Các bài toàn ôn Thi hình học 9

Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 1 
Các bài toán hình học lớp 9 
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ−ờng tròn (O). Các đ−ờng cao AD, BE, CF cắt 
nhau tại H và cắt đ−ờng tròn (O) lần l−ợt tại M,N,P. 
Chứng minh rằng: 
1. Các tứ giác AEHF, nội tiếp . 
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 
4. H và M đối xứng nhau qua BC. 
5. Xác định tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác DEF. 
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đ−ờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm 
đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
3. Chứng minh ED = 
2
1
BC. 
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O). 
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. 
Bài 3 Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm 
M thuộc nửa đ−ờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần l−ợt ở C và D. Các 
đ−ờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 
1. Chứng minh AC + BD = CD. 
2. Chứng minh ∠COD = 900. 3. Chứng minh AC. BD = 4
2
AB
. 
4. Chứng minh OC // BM 
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đ−ờng tròn đ−ờng kính CD. 
6. Chứng minh MN ⊥ AB. 
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đ−ờng tròn nội tiếp, K là tâm đ−ờng tròn bàng 
tiếp góc A , O là trung điểm của IK. 
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O). 
3. Tính bán kính đ−ờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm. 
Bài 5 Cho đ−ờng tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đ−ờng thẳng d 
lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến 
MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm 
của OM và AB. 
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đ−ờng tròn . 
3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 
4. Chứng minh OAHB là hình thoi. 
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 2 
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đ−ờng thẳng d. 
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông ở A, đ−ờng cao AH. Vẽ đ−ờng tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD 
là là đ−ờng kính của đ−ờng tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đ−ờng tròn tại D cắt CA ở E. 
1. Chứng minh tam giác BEC cân. 
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH. 
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (A; AH). 
4. Chứng minh BE = BH + DE. 
Bài 7 Cho đ−ờng tròn (O; R) đ−ờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một 
điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M. 
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp đ−ợc một đ−ờng tròn. 
2. Chứng minh BM // OP. 
3. Đ−ờng thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình 
bình hành. 
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, 
K thẳng hàng. 
Bài 8 Cho nửa đ−ờng tròn tâm O đ−ờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đ−ờng tròn ( M khác 
A,B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đ−ờng tròn kể tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia 
phân giác của góc IAM cắt nửa đ−ờng tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại 
K. 
a) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp. 
b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. 
c) Chứng minh BAF là tam giác cân. 
d) Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi. 
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đ−ợc một đ−ờng tròn. 
Bài 9 Cho nửa đ−ờng tròn (O; R) đ−ờng kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc 
nửa đ−ờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần l−ợt ở E, F (F ở giữa B và E). 
1. Chứng minh AC. AE không đổi. 
2. Chứng minh ∠ ABD = ∠ DFB. 
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp. 
Bài 10 Cho đ−ờng tròn tâm O đ−ờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đ−ờng tròn sao cho 
AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P 
là chân đ−ơng vuông góc từ S đến AB. 
1. Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đ−ờng tròn . 
2. Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng tam giác PS’M cân. 
3. Chứng minh PM là tiếp tuyến của đ−ờng tròn . 
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đ−ờng tròn (O) tại các 
điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh : 
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn. 
2. DF // BC. 
3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 3 
4. 
CF
BM
CB
BD
= 
Bài 12 Cho đ−ờng tròn (O) bán kính R có hai đ−ờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên 
đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đ−ờng thẳng vuông góc với AB tại M 
cắt tiếp tuyến tại N của đ−ờng tròn ở P. Chứng minh : 
1. Tứ giác OMNP nội tiếp. 
2. Tứ giác CMPO là hình bình hành. 
3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
4. Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào. 
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đ−ờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC 
chứa điển A , Vẽ nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính BH cắt AB tại E, Nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính HC 
cắt AC tại F. 
1. Chứng minh AFHE là hình chữ nhật. 
2. BEFC là tứ giác nội tiếp. 
3. AE. AB = AF. AC. 
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đ−ờng tròn . 
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của 
AB các nửa đ−ờng tròn có đ−ờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. 
Đ−ờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đ−ờng tròn (O) tại E. Gọi M. N theo thứ tự là giao điểm 
của EA, EB với các nửa đ−ờng tròn (I), (K). 
1. Chứng minh EC = MN. 
2. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đ−ờng tròn (I), (K). 
3. Tính MN. 
4. Tính diện tích hình đ−ợc giới hạn bởi ba nửa đ−ờng tròn . 
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đ−ờng tròn (O) có đ−ờng 
kính MC. đ−ờng thẳng BM cắt đ−ờng tròn (O) tại D. đ−ờng thẳng AD cắt đ−ờng tròn (O) tại S. 
1. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp . 
2. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. 
3. Gọi E là giao điểm của BC với đ−ờng tròn (O). Chứng minh rằng các đ−ờng thẳng BA, 
EM, CD đồng quy. 
4. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE. 
5. Chứng minh điểm M là tâm đ−ờng tròn nội tiếp tam giác ADE. 
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông ở A.và một điểm D nằm giữa A và B. Đ−ờng tròn đ−ờng kính 
BD cắt BC tại E. Các đ−ờng tròn CD, AE lần l−ợt cắt đ−ờng tròn tại F, G. 
Chứng minh : 
1. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD. 
2. Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp . 
3. AC // FG. 
4. Các đ−ờng thẳng AC, DE, FG đồng quy. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 4 
Bài 17. Cho tam giác đều ABC có đ−ờng cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không 
trùng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB. AC. 
1. Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hty xác định tâm O của đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ 
giác đó. 
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 
3. Chứng minh OH ⊥PQ. 
Bài 18 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không 
trùng O, B); trên đ−ờng thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đ−ờng tròn ; MA 
và MB thứ tự cắt đ−ờng tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. 
1. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp . 
2. Chứng minh các đ−ờng tròn AD, BC, MH đồng quy tại I. 
3. Gọi K là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp . 
 Bài 19. Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). 
Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. CD cắt đ−ờng tròn 
đ−ờng kính BC tại I. 
1. Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp . 
2. Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi. 
3. Chứng minh BI // AD. 
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng. 
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của đ−ờng tròn đ−ờng kính BC. 
Bài 20. Cho đ−ờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là 
hai đ−ờng kính đi qua điểm C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung 
điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G. Chứng minh rằng: 
1. Tứ giác MDGC nội tiếp . 
2. Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên 
một đ−ờng tròn . 
3. Tứ giác ADBE là hình thoi. 
4. B, E, F thẳng hàng 
5. DF, AG, AB đồng quy. 
6. MF = 1/2 DE. 
7. MF là tiếp tuyến của (O’). 
Bài 21. Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB. Gọi I là trung điểm của OA . Vẽ đ−ờng tron tâm I đi 
qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. 
1. Chứng minh rằng các đ−ờng tròn (I) và (O) tiếp xúc ngoài nhau tại A. 
2. Chứng minh IP // OQ. 
3. Chứng minh rằng AP = PQ. 
4. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất. 
Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đ−ờng thẳng vuông góc với 
DE, đ−ờng thẳng này cắt các đ−ờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 
1. Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp . 
2. Tính góc CHK. 
3. Chứng minh KC. KD = KH.KB 
4. Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đ−ờng nào? 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 5 
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông 
ABHK, ACDE. 
1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng. 
2. Đ−ờng thẳng HD cắt đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, Chứng minh FBC là tam 
giác vuông cân. 
3. Cho biết ∠ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c 
cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có ∠B = 450 . Vẽ đ−ờng tròn đ−ờng kính AC có tâm O, đ−ờng 
tròn này cắt BA và BC tại D và E. 
1. Chứng minh AE = EB. 
2. Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đ−ờng trung trực của đoạn HE đi qua 
trung điểm I của BH. 
3. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE. 
Bài 25. Cho đ−ờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R). Kẻ các tiếp tuyến với đ−ờng tròn (O) tại 
B và C chúng cắt nhau tại A. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đ−ờng vuông góc MI, 
MH, MK xuống các cạnh t−ơng ứng BC, AC, AB. Gọi giao điểm của BM, IK là P; giao điểm của 
CM, IH là Q. 
1. Chứng minh tam giác ABC cân. 
2. Các tứ giác BIMH, CIMH nội tiếp . 
3. Chứng minh MI2 = MH.MK. 
4. Chứng minh PQ ⊥ MI. 
Bài 26. Cho đ−ờng tròn (O), đ−ờng kính AB = 2R. Vẽ dây cung CD ⊥ AB ở H. Gọi M là điểm 
chính giữa của cung CB, I là giao điểm của CB và OM. K là giao điểm của AM và CB. Chứng 
minh : 
1. 
AB
AC
KB
KC
= 
 2. AM là tia phân giác của góc CMD. 
 3. Tứ giác OHCI nội tiếp 
4. Chứng minh đ−ờng vuông góc kẻ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của đ−ờng tròn tại M. 
Bài 27 Cho đ−ờng tròn (O) và một điểm A ở ngoài đ−ờng tròn . các tiếp tuyến với đ−ờng tròn 
(O) kẻ từ A tiếp xúc với đ−ờng tròn (O) tại B và C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đ−ờng tròn ( M khác 
B, C), từ M kẻ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB. 
1. tứ giác ABOC nội tiếp. 
