách đưa phân số về dạng số thập phân 
Ví dụ: so sánh hai phân số: và 
Cách giải: = 0,5 ; = 0,76 Vì 0,5 < 0,76 nên < 
10. Vận dụng mối liên hệ giữa phân số và phép chia số tự nhiên
( phương pháp này vận dụng cho bất kì 2 phân số nào)
Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
Cách giải: : = mà < 1 nên < ( Trong phép chia số bị chia nhỏ hơn số chia thì thương phải nhỏ hơn 1).
2. Dạng toán: “Tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số". 
1. Nhận diện bài toán dạng tổng – tỉ qua câu chữ bài toán :
 a. Dạng căn bản.
 Ví dụ: Hai khối lớp 4 và 5 thu được tất cả 725 kg giấy vụn, số giấy vụn khối 4 thu được bằng số giấy vụn khối 5 thu được. Hỏi mỗi khối thu được bao nhiêu kg ?
* Với dạng toán này giáo viên cần hướng dẫn học sinh :
 Cách nhìn Tổng: Câu chữ “tất cả”; Cách nhìn tỉ số: “bằng .”
 b. Biến dạng phức tạp hơn :	
 - Cho biết Tổng đi tìm Tỉ (Tỉ không cho sẵn vẫn ở dạng ẩn số, phải qua bước trung gian là đi tìm Tỉ).
 Ví dụ: Tổng 2 số là 792. Một trong 2 số đó có chữ số tận cùng bằng 0. Nếu xóa chữ số 0 ở một số ta được 2 số bằng nhau. Tìm 2 số đó .
 Bài toán cho biết tổng là 792, còn tỉ số ta phải tìm. Nếu xoá chữ số 0 ở một số (số lớn) thì ta được 2 số bằng nhau. Vậy số lớn gấp 10 lần số bé. 
 - Cho biết Tỉ đi tìm Tổng: (Tổng không cho sẵn vẫn ở dạng ẩn số phải qua bước trung gian là đi tìm tổng. 
 Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi là 12m. Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.
 Bài toán này chỉ cho biết tỉ số là 3, còn tổng phải đi tìm. Học sinh phải dựa vào dữ kiện đã cho là chu vi để tìm tổng bằng cách tìm nửa chu vi.
 - Tỉ số được viết dưới dạng số thập phân, số phần trăm. 
 Ví dụ : Số lượng hàng chứa trong 2 kho là 105 tấn. Hỏi mỗi kho chứa bao nhiêu tấn hàng. Biết rằng số hàng chứa trong kho thứ nhất bằng 75% số hàng chứa trong kho thứ hai. 75 % = = 
- Ở các bài toán biến dạng phức tạp hơn:
 Ví dụ: Đoàn nghệ thuật ca múa có số diễn viên Nam của đoàn bằng số diễn viên Nữ của đoàn. hãy tính số diễn viên Nam, số diễn viên Nữ, biết rằng toàn đoàn có 75 diễn viên.
 - Tìm tỉ số phải dựa vào dữ kiện. Số nam = số nữ.
 Cách 1: Vì Số nam = số nữ nên ta có thể biểu diễn số diễn viên. 
 Nam thành 2 phần, thì số diễn viên Nữ là 3 phần như thế. 
 Tỉ số giữa số diễn viên Nam và số diễn viên Nữ là . 
 Cách 2: Số Nam = số Nữ. Số Nam = : = ( Số nữ )
 Ngoài ra còn có các dạng khác nữa, các bạn tiếp tục tìm hiểu thêm.
3. Hướng dẫn học sinh tìm nhanh thế kỉ khi biết năm	
Việc xác định thế kỉ khi biết năm theo hướng dẫn trong sách giáo khoa là sự liệt kê theo từng giai đoạn thời gian trên trục thời gian 100 năm. Chẳng hạn: 
- Từ năm 1 đến năm 100 là thế kỉ thứ một (thế kỉ I).
- Từ năm 101 đến năm 200 là thế kỉ thứ hai (thế kỉ II).
 ...
- Từ năm 1901 đến năm 2000 là thế kỉ hai mươi (thế kỉ XX).
- Từ năm 2001 đến năm 2100 là thế kỉ hai mươi mốt (thế kỉ XXI).
Tuy nhiên nếu theo cách hướng dẫn trong sách giáo khoa, học sinh rất lúng túng, tìm chậm và thường xác định thụt hơn 1 thế kỉ (đáng lẽ năm 1890 là thế kỉ XIX thì lại xác định là thế kỉ XVIII) vì các em cứ thấy năm 1890 có số “18” nên cho đó là thế kỉ XVIII.
Xin đưa ra cách tìm nhanh thế kỉ khi biết năm bằng cách quan sát các chữ số của năm:
 Muốn tìm năm tương ứng với thế kỉ, ta lấy hai chữ số tận cùng (bên phải) làm thành 1 số, còn các chữ số còn lại (bên trái) làm thành một số.
