Bài tập về con lắc đơn

BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
Câu 1: Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2. Con lắc dao động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2)( N). Nếu chu kỳ T của ngoại lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ:
A. tăng rồi giảm	B. giảm rồi tăng	C. chỉ giảm	D. chỉ tăng
Giải: Chu kỳ dao động riêng của con lắc đơn: T0 = 2π= 2π = 2(giây)
Khi chu kỳ T của ngoại lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ giảm
Vì khi T = 2s = T0----> f = f0 thì biên độ đạt cực đại do có sự cộng hưởng; biên độ đạt cực đại. Chọn đáp án C
Câu 2: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong trường trọng lực. Biết trong quá trình dao động, độ lớn lực căng dây lớn nhất gấp 1,1 lần độ lớn lực căng dây nhỏ nhất. Con lắc dao động với biên độ góc là:
A. rad	B. rad	 C. rad	 D. 
Giải: Công thức tính lực căng dây treo 
 T = mg(3cosα – 2cosα0)
 T = Tmax = mg( 3- 2cosα0) khi α = 0 vật qua VTCB
 T = Tmin = mgcosα0 khi α = α0 vật ở biên
Tmax = 1,1 Tmin -----> 3 - 2cosα0 = 1,1cosα0
 cosα0 = 1 – 2sin2 = ---> 2sin2 » 2= 1 - = = 
α02 = α0 = . Đáp án D
Câu 3: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0. Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α, có tanα = 3/4; lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T1. Nếu đổi chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:
A. . B. T1 C. T1. D. T1.
Giải: Ta có Gia tốc do lực điện trường gây ra cho vật a = = ( E là độ lớn cường độ điện trường)
Khi điện trường nằm ngang:
T1 = 2π Với g1 = . tanα = = = ----> a = g
 O’ F
 a
 P
 A
O 
a
 g1 = g
 Khi điện trường hướng thẳng đứng lên trên
T2 = 2π Với g2 = g –a = g - g = g
= = = ----> T2 = T1. Chọn đáp án D
Câu 4 : Một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường , vật nặng có khối lượng 120g. Tỉ số giữa độ lớn gia tốc của vật tại vị trí cân bằng và độ lớn gia tốc của vật tại vị trí biên là 0,08. Độ lớn lực căng dây tại vị trí cân bằng có giá trị gần với giá trị nào nhất sau đây ?
 	A. 1,20 N.	B. 0,81 N.	C. 0.94 N.	D. 1,34 N.
 A’
 A
O M
 Ftt
 a0
 a
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là a
Vận tốc của vật tại M:
 v2 = 2gl( cosa - cosa0).----> v = 
 a = --->aht = = 2g(cosa - cosa0)
 att = = = ga
 Tại VTCB:a = 0---> att = 0 nên a0 = aht = 2g(1-cosa0) = 2g.2sin2 = g
Tại biên : a = a0 nên aht =0 ----> aB = att = ga0 Do đó : = = a0 = 0,08 . 
Lực căng dây ở VTCB: T = mg(3 – 2cosa0) » mg = 1,20 N. Đáp án A
Câu 5 . Một con lắc đơn gồm một dây kim loại nhẹ có đầu trên cố định, đầu dưới có treo quả cầu nhỏ bằng kim loại. Chiều dài của dây treo là l = 1m.  Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ để vật dao động điều hoà. Con lắc dao động trong từ trường đều có vectơ cảm ứng từ B vuông góc với mặt phẳng dao động của con lắc, biết B = 0,5T, lấy g = 9,8 m/s2. Suất điện động hiệu dụng xuất hiện giữa hai đầu dây kim loại là
A.  0,1106 V B.  1,565V C.  0,0783V D.  0,0553 V
Giải: Phương trình dao động của con lắc đơn: α = α0coswt với w = 