2. Chứng minh ∠BAO = ∠ 
BCO. 
3. Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác 
MHK. 
4. Chứng minh MI.MK = MH2. 
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; E là điểm đối xứng 
của H qua BC; F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC. 
1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. 
2. E, F nằm trên đ−ờng tròn (O). 
3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân. 
4. Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 6 
Bài 29 BC là một dây cung của đ−ờng tròn (O; R) (BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC 
sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đ−ờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng 
quy tại H. 
1. Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. 
2. Gọi A’ là trung điểm của BC, Chứng minh AH = 2OA’. 
3. Gọi A1 là trung điểm của EF, Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’. 
4. Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy ra vị trí của A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị 
lớn nhát. 
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Vẽ đ−ờng 
cao AH và bán kính OA. 
1. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH. 
2. Giả sử ∠B > ∠C. Chứng minh ∠OAH = ∠B - ∠C. 
3. Cho ∠BAC = 600 và ∠OAH = 200. Tính: 
a) ∠B và ∠C của tam giác ABC. 
b) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC theo R. 
Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết ∠BAC = 600. 
1. Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R. 
2. Vẽ đ−ờng kính CD của (O; R); gọi H là giao điểm của ba đ−ờng cao của tam giác ABC 
Chứng minh BD // AH và AD // BH. 
3. Tính AH theo R. 
Bài 32 Cho đ−ờng tròn (O), đ−ờng kính AB = 2R. Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H 
của OB. 
1. Chứng minh khi MN di động , trung điểm I của MN luôn nằm trên một đ−ờng tròn cố 
định. 
2. Từ A kẻ Ax ⊥ MN, tia Bi cắt Ax tại C. Chứng minh tứ giác CMBN là hình bình hành. 
3. Chứng minh C là trực tâm của tam giác AMN. 
4. Khi MN quay quanh H thì C di động trên đ−ờng nào. 
5. Cho AM. AN = 3R2 , AN = R 3 . Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác 
AMN. 
Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đ−ờng 
tròn tại M. 
1. Chứng minh OM ⊥ BC. 
2. Chứng minh MC2 = MI.MA. 
3. Kẻ đ−ờng kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt đ−ờng thẳng AN tại P và Q. 
Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc một đ−ờng tròn . 
Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = 6 Cm, chiều cao AH = 4 Cm, nội tiếp đ−ờng 
tròn (O) đ−ờng kính AA’. 
1. Tính bán kính của đ−ờng tròn (O). 
2. Kẻ đ−ờng kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? 
3. Kẻ AK ⊥ CC’ tứ giác AKHC là hình gì? Tại sao? 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 7 
4. Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài tam giác ABC. 
Bài 35 Cho đ−ờng tròn (O), đ−ờng kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không 
trùng với M, N và B. Nối Ac cắt MN tại E. 
1. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . 
2. Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM. 
3. Chứng minh AM2 = AE.AC. 
4. Chứng minh AE. AC – AI.IB = AI2 . 
5. Hty xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam 
giác CME là nhỏ nhất. 
Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đ−ờng cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của tam 
giác. Gọi M, N, P, Q lần l−ợt là các hình chiếu vuông góc của D lên AB, BE, CF, AC. Chứng minh 
: 
1. Các tứ giác DMFP, DNEQ là hình chữ nhật. 
2. Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp . 
3. Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng. 
4. Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. 
Bài 37 Cho hai đ−ờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ 
(O), C ∈ (O’) . tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. 
1. Chứng minh các tứ giác OBIA, 
AICO’ nội tiếp . 
2. Chứng minh ∠ BAC = 900 . 
3. Tính số đo góc OIO’. 
4. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm. 
Bài 38 Cho hai đ−ờng tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B∈(O), 
C∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắ tiếp tuyến chung ngoài BC ở M. Gọi E là giao điểm của 
OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh : 
1. Chứng minh các tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp . 
2. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. 
3. ME.MO = MF.MO’. 
4. OO’ là tiếp tuyến của đ−ờng tròn đ−ờng kính BC. 
5. BC là tiếp tuyến của đ−ờng tròn đ−ờng kính OO’. 
Bài 39 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự 
là chân các đ−ờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đ−ờng tròn 
ngoại tiếp tam giác HBE, HCF. 
1. Hty xác định vị trí t−ơng đối của các đ−ờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K). 
2. Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?. 
3. Chứng minh AE. AB = AF. AC. 
4. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đ−ờng tròn (I) và (K). 
5. Xác định vị trí của H để EF có độ dài lớn nhất. 
Bài 40 Cho nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Trên Ax 
lấy điểm M rồi kẻ tiếp tuyến MP cắt By tại N. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 8 
1. Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB. 