- Nếu năm là số mà tổng 2 chữ số tận cùng bằng 0 thì thế kỉ chính là số tạo bởi các chữ số đầu tiên; nếu hai chữ số tận cùng làm thành 1 số lớn hơn 0 thì ta cộng thêm 1 vào số tạo bởi các chữ số đầu tiên để được số chỉ thế kỉ.
- Nếu năm là số có 2 chữ số hoặc số có 1 chữ số thì thế kỉ là I .
 Quy tắc chung tìm nhanh thế kỉ khi biết năm:
VD 1:
- Năm 1000 thuộc thế kỉ thứ nào?
- Năm 1900 thuộc thế kỉ thứ mấy?
Nếu năm là số có 4 chữ số mà tổng 2 chữ số tận cùng bằng 0 thì thế kỉ chính là số tạo bởi 2 chữ số đầu tiên. Năm là , thế kỉ là 
 Vậy: - Năm 1000 thuộc thế kỉ thứ X.
 - Năm 1900 thuộc thế kỉ thứ XIX.
 VD 2: - Bác Hồ sinh năm 1890. Bác Hồ sinh vào thế kỉ nào?
 Nếu hai chữ số tận cùng làm thành 1 số mà lớn hơn 0 thì ta cộng thêm 1 vào số tạo bởi 2 chữ số đầu tiên để được số chỉ thế kỉ. Năm là: , thế kỉ là: + 1
Năm 1890: Ta lấy 18 + 1 = 19 . Vậy Bác Hồ sinh vào thế kỉ XIX.
 VD3 : Năm 400 thuộc thế kỉ thứ mấy?
 Năm là số có 3 chữ số mà tổng 2 chữ số tận cùng có tổng bằng 0 thì thế kỉ chính là chữ số đầu tiên. Năm là: , thế kỉ là: a 
 Vậy năm 400 thuộc thế kỉ thứ IV.
VD 4: Bà Triệu lãnh đạo khởi nghĩa chống quân Đông Ngô năm 248. Năm đó thuộc thế kỉ nào?
Nếu năm là số có 3 chữ số mà tổng 2 chữ số tận cùng lớn hơn 0 thì thế kỉ bằng chữ số đầu tiên cộng với 1. 
Năm là , trong đó (b + c) > 0, thế kỉ là: a + 1
 Lấy 2 + 1 = 3, Bà Triệu lãnh đạo khởi nghĩa thuộc TK III.
VD: 5 Năm 6 thuộc thế kỉ thứ mấy?
 Nếu năm là số có 2 chữ số hoặc số có 1 chữ số thì thế kỉ bằng 1: 
 Năm là hoặc a, thế kỉ là 1
 - Năm 6 thuộc thế kỉ thứ I
4. Các bài toán về tam giác và diện tích tam giác:
4.1. Cách xác định số tam giác trên hình vẽ:
Ví dụ 1 : (Nâng cao Toán 4) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm bất kì E,F không trùng với 2 đỉnh B, C.Nối A với E và F. Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Cách 1:Sử dụng sơ đồ
 Từ sơ đồ trên suy ra số tam giác được tạo thành là : 3 + 2 + 1 =  6 (tam giác)
Cách 2 : Phương pháp suy luận lôgic
Ta nhận thấy đỉnh A nối với 2 đầu mút của một đoạn thẳng bất kì trên BC bằng 2 đoạn thẳng ta sẽ được một tam giác. Do đó để xác định số tam giác tạo thành ta chỉ cần đếm số đoạn thẳng được tạo thành trên cạnh BC.
Số đoạn thẳng trên BC là: 3 + 2 +1 = 6 (đoạn thẳng)
Vậy số tam giác được tạo thành là tam giác 6
Cách 3: Tô màu (hoặc ghi số) từng hình rồi cắt rời hình đã cho thành 3 tam giác có màu khác nhau. Ghép từng đôi một ta được thêm 2 tam giác. Cuối cùng ghép cả 3 tam giác đó lại được một tam giác. Vậy có tất cả có 6 tam giác được tạo thành.
Quy luật thú vị để tính nhanh số tam giác, số hình vuông
 4.2 Sử dụng mối quan hệ các yếu tố để tính diện tích tam giác 
 *Một số kết luận về mỗi liên hệ các yếu tố của tam giác: 
 - Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có cạnh đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao). - Hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau (hoặc có chung cạnh đáy) thì diện tích sẽ tỉ lệ thuận với chiều cao và ngược lại. - Hai tam giác có chiều cao bằng nhau (hoặc có chung chiều cao) thì diện tích sẽ tỉ lệ thuận với cạnh đáy và ngược lại. - Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi đáy tam giác này gấp đáy tam giác kia bao nhiêu lần thì chiều cao của tam giác thứ kia cũng gấp chiều cao của tam giác thứ này bấy nhiêu lần. - Hai tam giác có diện tích bằng nhau nếu giữa 2 tam giác có một phần chung thì hai phần con lại của tam giác cũng bằng nhau.
* Các dạng toán diện tích về tam giác
Bài toán gốc:
 VD: Cho tam giác ABC có đáy 15cm, chiều cao 12cm. Tính DT tam giác ABC.