Suất điện động cảm ứng xuất hiện giữa hai đầu dây treo: e = - F’(t) 
Với từ thông do dây kim loại cắt trong quá trình dao động F = BS = B
 S là diện tích hình quạt bán kính l; góc ở tâm là α (rad)
F = α0coswt -----> F’(t) = - α0w sinwt 
 e = - F’(t) = α0w sinwt = E0 sinwt 
Suất điện động cực đại E0 = α0w = α0 =0,1. = 0,07826 = 0,0783V. Đáp án C
Câu 6: Một con lắc đơn dài 2,25m treo 1 vật có khối lượng m1. Kéo con lắc lệch α0 = 0,15rad, rồi thả không vận tốc đầu. Khi đến vị trí thấp nhất, con lắc va chạm hoàn toàn đàn hồi trực diện với quả cầu có khối lượng m2 = 0,5m1 đang đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang (bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2), sau va chạm m1 tiếp tục dao động. Khi m1 đạt góc lệch α0/3 lần đầu tiên kể từ lúc va chạm, m2 đi được quãng đường (cm) gần giá trị nào nhất sau đây A. 50 B. 70 C. 60 D. 40
 m1
O M0
a0
 a’0
Giải: Vận tốc của m1 trước khi va chạm với m2
 = W0 = mgl (1) ----> v = a0 = 0,712m/s
 Vận tốc hai vật sau va chạm:
 = + ----> v2 = v12 + ---> v2 - v12 = (*)
 m1v = m1v1 + m2v2 -----> v = v1 + ----> v - v1 = (**)
Từ (*) và (**) v1= = 0,237 m/s; v2 = = 0,949 m/s
Biên độ góc của m1 sau va chạm: = W’0 = mgl(2)
Từ (1) và (2) ----> = -----> = = ----> a’0 = 
Như vậy sau va chạm m1 đạt góc lệch lần đầu tiên là lúc lần đầu tiện vật ở vị trí biên nên khoảng thời gian 
 t = mà chu kỳ dao động T = 2p= 2,979s -----> t = 0,745 s
Khi đó vật m2 đi được quãng đường s = v2t = 0,949. 0,745 = 0,707 m » 70 cm. Đáp án B
Câu 7. Một con lắc đơn gồm 1 dây kim loại nhẹ dài 1m , dao động điều hòa với biên độ góc 0,2 rad trong một từ trường đều mà cảm ứng từ có hướng vuông góc với mặt phẳng dao động của con lắc và có độ lớn 1T. Lấy g = 10m/s2. Tính suất điện động cực đại xuất hiện trên thanh treo con lắc 
A. 0,45V B. 0,63V C. 0,32V D. 0,22V
Giải: Phương trình dao động của con lắc đơn: α = α0coswt với w = 
Suất điện động cảm ứng xuất hiện giữa hai đầu dây treo: e = - F’(t) 
Với từ thông do dây kim loại cắt trong quá trình dao động F = BS = B
 S là diện tích hình quạt bán kính l; góc ở tâm là α (rad)
F = α0coswt -----> F’(t) = - α0w sinwt 
 e = - F’(t) = α0w sinwt = E0 sinwt 
Suất điện động cực đại E0 = α0w = α0 =0,2. = 0,316 = 0,32V. Đáp án C
Câu 8. Một con lắc đơn chỉ có thể dao động theo phương nằm ngang trùng với trục lò xo, lò xo có độ cứng 100N/m và quả cầu nhỏ dao động có khối lượng m1=100g. Con lắc đơn gồm sợi dây dài l = 25 cm và quả cầu dao động m2 giống hệt m1. Ban đầu hệ ở vị trí cân bằng phương dây treo thẳng đứng lò xo không biến dạng và 2 vật m1, m2 tiếp xúc nhau. Kéo m1 sao cho sợi dây lệch một góc nhỏ rồi buông nhẹ, biết khi qua vị trí cân bằng m1 va chạm đàn hồi xuyên tâm với m2. Bỏ qua mọi ma sát, lấy g = π2= 10 m/s2. Chu kì dao động của cơ hệ là . A. 1,02 s B. 0,6 s C. 1,2 s D. 0,81 s
Giải: Do m1 và m2 giống hệt nhau nên mỗi khi va chạm, một qủa 
cầu dừng lai còn quả cầu kia chuyển động với vận tốc bằng vận tốc 
của quả cầu trước đó. Do vậy khi một con lắc dao động thì con lắc kia đứng yên,
Mỗi con lắc chỉ dao động trong một nửa chu kỳ. 