2. Chứng minh AM. BN = R2. 
3. Tính tỉ số 
APB
MON
S
S
 khi AM = 
2
R
. 
4. Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh cạnh AB sinh ra. 
Bài 41 Cho tam giác đều ABC , O là trung điển của BC. Trên các cạnh AB, AC lần l−ợt lấy các 
điểm D, E sao cho ∠ DOE = 600 . 
1. Chứng minh tích BD. CE không đổi. 
2. Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của 
góc BDE 
3. Vẽ đ−ờng tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đ−ờng tròn này luôn tiếp xúc với 
DE. 
Bài 42 Cho tam giác ABC cân tại A. có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đ−ờng tròn (O). 
Tiếp tuyến tại B và C lần l−ợt cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh : 
1. BD2 = AD.CD. 
2. Tứ giác BCDE nội tiếp . 
3. BC song song với DE. 
Bài 43 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB, điểm M thuộc đ−ờng tròn . Vẽ điểm N đối xứng với 
A qua M, BN cắt (O) tại C. Gọi E là giao điểm của AC và BM. 
1. Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp . 
2. Chứng minh NE ⊥ AB. 
3. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của (O). 
4. Chứng minh FN là tiếp tuyến của đ−ờng tròn (B; BA). 
Bài 44 Cho hai đ−ờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đ−ờng tròn (O) tiếp xúc 
với đ−ờng tròn (O’) tại A. Dây AD của đ−ờng tròn (O’) tiếp xúc với đ−ờng tròn (O) tại A. Gọi K 
là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh 
rằng: 
1. AB ⊥ KB. 
2. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đ−ờng tròn 
Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đ−ờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của 
AC; tiếp tuyến của đ−ờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia CE cắt (O) tại F. 
1. Chứng minh BC // AE. 
2. Chứng minh ABCE là hình bình hành. 
3. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao điểm của BC và OI. So sánh ∠BAC và ∠BGO. 
Bài 46 Cho đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính AB , trên đ−ờng tròn ta lấy hai điểm C và D sao cho cung 
AC = cung AD . Tiếp tuyến với đ−ờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC tại F 
1. Chứng minh hệ thức : AB2 = AC. AF. 
2. Chứng minh BD tiếp xúc với đ−ờng tròn đ−ờng kính AF. 
Hình học 9 - Ôn thi vào 10 
Toan6789.wordpress.com 9 
3. Khi C chạy trên nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB (không chứa điểm D ). Chứng minh rằng trung 
điểm I của đoạn à chạy trên một tia cố định , xác định tia cố định đó 
Bai 47 
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đ−ờng tròn (O) bất kỳ đi qua B và C ( 
BC không là đ−ờng kính của (O). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). 
Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh: 
1. AE2 = AB.AC 
2. Tứ giác AEOF 
3. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đ−ờng tròn. 
4. ED song song với Ac. 
5. Khi (O) thay đổi tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đ−ờng thẳng cố 
định. 
Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đ−ờng tròn (O) đ−ờng kính BC cắt AB; AC tại E và 
D. BD cắt CE tại H; AH cắt BC tại I. Vẽ các tiếp tuyến AM và AN của (O). Chứng minh: 
1. Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đ−ợc. 
2. CD.CA + BE. BA = BC2. 
3. M; H; N thẳng hàng. 
4. Tính chu vi đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE nếu tam giác ABCD là tam giác đều có 
cạnh bằng 2a 
Bài 49: Cho đ−ờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC của (O) và 
tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC . Qua B kẻ đ−ờng thẳng song song với Mx, đ−ờng thẳng này 
cắt (O) tại điểm thứ hai là A; AC cắt Mx tại I. Vẽ đ−ờng kính BB’. Qua O kẻ đ−ờng thẳng vuông 
góc với BB’ đ−ờng này cắt ; BC lần l−ợt tại K và E . Chứng minh: 
1. Tứ giác MOIC nội tiếp. 
2. OI vuông góc với Mx. 
3. ME có độ dài không phụ thuộc vị trí của điểm M. 
4. Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đ−ờng nào? Tại sao? 
Bài 50: Cho (O; R) và điểm A ∈ (O). Một góc vuông xAy quay quanh A và luôn thoả mtn Ax; Ay 
cắt (O). giọ các giao điểm thứ hai của Ax; Ay với (O) lần l−ợt là B; C. Đ−ờng tròn đ−ờng kính AO 
cắt AB; AC tại các điểm thứ hai t−ơng ứng là M; N. Tia OM cắt (O) tại P. Gọi H là trực tâm tam 
giác AOP. Chứng minh: 
1. Tứ giác AMON là hình chữ nhật. 
2. MN // BC. 
3. Tứ giác PHOP nội tiếp. 
4. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất. 
*******************