 Diện tích tam giác ABC là: (15 x 12 ) : 2 = 90 (cm2)
 Từ bài toán gốc, có một số bài toán phức tạp hơn trong đó ẩn các dữ liệu. 
Dạng 1. Cho biết cạnh đáy tìm chiều cao sau đó tính diện tích .
 VD1: Cho tam giác ABC có cạnh đáy dài 15 cm, chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy .Tính diện tích tam giác ABC.
Chiều cao tam giác ABC là:15 x 3/4 = 12 (cm)
Diện tích tam giác ABC là: (15 x 12 ) : 2 = 90 (cm2)
 Dạng 2; Cho biết diện tích, chiều cao. Tìm độ dài cạnh đáy hình tam giác hoặc Cho biết diện tích, độ dài cạnh đáy. Tìm chiều cao hình tam giác
Ví dụ : Cho hình tam giác ABC có diện tích 150 cm2 , chiều cao 15 cm. Tìm độ dài cạnh đáy của tam giác đó.
Độ dài cạnh đáy tam giác ABC là: 150 x 2 : 15 = 20 (cm)
Dạng 3: Cho biết cạnh đáy ẩn chiều cao và một số dự kiện có liên quan. Tìm diện tích.
 VD1: Cho tam giác ABC có cạnh đáy 15cm, nếu kéo dài cạnh đáy thêm 4 cm thì diện tích tam giác ABC tăng lên là 24 cm2. Tính DT tam giác ABC. 
Theo bài ra ta có hình vẽ . A 
 C H B D
 - Để rút ra chiều cao tam giác ABD chính là chiều cao tam giác ABC.
 Chiều cao AH của tam giác ABD là : 24 x 2 : 4 = 12 (cm2)
 Ta thấy chiều cao tam giác ABC chính là chiều cao tam giác ABD (Hai tam giác có chung chiều cao cùng hạ từ điểm A). Vậy chiều cao tam giác ABC là 12 cm .
 Diện tích tam giác ABC là: (12 x 15 ) : 2 = 90 (cm 2)
 Dạng 4: Bài toán về 2 tam giác có chung chiều cao (hoặc có chiều cao bằng nhau) và mối quan hệ các yếu tố hình giữa 2 hình tam giác. Tìm diện tích hoặc so sánh diện tích các tam giác.
 VD1: Cho tam giác ABC có chiều cao 12 cm cạnh đáy CB dài 16 cm. Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho BK=1/4 BC. 
a, Tính diện tích tam giác ABK. 
b, So sánh diện tích ABK với tam giác ABC
 Theo bài ra ta có hình vẽ : A
 B K H C
Có thể giải như sau:
 a) Diện tích tam giác ABC là: (12 x 16) : 2 = 96 (cm2)
Vì hai tam giác 2 tam giác ABC và ABK có chung chiều cao là AH, cạnh đáy BC tam giác ABC gấp 4 lần cạnh đáy BK của tam giác ABK nên diện tích tam giác ABK bằng 1/4 diện tích tam giác ABC.
 Diện tích tam giác ABK là: 96 : 4 = 24 (cm2)
 b) ta có: 96 : 24 = 4. Nên diện tích tam giác ABC gấp 4 lần DT tam giác ABK. Hoặc có thể lập luận mà không cần tính DT từng tam giác.
 	Vì hai tam giác 2 tam giác ABC và ABK có chung chiều cao là AH, cạnh đáy BC tam giác ABC gấp 4 lần cạnh đáy BK của tam giác ABK nên diện tích tam giác ABC gấp diện tích tam giác ABK là: 16 : 4 = 4 (lần).
Dạng 5: Tính diện tích tam giác dựa vào tỷ lệ chiều cao, cạnh đáy và diện tích .
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có diện tích 36 cm2 trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MA = MB. Qua điểm M vẽ MN song song với BC cắt AC tại N.
a, Tính diện tích tam giác ACM.
b, Hãy chứng tỏ NC = 2 NA
c, Nối N với B, M với C cắt nhau tại O. So sánh diện tích tam giác NOC và diện tích tam giác MOB.
 A
 N M
 O
 C B
a, Tam giác ACM bằng 1/3 diện tích tam giác ABC.
 Vì tam giác ACM có chiều cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh đáy AM bằng chiều cao tam giác ABC hạ từ đỉnh C xuống cạnh đáy AB. Mặt khác, cạnh đáy AM bằng 1/3 cạnh đáy AB (theo đề bài đã cho).
 Vậy diện tích tam giác ACM là: 36 x 1/3 = 12 (cm2)
b, Chứng tỏ NC = 2 NA: Nối N với B ta có diện tích tam giác NBC bằng diện tích tam giác CMB (Vì có chung đáy BC và có chiều cao bằng nhau - đều là chiều cao hình thang NMBC).
Theo a, diện tích tam giác ACM bằng diện tích tam giác ABM và bằng 1/3 diện tích tam giác ABC. Từ đó diện tích tam giác NBC = 2 lần diện tích tam giác ABM 
 Vì 2 tam giác này có chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy CN và NA bằng nhau. Từ đó suy ra NC = 2 NA. 
c, Hai tam giác NBC và MBC có chung cạnh đáy CB và có chiều cao hạ từ đỉnh N, đỉnh M xuống đáy BC bằng nhau ( cùng là chiều cao hình thang NMBC) nên chúng có diện tích bằng nhau. 