Chu kì dao động của cơ hệ là m2
 m1
O 
 T = (T1 + T2)/2
 T = p + p = + = 0,5 + 0,1 = 0,6 s
 T = 0,6 s, Đáp án B
 A’
 A
O M
 Ftt
 a0
 a
Câu 9. Một con lắc đơn gồm vật nặng khối lượng m gắn với dây treo có chiều dài l. Từ vị trí cân bằng kéo vật sao cho góc lệch của sợi dây so với phương thẳng đứng là a0 = 450 rồi thả nhẹ. Lấy g = 10m/s2. Bỏ qua mọi ma sát. Độ lớn gia tốc của vật khi độ lớn lực căng dây bằng trọng lượng là
A. (m/s2 ) B. 10(m/s2 ) C. (m/s2 ) D. (m/s2 )
Giải: Lực căng T = mg(3cosa - 2cosa0) = mg 
----> 3cosa = 2cosa0 + 1----->cosa = 
 Độ lớn gia tốc của vật a = 
Với aht = = 2g(cosa - cosa0) = g
 att = = = gsina
 a = = g = g= 10(m/s2 ).Đáp án B
Câu 10: Một con lắc đơn có khối lượng m = 3kg dao động với biên độ T=2s và biên độ góc lúc bắt đầu dao động là 4o. Do chịu tác dụng của lực cản nên con lắc dao động tắt dần và chỉ sau 16 phút 50 giây thì ngừng dao động. Xem dao động tắt dần này có cùng chu kỳ như chu kỳ của con lắc khi không có lực cản. Lấy g =10m/s2, độ lớn của lực cản tác dụng lên con lắc (xem như không đổi) là : 
 A. 0,188 N. B. 1,88 N. C. 0,811 N. D. 8,118 N.
Giải: Chu kỳ dao động T = 2s. Số lần vật qua VTCB: N = 2= 2 = 1010 lần
 Gọi ∆a là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. 
 N = -----> Da = = = 6,91.10-5 rad. (a0 = 0,0698 rad)
Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1-cosa0) = 2mglsin2» mgl
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
 ∆W = (1)
Công của lực cản trong thời gian trên:
 Acản = Fc s = Fc (a0 + a)l = Fc(2a0 - ∆a)l (2)
 Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = Ac 
 = Fc (2a0 - ∆a)l 
 -----> Fc = = 1,036,10-3N. Đáp án khác
Câu 11: Một con lắc đơn lý tưởng có chiều dài L khối lượng m. Từ vị trí cân bằng kéo vật nặng m sao cho dây treo con lắc lập với phương thẳng đứng một góc 450 rồi thả nhẹ. Gia tốc trọng trường là g. Độ lớn cực tiểu của gia tốc trong quá trình dao động của con lắc là:
 A. g. B. g/. C. 0. D. g.
 A’
 A
 M
 Ftt
O P
 a0 
 a
Giải: 
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là a
Vận tốc của vật tại M là v:
Theo ĐL bảo toàn cơ năng ta có
 + mgl(1-cosa) = mgl(1-cosa0)
 v2 = 2gl( cosa - cosa0).----> v = 
 aht = = 2g(cosa - cosa0) với a0 = 450
 att = = = gsina
Độ lớn gia tốc của vật nặng tại M 
a = = = g
a = g = g
 Với Y = 3cos2a - 8cos450cosa + 4cos2450 + 1 = 3cos2a - 4cosa + 2 + 1 = 3cos2a - 4cosa + 3
 Y = 3X2 - 4X +3 Với X = cosa
 a = amin khi Y = Ymin ------> Đạo hàm Y’ = 6X – 4 = 0 ----> X = 
 Ymin = -----> amin = g= . Chọn đáp án B
Câu 12: Một thang máy bắt đầu đi xuống, trong 4s đầu vận tốc tăng đều đến 4m/s, trong 8s tiếp theo thang máy chuyển động đều, rồi chuyển động chậm dần đều đến khi dừng lại cũng sau 8s. Trong thang máy có treo đồng hồ quả lắc mà dao động của thanh treo quả lắc xem như dao động điều hòa. Biết đồng hồ chạy đúng giờ khi nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Lấy g=9,8m/s2. Thời gian chỉ sai của đồng hồ kể từ khi thang máy bắt đầu chuyển động đến khi dừng lại là:
A. 0,015 s. B. – 0,025 s. C. 0,020 s. D. 0,010 s.
Giải: Chu kỳ của con lắc khi đồng hồ chạy đúng là: T = 2p
 Khi thang máy CĐ xuống nhanh dần đều với gia tốc a1 = = = 1m/s2
 Chu kỳ của con lắc đồng hồ T1 = 2p = 2p
 = = = 1,0553 -----> DT1 = T1 – T = 0,0553 T > 0 đồng hồ chạy chậm hơn
 Thời gian đồng hồ chạy chậm Dt1 = t1 = 0,0553. 4 = 0,2212(s)
Khi thang máy CĐ xuống chậm dần đều với gia tốc a2 = = = - 0,5m/s2
 Chu kỳ của con lắc đồng hồ T2 = 2p = 2p
 = = = 0,9754 -----> DT2 = T2 – T = - 0,02457T < 0 đồng hồ chạy nhanh hơn
 Thời gian đồng hồ chạy nhanh Dt2 = t2 = - 0,02457. 8 = - 0,1966(s)
 Thời gian chỉ sai của đồng hồ: Dt = Dt1 + Dt2 = - 0,02464 (s) » - 0,025 (s). Đáp án B
 Đồng hồ chỉ chậm nhơn
Câu 13 : Một chất điểm dao động điều hoà có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là t1 = 2,2 (s) và t2 = 2,9(s). Tính từ thời điểm ban đầu (to = 0 s) đến thời điểm t2 chất điểm đã đi qua vị trí cân bằng
