Bài tập trắc nghiệm môn Toán 11: Giới hạn hàm số

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. bằng:
A.	B. .	C. .	D. 
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 9 	D. 
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 5	D. 
Câu 9. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 27. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 30. Tìm để hàm số. có giới hạn tại 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 31. Tìm để hàm số. có giới hạn khi .
	A. 	B. 	C. 	D. 
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 25
Câu 5. Cho hàm số . Giá trị đúng của là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 6. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 6 
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Tìm giới hạn với  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Tìm giới hạn với . :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 21. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 25. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 27. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 28. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 29. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 30. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 31. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 32. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 33. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 3 
Câu 34. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Câu 35. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 36. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
Phương pháp:
	L = trong đó, dạng này ta còn gọi là dạng vô định.
	với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
	– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
	– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: 
+ ; .
+ .
+ .
Câu 1. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2. Giá trị đúng của là:
A. 	B. .	C. .	D. 
Câu 3. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 4. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Câu 8. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Câu 9. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác 
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 19. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 20. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 21. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 25.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 2 	D. 0 
Câu 27. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 28. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 29. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 30.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 31. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 32. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 33.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 34. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Câu 35. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 4 
Câu 36. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 37. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. Không tồn tại.	B. .	C. .	D. .
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 
Phương pháp:
 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
	2. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
	Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về dạng .
 3. Dạng 0.¥: 
	Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Câu 1. Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Câu 2. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3. bằng:
A. –¥.	B. –1.	C. 1.	D. +¥.
Câu 4. Giá tri đúng của 
A. Không tồn tại.	B. .	C. .	D. .
Câu 5. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 6. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 7. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 11. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác 
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 14. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
Phương pháp: 
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
, từ đây suy ra.
 Nếu và.
Câu 1. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 2. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 3. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 3 	D. 0 
Câu 4.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 1 	D. 0 
Câu 5. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 6. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 6 	D. 0 
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 8.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 9. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1 
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 11.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 14.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 15.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 16.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 19.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 20.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 21.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 1 	D. 0 
Câu 25.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 27. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Câu 28. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 ;	 (c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu và 
	thì: 
	 (nếu M ¹ 0)
b) Nếu f(x) ³ 0 và 
	 thì L ³ 0 và 
c) Nếu thì 
3. Giới hạn một bên:
Û 	 Û 
1. Giới hạn đặc biệt:
	;
	;	
	;	
2. Định lí:
Nếu ¹ 0 và thì:
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô định.
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 
Phương pháp: 
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng 
+ Nếu cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 2. bằng:
A.	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
.
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với mọi dãy ta có: Vậy .
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 9 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 5	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với mọi dãy ta có:
Câu 9. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + và so đáp án.
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy ta có:
.
Câu 11. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi dãy và ta có:.
Câu 12. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy và ta có:.
Câu 13. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy ta có:.
Câu 14. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 15. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp số: 
Câu 16. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 17. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 0	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 18. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Do . Đáp số: .
Câu 19. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:.
Câu 20. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có .
Câu 21. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 22. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 23. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 24. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 25. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 26. Tìm giới hạn hàm số bằng định nghĩa.
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 27. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 
Vì nên .
Câu 28. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:..
Hàm số có giới hạn khi. Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 29. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có .
Câu 30. Tìm để hàm số. có giới hạn tại 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Vậy .
Câu 31. Tìm để hàm số. có giới hạn khi .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:.
 .
Hàm số có giới hạn khi 
. Vậy là giá trị cần tìm.
DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
1. L = với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
	Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý: 
	+ Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm thì ta luôn có sự phân tích.
	+ 
2. L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
	Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ 
+ 
	+ 
3. L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
	Giả sử: P(x) = . 
	Ta phân tích P(x) = .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: , trong đó .
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 2. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: . 
Câu 3. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 4. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 25
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 
Câu 5. Cho hàm số . Giá trị đúng của là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
.
.
Câu 6. Tìm giới hạn  :
	A. 	B. 	C. 	D. 6 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:.
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 8. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1: Nhân liên hợp
Ta có: 
.
Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt và 
.
Câu 8. Tìm giới hạn với  :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Áp dụng bài toán trên ta có:
.
Câu 9. Tìm giới hạn với . :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 11. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 14. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 15. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 
Câu 19. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 20. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 21. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
. 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 25. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt khi 
Và: 
Do đó: 
Câu 27. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 28. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 29. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 30. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: .
Câu 31. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Mà: 
Vậy .
Câu 32. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 33. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 3 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 
Câu 34. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: .
Câu 35. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1: Đặt và 
Nên 
 .
Cách 2: Ta có: 
Do đó: .
Câu 36. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 
Đặt . Khi đó:
. 
 Do đó: .
DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 
Phương pháp:
	L = trong đó, dạng này ta còn gọi là dạng vô định.
	với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
	– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
	– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: 
+ ; .
+ .
+ .
Câu 1. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus)
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 2. Giá trị đúng của là:
A. 	B. .	C. .	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
.
Câu 3. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 4. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 5. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 6. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Cách 1: 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: + CACL + và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: và so đáp án.
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 8. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
.
Câu 9. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
.
Câu 10. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
 thành
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 14. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
.
Câu 15. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
Câu 16. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 19. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Suy ra . 
Câu 20. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 21. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
* Nếu.
* Nếu 
( Vì tử, mẫu).
* Nếu 
.
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có:.
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
(do tử , mẫu).
Câu 25.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 2 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Câu 27. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Câu 28. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Câu 29. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 30.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: .
Câu 31. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Do đó:.
Câu 32. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
 .
Do đó: 
Câu 33.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
 .
 Nên 
 .
Câu 34. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
 Nếu .
 Nếu 
( Vì tử , mẫu ).
 Nếu , ta có:
Câu 35. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 4 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 36. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Câu 37. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Ta có:.
Câu 38. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:
A. Không tồn tại.	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1: 
Mà nên 
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + + và so đáp án.
DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 
Phương pháp:
 1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương..
	2. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn
	Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về dạng .
 3. Dạng 0.¥: 
	Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Câu 1. Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Khi 
Vậy .
Câu 2. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
.
Câu 3. bằng:
A. –¥.	B. –1.	C. 1.	D. +¥.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
vì và .
Câu 4. Giá tri đúng của 
A. Không tồn tại.	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
Câu 5. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
 .
Câu 6. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
.
Câu 7. Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Khi 
Vậy .
Câu 8. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt 
.
Mà 
 .
.
Vậy.
Câu 9. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 11. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
.
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 14. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC
Phương pháp: 
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
, từ đây suy ra.
 Nếu và.
Câu 1. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:.
Câu 2. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
.
Câu 3. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 3 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 4.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 1 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:.
Câu 5. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
.
Câu 6. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 6 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
.
Câu 7. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Mà : 
 .
Vậy:.
Câu 8.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 9. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 1 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:.
Câu 10. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:. Mà 
Nên theo nguyên lí kẹp.
Câu 11.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Trước hết ta có: 
Ta có: 
Mà nên.
Câu 12. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:
Câu 13. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 
Câu 14.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 15.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 16.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 17. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: khi 
Vậy .
Câu 18. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 19.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
 .
Câu 20.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 21.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có 
Câu 22. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 23. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: 
Câu 24. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 1 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: Mà ; 
Do đó: .
Câu 25.Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: khi 
Vậy .
Câu 26. Tìm giới hạn :
	A. 	B. 	C. 	D. 0 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: . 
Câu 27. bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Vậy.