Ta có: S NMC = S NMO + S NOC và S NMB = S NMO + S M BO => S NOC= S MOB
 Hay nói cách khác, hai tam giác NBC và MBC giao nhau có diện tích bằng nhau và phần chung là tam giác NMO nên diện tích 2 phần còn lại tam giác NOC và MOB có diện tích bằng nhau. 	
5. Toán trung bình cộng của 3 bạn
 - Trung bình cộng 2 người
 VD 1: Tùng và Tân chung tiền mua một quả bóng. Tùng góp vào 2500 đồng, còn Tân góp vào nhiều hơn trung bình cộng của số tiền hai bạn là 500 đồng, như vậy mới đủ tiền mua một quả bóng.  Hỏi quả bóng đó giá bao nhiêu?
      Cách 1: 
        Trung bình cộng số tiền của hai bạn là:    2 500 + 500 = 3 000 (đồng)
            Giá tiền quả bóng là:                                3 000 x 2 =  6 000 (đồng)
    Cách 2:
(Vì Tân góp số tiền nhiều hơn TB cộng của 2 bạn 500 đồng nên Tân góp nhiều hơn Tùng số tiền là: 500 x 2 = 1000 (đồng)
Số tiền Tân góp là: 2500 + 1000 = 3500 (đồng)
Số tiền quả bóng là:  2500 + 3500 = 6000 đồng
 - Toán trung bình cộng của 3 bạn
 VD 2: Trung có 12 cái kẹo. Tâm có 13 cái kẹo. Trà có số kẹo nhiều hơn trung bình số kẹo của cả ba bạn 3 cái kẹo.  Hỏi Trà có bao nhiêu cái kẹo. 
HD:     Do Trà hơn trung bình số kẹo của cả 3 bạn là 3 cái kẹo. Nêu lấy 3 kẹo này trả lại cho 2 bạn thì trung bình của 2 bạn cũng chính là trung bình của cả 3 bạn.
        Trung bình số kẹo của cả 3 bạn:    (12 + 13 + 3) : 2 = 14 (kẹo)
        Số kẹo của Trà là:    14 + 3 = 17 (kẹo) 
 (Trường hợp ít hơn thì phép tính trừ)
6. Các bài toán luyện tập về chuyển động đều
 Ngoài các dạng SGK chú ý dạng Vật chuyển động có chiều dài đáng kể:
-  Vật ch động qua cột mốc: TG qua vật mốc = L (chiều dài vật) : V vật
-  Vật chđộng qua cầu có chiều dài d ta có: TG đi qua = (L + d ): V vật.
 * Một số ví dụ cụ thể về mở rộng các dạng toán về chuyển động đều
6.1 Bài toán dạng động tử có chiều dài đáng kể
Ví dụ 1: Một đoàn tàu dài 125 m đi qua cầu vận tốc 15,6 km/giờ. TG lúc đầu máy vào cầu đến khi toa cuối ra khỏi cầu là 3 phút 45 giây. Hỏi cầu dài bao nhiêu km?
Giải: Đổi 15,6 km /h = 4,3 m/ giây; 3 phút 45 giây = 225 giây
Ta có quãng đường xe lửa đi trong 3 phút 45 giây là: 4,3 x 225 = 968 (m)
Vậy chiều dài của cầu là: 968 – 125 = 843 (m)
 VD 2. Một người đứng ở chỗ chắn đường nhìn thấy đoàn tầu hoả chạy ngang qua mặt mình hết 20 giây, cũng với vận tốc đó, đoàn tàu chạy vượt qua một cái cầu dài 450 mét hết 65 giây. Tính chiều dài của đoàn tàu và vận tốc của đoàn tàu.
65 giây là TG tàu chạy QĐ của cầu + CD đoàn tàu, theo đó thời gian tàu chạy hết chiều dài của nó là 20 giây. 
 Vậy TG tàu chạy hết chiều dài cầu 450 mét là: 65 giây – 20 giây = 45 giây
 	 Vận tốc đoàn tàu là: 	450 : 45 = 10 (m/giây)
 Chiều dài của đoàn tàu là:	10 x 20 = 200 (m)
 VD 3. Một đoàn tàu chạy ngang qua một cây cột điện hết 10 giây. Đoàn tàu đi qua một cây cầu dài 600m trong 50 giây. Tính vận tốc và chiều dài của đoàn tàu.
Bài làm: Đoàn tàu chạy được quãng đường trong 10 giây bằng chiều dài của tàu và trong 50 giây bằng chiều dài của tàu cộng với chiều dài cây cầu. 
Thời gian tàu đi được quãng đường bằng chiều dài cây cầu là:
 50 giây- 10 giây = 40 giây
Vận tốc đoàn tàu là 600 : 40 = 15 (m/giây). Chiều dài đt:15 x 10 = 150 (mét).