A. 6 lần .	B. 5 lần .	C. 4 lần .	D. 3 lần .
Giải: Vận tốc bằng không tại vị trí biên, vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là 
 t1 = 2,2 (s) và t2 = 2,9(s) ---> T = 2(t2 – t1 ) = 1,4s 
Xác định thời điểm ban đầu
Pt dao động x = Acos(wt + j)
 Giả sử tại thời điểm t1 có x1 = A Acos(wt1 + j) = A
 cos(wt1 + j) = 1 (wt1 + j) = k2π j = k2π - wt1 = k2π - 
M2
M1
M0
j = k2π - Vì - p £ j £ p Þ - π £ k2π - £ π 
---> k = 2 ----> j = ----> x = Acos(wt + j)
 x = Acos(wt +) = 0 -----> wt + = + kp
t = - + kp ---> t = (k - ) = 0,7k – 0,25
0 £ t = 0,7k – 0,25 £ 2,9 ----> 0,357 £ k £ 4,5 -----> 1£ k £ 4
Có 4 giá trị của k = 1, 2, 3, 4. 
Trong khoảng thời gia từ t0= 0 đến t2 = 2,9s chất điểm 4 lần qua VTCB. Đáp án C
Cau 14: Một con lắc lo xo treo thẳng đứng va 1 con lắc đơn tich điện q có cùng khối lượng m,khi ko co dien truong chung dao dong dieu hoa vs chu ki T1=T2.khi dat ca 2 con lac trong cung dien truong truong deu co vec to cuong do dien truong nam ngang thi do gian cua con lac lo xo tang 1,44 lan,con lac don dao dong vs T=5/6 s.chu ki cua con lac lo xo trong dien truong =???
Giải: Lúc chưa có điện trường T1 = 2p = 2p( Dl là độ giãn của lò xo khi vật ở VTCB
 T2 = 2p ( l độ dài của con lắc đơn)
 T1 = T2 -----> Dl = l (*)
 Khi có điện trường: lực tác dụng lên vật P’ = P + Fđ ----> ghd = g + a
 Khi đó T’1 = 2p và T = T’2 = 2p -----> = = = 1,2
 T’1 = 1,2T = 1,2.= 1(s)
Câu 15. Mét con l¾c ®ång hå ®îc coi nh mét con l¾c ®¬n cã chu k× dao ®éng ; vËt nÆng cã khèi lîng . Biªn ®é gãc dao ®éng lóc ®Çu lµ . Do chÞu t¸c dông cña mét lùc c¶n kh«ng ®æi nªn nã chØ dao ®éng ®îc mét thêi gian råi dõng l¹i. Ngêi ta dïng mét pin cã suÊt ®iÖn ®éng ®iÖn trë trong kh«ng ®¸ng kÓ ®Ó bæ sung n¨ng lîng cho con l¾c víi hiÖu suÊt 25%. Pin cã ®iÖn lîng ban ®Çu . Hái ®ång hå ch¹y ®îc thêi gian bao l©u th× l¹i ph¶i thay pin?
Giải: Gọi Da là độ giảm biên độ góc mỗi lầ qua vị trí cân bằng Da = a0 - a
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn
 W0 = mgl(1-cosa0) = mgl,2sin2 Với l = (m)
Độ giảm cơ năng sau nửa chu kỳ: DW’ = .
DW’ = Fc (a0 + a)l => = Fc (a0 + a)l -----> Da = a0 - a = 
a0 = ---->
Độ giảm cơ năng sau một chu kỳ: DW = 2DW’ = 2Fc (a0 + a)l = 2Fc(2a0 - Da)l = 0,00376 (J).
Đây là phần năng lượng tiêu hao sau một chu kì tức là sau 2s
Năng lượng của nguồn: W = EQ0 = 3.104 (J)
Năng lượng có ích cung cấp cho đồng hồ: Wco ich = H.W = 0,75.104 (J)
Thời gian pin cung cấp năng lượng cho đồng hồ
t = Wco ich /DW = s = 19946808,5/86400 = 23,086 ngày = 23 ngày