6.2 Bài toán về chuyển động ngược chiều gặp nhau nhiều lần
 Đây là dạng toán 2 động tử chuyển động ngược chiều, chúng gặp nhau lần một tại một điểm. 
Ví dụ: Hai người cùng đi một người từ A, một người từ B đi ngược chiều nhau. Họ gặp nhau lần 1 cách A là 8 km. Sau khi gặp nhau họ tiếp tục đi rồi quay lại, lần 2 gặp nhau cách B là 6 km . Tính khoảng cách AB?
 A 8 km C B
Giải: Khi gặp nhau lần 1 thì  cả hai người đã đi hết quãng đường AB. Người đi từ A đã đi được 8 km. Vậy từ khi xuất phát đến khi gặp nhau lần 2 thì cả 2 người đã đi được 3 lần quãng đường AB và người đi từ A đi được 3 lần tức là: 8 x 3 = 24 (km)
Vậy khoảng cách AB là: 24 – 6 =  18 (km) 
6.3. Loại toán về chuyển động lên dốc, xuống dốc
Ví dụ 1: Một ôtô đi trên đoạn đường từ A đến B rồi lại đi từ B về A mất 7,5 giờ. Ô tô lên dốc vận tốc là 25 km/h và xuống dốc vận tốc 50 km/h. Tính đoạn đường AB?
Giải: Ta có: 25 : 50 = 1 : 2. Do quãng đường AB không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Nếu coi thời gian xuống dốc là 1 phần thì thời gian lên dốc là 2 phần vậy thời gian xuống dốc là: 7,5:( 1+2)=2,5 giờ
Từ đây ta tìm được đoạn đường AB dài là: 50 x 2,5 = 125 (km)
VD 2: Quãng đường từ A đến B gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một người đi từ A đến B hết 21 phút rồi trở về từ B đến A hết 24 phút. Hãy tính quãng đường AB. Biết rằng vận tốc của người đó khi lên dốc là 2,5km/giờ và khi xuống dốc là 5km/giờ.  
 Hướng dẫn giải:
6.4. Loại toán chuyển động theo đường vòng
 Đây là dạng toán có hai động tử chuyển động trên đường vòng. Đối với dạng  toán này ta sử dụng công thức dạng toán chuyển động trên một đường thẳng.
Ví dụ: Hai người đi xe đạp chạy đua trên một đường vòng. Vận tốc của người thứ nhất là 250 m/phút; người thứ hai là 300m/ phút. Hai người khởi hành một lúc ở cùng một địa điểm. Đường vòng dài 1,1 km. Hỏi trong bao lâu họ chạy ngang nhau?
Giải: Đổi  1,1 km = 1100m sau đó ta phân ra 2 trường hợp
a, Nếu đi ngược chiều trong 1 phút 2 người gần nhau được: 250+ 300 = 550(m)
Vì thế thời gian họ gặp nhau là: 1100 : 550 = 2 (phút)
b, Nếu đi cùng chiều trong 1 phút người 2 lại vượt hơn người 1 là: 300- 250 = 
50 (m). Thời gian người thứ 2 đuổi kịp người thứ nhất là: 1100 : 50 = 22 (phút)
6.5. Bài toán chuyển động dạng  “Vòi nước chảy vào bể”
Cách giải loại toán này ta phải áp dụng các công thức sau:
Thể tích = Lưu lượng x Thời gian;  Thời gian = Thể tích : Lưu lượng; Lưu lượng = Thể tích : Thời gian
6.6. Bài toán dạng chạy đi chạy lại nhiều lần
Toán vui: Hai con Trâu và Bò cách nhau 200 m lao vào húc nhau. Trên sừng trâu có 1con ruồi, ruồi bay tới sừng bò rồi lại bay tới sừng trâu. Cứ tiếp tục bay như vậy cho đến lúc trâu và bò húc phải nhau ruồi bẹp dí. Biết Trâu chạy với vận tốc 7 m/ giây; Bò chạy vận tốc 5,5,m/giây; Ruồi bay vận tốc 18m/giây. Tính đoạn đường ruồi đã bay?
Giải: Thời gian trâu và bò lại gặp nhau là: 200 : ( 7 + 5,5 ) = 16 (giây)
Vậy thời gian ruồi đã bay là: 16 (giây).
Từ đây ta tìm được quãng đường ruồi đã bay là: 16 x 18 = 288 ( m)
6.7 Vận tốc trung bình:
 VD: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/giờ rồi trở về A với vận tốc 40km/giờ. Tính vận tốc trung bình của ô tô trên cả chuyến đi và về.
 (HS có thể sai lầm tính như sau: vận tốc TB: (60 + 40):2 = 50 (km/giờ))
Cách 1. Thời gian đi được 1km khi đi từ A đến B là: 1: 60 = 1/60 (giờ).
Thời gian đi được 1km khi đi từ B về A là: 1 : 40 = 1/40 (giờ).
Tổng thời gian đi 2km trên là 1/60 + 1/40 = 1/24 (giờ).
Vận tốc trung bình của ô tô là 2 : 1/24 = 2 x 24 = 48 (km/giờ)
Cách 2. Giả sử quãng đường AB là 120km.
Thời gian đi từ A đến B là 120 : 60 = 2 (giờ). 
Thời gian đi từ B trở về A là 120 : 40 = 3 (giờ).
Tổng thời gian của cả chuyến đi là 2 + 3 = 5 (giờ).
Tổng quãng đường cả chuyến đi là 120 x 2 = 240 (km).
Vận tốc trung bình của ô tô là 240 : 5 = 48 (km/giờ). 
7. Toán về kim đồng hồ:
Ví dụ: Một chiếc đồng hồ gồm kim giờ và kim phút, chạy chính xác, đang chỉ 1 giờ đúng. Tính thời gian gần nhất để hai kim đồng hồ trùng nhau.
Ta phân tích và giải bài toán như sau:
- Mỗi giờ kim phút quay được 1 vòng, kim giờ quay được vòng, do đó trong một giờ kim phút quay nhanh hơn kim giờ là: 1- = (vòng). Đây chính là hiệu vận tốc.
 Vậy nếu ta coi vận tốc kim giờ là 1 phần thì vận tốc kim phút bằng 12 phần như thế; nên hiệu vận tốc là 1- = ( vòng đồng hồ/ giờ) .
Lúc 1 giờ hai kim đồng hồ cách nhau một khoảng vòng (Hiệu quãng đường) nên thời gian gần nhất để hai kim đồng hồ trùng nhau là:(giờ)
 Hiệu vận tốc luôn không đổi và bằng 1- = (vòng đồng hồ/ giờ), do đó để giải được bài tương tự chỉ xác định hiệu quãng đường và vận dụng công thức sau:
Thời gian hai kim trùng nhau = Hiệu quãng đường : Hiệu vận tốc
	Tương tự với các bài toán sau:
VD 1: Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu thì kim giờ và kim phút trùng nhau ? 
Giải
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là:1- = ( vòng đồng hồ/ giờ).
Lúc 2 giờ hai kim cách nhau một khoảng vòng nên hiệu QĐ là 2/12. 
Thời gian gần nhất để kim giờ và kim phút trùng nhau là: (giờ)
VD 2: Bây giờ là 12 giờ. Hỏi thời gian gần nhất để kim m giờ và kim phút vuông góc với nhau?
 a, Ta biết 1 giờ kim p chạy được 1 vòng đồng hồ thì kim giờ chạy được vòng.
Mỗi giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ (hay hiệu vận tốc kim phút và kim giờ) là: 1 - = (vòng đồng hồ) 
Để kim phút chập lên kim giờ lần tiếp theo thì kim phút phải đi quãng đường bằng quãng đường kim giờ và đi thêm quãng đường là 1 vòng đồng hồ nữa. 
Vậy thời gian gần nhất để 2 kim lại chập lên nhau là: 1 : = (giờ) 
b, Để hai kim vuông góc với nhau thì hai kim tạo với nhau vòng đồng hồ. Lúc 12 giờ hai kim chập lên nhau, cho đến lúc 2 kim vuông góc với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ vòng đồng hồ (0, 5đ)
Thời gian gần nhất để 2 kim vuông góc với nhau là: : = (giờ) . 
VD 3: An ngồi làm bài một lúc. Khi An làm bài xong nhìn lại thì thấy  2 kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi An làm bài hết bao nhiêu thời gian?
  Kim giờ mỗi giờ chạy 12 khoảng; kim giờ mỗi giờ chạy 1 khoảng.
        Tổng vận tốc của 2 kim:     12 + 1 = 13 (khoảng giờ)
Thời gian 2 kim đổi chỗ cho nhau:        12 : 13 =  55  (phút) 
8. Toán về tỉ số %
Bài 1 : Một số sau khi giảm đi 20% thì phải tăng thêm bao nhiêu phần trăm số mới để lại được số cũ.
	Giải : Một số giảm đi 20% tức là giảm đi giá trị của số đó.
Số cũ :	|	|	|	|	|	|
Số mới :	|	|	|	|	|
	Vậy phải tăng số mới thêm của nó tức là 25% thì được số ban đầu.
Bài 2 : Một số tăng thêm 25% thì phải giảm đi bao nhiêu phần trăm để lại được số cũ.
	Giải : Một số tăng thêm 25% tức là tăng thêm của nó
Số cũ :	|	|	|	|	|
Số mới :	|	|	|	|	|	|
	Vậy số mới phải giảm đi để được số ban đầu, giá trị của nó tức là 20% của nó thì lai được số ban đầu.
Bài 3 : Nước biển chứa 4% muối. Cần đổ thêm bao nhiêu gam nước lã vào 400 gam nước biển để tỉ lệ muối trong dung dịch là 2%.
	Giải :
	Lượng nước muối có trong 400g nước biển là: 400 x 4 : 100 = 16 (g)
	Dung dịch chứa 2 % muối là :
	Cứ có 100 g nước thì có 2 g muối
	16 g muối cần số lượng nước là: 100 : 2 x 16 = 800 (g)
	Lượng nước phải thêm là: 	800 – 400 = 400 (g)
	Bài 4	: Giá hoa ngày tết tăng 20% so với tháng 11. Tháng giêng giá hoa lại hạ 20%. Hỏi giá hoa tháng giêng so với giá hoa tháng 11 thì tháng nào đắt hơn và đắt hơn bao nhiêu phần trăm.
	Giải : 
 Nếu ta coi giá hoa tháng 11 là 100% thì 
	Giá hoa ngày tết so với tháng 11 là: 100 %+ 20% = 120 (%)
	Giá hoa sau tết còn là : 100 %– 20% = 80 (%
 hoa sau tết so với tháng 11 là : x = 96 (%)
Giá hoa tháng giêng đắt hơn tháng 11, đắt hơn:100% – 96 %= 4 (%)
Bài 5: Một người mua 9 quyển sách cùng loại. Vì được giảm giá 10% giá ghi trên bìa nên người đó chỉ phải trả 364.500 đồng. Hỏi giá ghi trên bìa mỗi quyển sách đó là bao nhiêu đồng?
1 quyển sách khi được giảm giá 10 % có giá là: 364 500: 9 = 40 500 (đ)
Giá trên bìa 1 quyển sách là: 40 500: 90 x100 = 45000 (đồng).
 9. Toán dạng “Bắt tay – thi đấu”
 VD: Có 8 người trong một bữa tiệc, mỗi người đều đều bắt tay những người còn lại. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
 Phân tích cách giải:
 Để liệt kê các số liệu, học sinh có thể đặt tên cho từng người hoặc là dùng các kí hiệu, cần để học sinh trình bày các kí hiệu của chính các em, sau đó bàn đến việc sử dụng các kí hiệu, chẳng hạn A, B, C, D...
 Sau đây là một vài chỉ dẫn: 
 Vẽ hình để minh hoạ bài toán.
 Ta hãy đặt tên cho 8 người bằng các chữ cái
 A , B , C , D , E , F , G , H
 Hai trong các kiểu liệt kê được đưa ra dưới đây:
 Đầu tiên là cách biểu diễn theo hình cây.
 	B	C	D
C	D	E
D	E	F
 A	E 	B	F	C	G
F	G	H
G	H
H
E	F	G
D	F	E	G	F	H
	G	H
	H G	 H
 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28( cái bắt tay)
 Cách thứ hai là liệt kê số cái bắt tay từng cặp hai người có hệ thống:
 AB, AC, AD, AE, AF, AG, AH 
 BC, BD, BE, BF, BG, BH
 CD, CE, CF, CG, CH
 DE, DF, DG, DH
 EF, EG, EH
 FG, FH
 GH
Có thể giải bằng mô hình hình học
	A	B
	 H	C
	G	D
	F	E
 Một đoạn thẳng nối hai điểm Avà B biểu diễn cho một cái bắt tay. Ta giải bài toán bằng cách đếm các cái bắt tay như việc nối A với B; A với C; A với D vv... cho đến khi mỗi chữ được nối với mỗi chữ còn lại .
 Học sinh có thể phát biểu bằng cách khác: Một trong tám người còn lại, như thế có 8 7 hay 56 cái bắt tay.Một số học sinh tiếp cận theo cách này cũng có thể phát hiện ra rằng: Trong 8 7 hay 56 cái bắt tay thì có những cái bắt tay đã được tính hai lần.
9. Giải bài toán bằng sơ đồ ven:
VD : Cả lớp 4A phải làm một bài kiểm tra toán gồm có 3 bài toán. Kết quả: cả lớp mỗi em đều làm được ít nhất một bài, 20 em giải được bài thứ nhất, 14 em giải được bài thứ hai, 10 em giải được bài thứ ba, 5 em giải được bài thứ hai và thứ ba, 6 em giải được bài thứ nhất và bài thứ ba, 2 em giải được bài thứ nhất và thứ hai, 1 em được 10 điểm vì đã giải được cả ba bài. Hỏi rằng lớp học đó có bao nhiêu em ?
HD giải: Mỗi hình tròn để ghi số bạn giải đúng một bài nào đó, ta lần ngược từ dưới lên:Vì chỉ có một bạn giải đúng 3 bài nên điền số 1 vào
 phần chung của 3 hình tròn. Số bạn giải đúng bài I và bài II là 2 nên phần chung của hai hình tròn này mà không chung với hình tròn còn lại sẽ được ghi số 1 (vì 2 - 1 = 1). Tương tự, ta ghi được các số vào các phần còn lại.
Số học sinh lớp 4A chính là tổng các số đã điền vào các phần :
13 + 5 + 1 + 1 + 4 + 8 + 0 = 32 (HS)
10. Một số dạng toán khác lạ:
Một đoàn thám hiểu dùng một sợi dây dài để đo độ sâu của một cái hang. Lần thứ nhất họ gấp sợi dây thành ba phần bằng nhau được một sợi dây mới và thả một đầu của sợi dây này xuống hang. Khi đầu dây chạm đáy hang thì đầu bên trên thấp hơn 1m so với miệng hang. Lần thứ hai họ gấp sợi dây ban đầu làm thành hai phần bằng nhau, khi đầu sợi dây chạm đáy hang thì phía đầu dây ở miệng hang còn thừa 6 m. Tính độ sâu của hang.
Giải: gọi độ sâu là a, độ dài dây là A ta có:
Lần1: Độ sâu của hang là: a = (A : 3)+1; 
Lần 2: a = (A – 6x2) : 2. từ đó ta có: A : 3 + 1 = A : 2 -24
 Hay: + 1 = ; hay 2x A + 6 = 3xA – 36, hay: A= 42. 
Sợi dây dài 42 m. Vậy độ sâu của hang là: 42 : 3 + 1 = 15 (m)
HỆ THỐNG TOÀN BỘ KIẾN THỨC CƠ BẢN MÔN TOÁN TIỂU HỌC
Phép cộng
Công thức tổng quát:
 TỔNG
 a + b = c
số hạng số hạng tổng
Tính chất:
Tính chất giao hoán:
Kết luận: Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.
Công thức tổng quát: a + b = b + a
Tính chất kết hợp:
Kết luận: Khi cộng tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất 
với tổng hai số còn lại.
Công thức tổng quát: (a + b) + c = a + (b + c)
Tính chất : Cộng với 0:
Kết luận: Bất kì một số cộng với 0 cũng bằng chính nó.
CTTQ: a + 0 = 0 + a = a
Phép trừ
I. Công thức tổng quát:
HIỆU
a - b = c 
số bị trừ số trừ hiệu
II. Tính chất:
Trừ đi 0:
Kết luận: Bất kì một số trừ đi 0 vẫn bằng chính nó.
CTTQ: a - 0 = a
Trừ đi chính nó:
Kết luận: Một số trừ đi chính nó thì bằng 0.
CTTQ: a - a = 0
Trừ đi một tổng:
Kết luận: Khi trừ một số cho một tổng, ta có thể lấy số đó trừ dần từng
 số hạng của tổng đó.
CTTQ: a -(b + c) = a - b - c = a - c - b
Trừ đi một hiệu:
Kết luận: Khi trừ một số cho một hiệu, ta có thể lấy số đó trừ đi số bị trừ 
rồi cộng với số trừ.
CTTQ: a - (b - c) = a - b + c = a + c - b
Phép nhân
I. Công thức tổng quát
TÍCH 
 a x b = c
 	thừa số thừa số tích
II. Tính chất:
Tính chất giao hoán:
Kết luận: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi.
CTTQ: a x b = b x a
Tính chất kết hợp:
Kết luận: Muốn nhân tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất
 với tích hai số còn lại.
CTTQ: (a x b) x c = a x (b x c)
Tính chất : nhân với 0:
Kết luận: Bất kì một số nhân với 0 cũng bằng 0.
CTTQ: a x 0 = 0 x a = 0
Tính chất nhân với 1: 
Kết luận: Một số nhân với 1 thì bằng chính nó.
CTTQ: a x 1 = 1 x a = a
Nhân với một tổng:
Kết luận: Khi nhân một số với một tổng, ta có thể lấy số đó nhân với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả với nhau.
CTTQ: a x (b + c) = a x b + a x c
Nhân với một hiệu:
Kết luận: Khi nhân một số với một hiệu, ta có thể lấy số đó nhân với số bị trừ 
và số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau.
CTTQ: a x (b - c) = a x b - a x c
Phép chia
 Công thức tổng quát:
 THƯƠNG
 a : b = c
 số bị chia số chia thương
Phép chia còn dư: 
 a : b = c ( dư r )
 số bị chia số chia thương số dư
Chú ý: Số dư phải bé hơn số chia.
Công thức:
Chia cho 1: Bất kì một số chia cho 1 vẫn bằng chính nó.
CTTQ: a : 1 = a
Chia cho chính nó: Một số chia cho chính nó thì bằng 1.
CTTQ: a : a = 1
0 chia cho một số: 0 chia cho một số bất kì khác 0 thì bằng 0
 CTTQ: 0 : a = 0 
4.Một tổng chia cho một số : Khi chia một tổng cho một số, nếu cácsố hạng của tổng đều chia hết cho số đó, thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.
CTTQ: ( b + c ) : a = b : a + c : a
5.Một hiệu chia cho một số : Khi chia một hiệu cho một số, nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho số đó, thì ta có thể lấy số bị trừ và số trừ chia cho số đó rồi trừ hai kết quả cho nhau.
CTTQ: ( b - c ) : a = b : a - c : a
6.Chia một số cho một tích :Khi chia một số cho một tích, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
CTTQ: a :( b x c ) = a : b : c = a : c : b
7. Chia một tích cho một số : Khi chia một tích cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó ( nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia.
CTTQ: ( a x b ) : c = a : c x b = b : c x a
Tính chất chia hết
1, Chia hết cho 2: Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 ( là các số chẵn) thì chia hết cho 2.
VD: 312; 54768;
2, Chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
VD: Cho số 4572 
 Ta có 4+ 5 + 7+ 2 = 18; 18 : 3 = 6 Nên 4572 : 3 = 1524
3, Chia hết cho 4: Các số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết