Bài tập ôn tập vật lý lớp 10 - Chuyên đề Tĩnh học vật rắn

Lop10.3.1 Chuyên đề Tĩnh học vật rắn.
A- Nhắc lại chất điểm và cân bằng chất điểm:
 + Chất điểm: Vật được coi là chất điểm khi kích thước của vật nhỏ so với quãng đường dịch chuyển của nó.
 + Biểu diễn lực tác dụng lên chất điểm có điểm đặt tại chính giữa chất điểm.
 + Điều kiện cân bằng của chất điểm 
B-Vật rắn: 
I- Điều kiện cân bằng của vật rắn không quay
1) Định nghĩa: Trong cơ học, vật rắn, hay đầy đủ là vật rắn tuyệt đối, là một tập hợp vô số các chất điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ luôn luôn không đổi. Vật thể được xem là vật rắn tuyệt đối khi biến dạng của nó là quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát.
2)Biểu diễn lực tác dụng lên vật rắn 
- Lực tác dụng lên vật rắn biểu diễn dưới dạng vector trượt, tức là có thể trượt tự do trên giá (phương) của nó.
- Các lực tác dụng lên cùng một vật rắn tạo thành hệ lực. 
-Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đường tác dụng của chúng đồng quy tại một điểm.
-Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đường tác dụng.
- Hệ lực cân bằng: Hệ lực cân bằng là hệ lực không làm thay đổi trạng thái cơ học của vật rắn. 
3)Vật rắn không quay cân bằng : Vật chịu tác dụng các lực đồng quy có hợp lực bằng không
4) Hai lực song song cùng chiều có hợp lực: 
 + song song cùng chiều F = F1+ F2
 + Giá chia trong hai giá của thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn
 ( Thanh AB chịu tác dụng của : lực tổng hợp có điểm đặt chia trong đoạn thẳng nối điểm đặt hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn) 
 5) Trọng tâm:
 - Coi vật rắn là 1 tập hợp n phần tử có trọng lượng P1, P2,  Pn. Các trọng lực Pi tạo thành 1 hệ lực song song, tâm của hệ lực song song này gọi là trọng tâm (khối tâm) của vật.
+Nếu vật đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm tương ứng trên mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng đó.
+Khối tâm của đĩa tròn chính là tâm O của đĩa.
+Khối tâm của hình trụ là trung điểm trục đối xứng.
+Nếu vật là hình vuông, chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm chính là giao điểm 2 đường chéo.
+Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì trọng tâm chính là giao điểm 3 đường trung tuyến.
+ Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có khối lượng mang dấu âm. 
+Phương pháp thủ công: Treo vật bằng một sợi dây, đánh dấu phương của dây treo. Sau 2 lần treo tại 2 điểm khác nhau, giao điểm của hai phương trọng lực là G.
 - Mức vững vàng của vật: Phương của trọng lực qua chân đế
 - Cân bằng bền: Vật lệc ra khỏi vị trí cân bằng, Trọng lực tạo
6) Hai lực song song ngược chiều có hợp lực 
 + song song cùng chiều à Có chiều cùng chiều lực lớn
 + Giá chia ngoài hai giá của thành hai đoạn tỉ lệ nghịch với độ lớn
II) Điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định:
1)Momen
 - Khi lực tác dụng lên vật, nó có thể làm cho vật quay quanh một điểm nào đó. Tác dụng đó của lực được đặc trưng đầy đủ bằng mômen của lực đối với một điểm. 
- Định nghĩa Mômen: Mômen của lựcđối với điểm O là một vectơ, ký hiệu là xác định bằng công thức: 
	= 
 Vậy vector Momen là tích có hướng của vector lực và vector tay đòn.	
*Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa điểm O và lực 
*Chiều: Có chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của nó xuống gốc thấy vòng quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
*Độ lớn: M = F.d (trong chương trình học thường ta chỉ cần quan tâm yếu tố này và dạng đại số của Momen.) Lấy dấu dương khi chiều quay ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại:
2)Điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay cố định:
III- Momen ngẫu lực:
- Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ, ký hiệu (gọi tắt là ngẫu).
- Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực, người ta dùng vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu có:
Gốc nằm tuỳ ý trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực.
Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng.
Chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ xuống mặt phẳng tác dụng thì thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ.
Độ lớn bằng F.d. Trong đó F là độlớn của một lực, d là khoảng cách giữa 2 giá của lực và không phụ thuộc trục quay 
BÀI TẬP:
Dạng 1: Cân bằng của một vật chịu tác dụng của hai lực và của ba lực không song song
a) Nhắc lại cân bằng của chất điểm
Ví dụ 1 Một hình trụ nhôm cao 20cm, bán kính 1 cm treo vào đầu lực kế. Biết khối lượng của nhôm 2,7 g/cm3 . Lấy g = 9,8m/s2.
a) Khi hình trụ cân bằng lực kế chỉ bao nhiêu?
b) Nhúng hình trụ chìm hoàn toàn trong nước có D = 1000kg/m3. Xác định số chỉ của lực kế.
Hướng dẫn giải: 
 a) Các lực tác dụng vào vật là trong đó là số chỉ của lực kế
Phương trình cân bằng của ống nhôm: 
Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống dưới 
 b) Các lực tác dụng vào vật là trong đó là số chỉ của lực kế, Lực đẩy Acsimet hướng lên
Phương trình cân bằng của ống nhôm: 
Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống dưới 
T= P-FA 
Thay số 
Ví dụ 2: Một vật có khối lượng m = 200 gam treo ở đầu sợi dây nhẹ, không dãn đầu kia của dây trên trần nhà. Dùng lực đẩy vật theo phương ngang, khi cân bằng dây lập với phương thẳng đứng 300. Xác định lực F và sức căng của dây.
Hướng dẫn giải: 
Có 3 lực tác dụng vào vật: 
Điều kiện cân bằng (*). 
Chọn hệ trục x0y: 0x ngang và 0y thẳng đứng
Chiếu (*) lên hai trục 
Theo phương thẳng đứng: T1 – P = 0 
 à T = 
Theo phương ngang F - T2 =0 à 
Ví dụ3
m
a
Một vật có khối lượng 2kg được giữ yên trên mặt phẳng nghiêng bởi 
một sợi dây song song với đường dốc chính (hình vẽ). 
Biết α = 30o, g = 9,8m/s2 và ma sát không đáng kể. Hãy xác định:
a. Lực căng của dây?
b. Phản lực của mặt phẳng nghiêng lên vật? 
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên vật m là: 
 +Trọng lực ; Lực căng dây ; Phản lực của mặt phẳng nghiêng.
-Điều kiện cân bằng của m: ++=	(*)
Chọn hệ trục x0y: 0x dọc mặt nghiêng hướng xuống, 0y vuông góc mặt nghiêng, hướng lên
Chiếu (*) lên hai trục 
-Chiếu (*) lên các trục 
Ox: Psina - T = 0	(1)
Oy: Q - Pcosa = 0	(2)
a). Lực căng T của sợi dây:(1)=> T = Psina = mgsin30o = 2.10.1/2 = 10N.
b). Phản lực Q của mặt phẳng nghiêng lên vật:
	 (2)=> Q = P.cosα = mgcos30o= 2.10. = 10N
b) Đối với vật rắn:
Ví dụ 4
Hai mặt phẳng cùng tạo với mặt phẳng ngang 450 . Trên hai hai mặt phẳng đó đặt quả cầu đồng chất khối lượng 2kg. Lấy g = 10m/s2, hãy xác định lực ép của mỗi quả cầu lên mỗi mặt phẳng:
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên vật m là: 
 +Trọng lực 
+Phản lực và của mặt các phẳng nghiêng.
-Điều kiện cân bằng của m:
++=	(*)
-Dịch chuyển các lực theo giá của chúng đồng 
quy tại tâm O của như hình vẽ: 
Q 
Ví dụ 5 Một quả cầu trọng lượng P = 40N treo vào tường 
nhờ một sợi dây hợp với mặt tường 300. Bỏ qua ma sát ở chỗ tiếp xúc giữa quả cầu và tường. Hãy xác định lực căng của dây và phản lực của tường tác dụng lên quả cầu
Hướng dẫn giải:
A
a
B
O
C
y
x
Quả cầu chịu tác dụng 3 lực:
Trọng lực 
Phản lực 
Sức căng dây 
Điều kiện cân bằng: ++=(*)
Biểu diễn trên giản đồ,
 dịch chuyển các lực theo giá 
Từ hình vẽ 
 =23(N) hoặc = 23(N) 
Ví dụ A
 O
 B
 6 Một thanh đồng chất khối lượng 3 kg được đặt dựa vào tường. do sàn và tường không có ma sát nên dùng một dây buộc vào đầu dưới B của thanh vào chân tường để giữ cho thanh đứng yên. Cho biết và lấy g = 10m/s2. Tính lực căng của dây
Hướng dẫn giải
Vật chịu tác dụng của 4 lực
Cách 1:Tổng hợp 
Di chuyển các lực theo giá của chúng và đồng quy tại C
 A
 O
 B
H
A
O
B
C
 đều
Cách 2
 (*)
Chọn hệ quy chiếu x0y:
 0x nằm ngang, 0y thẳng đứng
Chiếu (*) lên các trục tọa độ:
 P=NB (1)
 T = NA (2)
Chọn trục quay tạm thời qua B: 
Từ à 
Ví dụ 7 Một thanh đồng chất tựa vào tường không ma sát. Thanh hợp với mặt đất 450. Lực ma sát nghỉ tác dụng vào đầu dưới của thanh là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vật chịu tác dụng của 4 lực
Cách 1: Tổng hợp lực chung thành phản lực của mặt đất
 Dịch chuyển theo giá đến chung điểm 0
(vẽ riêng hình bên) Thanh cân bằng,
 phân tích R thành hai thành phần nhận thấy :
 . Chọn trục quay tạm thời đi qua điểm tựa mặt đất à Q.a = P.a/2 à Q = P/2
Cách 2: Gắn trục 0x nằm ngang và 0y thẳng đứng
Chọn cân bằng theo phương à và Chọn trục quay tạm thời đi qua điểm tựa mặt đất à Q.a = P.a/2 à Q = P/2
à Kết quả tương tự.
C
B
A
Ví dụ 8 Một sợi dây một đầu buộc vào bức tường nhám, đầu kia buộc vào đầu A của thanh đồng chất khối lượng m. Dây có tác dụng giữ thanh tì vuông góc vào tường tại đầu B và hợp với thanh một góc 300. Lực căng của dây và lực ma sát nghỉ của tường là bao nhiêu
Hướng dẫn giải
Vật chịu tác dụng của 4 lực
Gắn trục 0x nằm ngang và 0y thẳng đứng
Theo 0y (1)
Theo 0x (2)
C
B
A
Chọn trục quay tạm thời qua B 
à (3)
Từ (3) à T = P =mg (3/)
Thay (3/) vào (2)à 
Vậy T = mg; fms = mg/2
Dạng 2: Cân bằng của vật rắn không quay chịu tác dụng hai lực song song
Ví dụ 9 A và B dùng một chiết gậy để khiêng một cổ máy nặng 1000N. Điểm treo cổ máy cách vai người A 60cm, cách vai người B 40cm. Lực mà mỗi người chịu lần lượt là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: 
 Lập hệ phương trình 
 Giải ra có PA = 400N; PB = 600N
Ví dụ 10: 
Thanh rắn AB khối lượng bỏ qua dài 80cm. Đặt tại A vật nặng có khối lượng m1 = 3kg, đặt tại B vật nặng khối lượng m2 =2 kg. Dùng một dây buộc tại O trên AB treo hệ thống lên. Tìm vị trí O để thanh nằm ngang 
Hướng dẫn giải: 
 Lập hệ phương trình 
 Giải ra có lA = 32cm; lB = 48cm
Ví dụ 11 Hai quả cầu cân bằng nhôm có cùng khối lượng, thể tích V được treo vào hai đầu A, B của một thanh kim loại mảnh nhẹ. Thanh được giữ thăng bằng nhờ dây mắc tại điểm giữa O của AB. Biết OA = OB = l = 25 cm. Cho khối lượng riêng của nhôm và nước lần lượt là: D1 = 2,7 g/cm3; D2 = 1 g/cm3.
a) Nhúng quả cầu ở đầu B vào nước thanh AB mất thăng bằng. Để thanh thăng bằng trở lại ta phải dời điểm treo O về phía nào? Một đoạn bao nhiêu? 
b) Tính sức căng của dây treo trong hai trường hợp.
O
P
 l +x )
 l -x )
P
B
A
Hướng dẫn giải: Khi quả cầu treo ở B được nhúng vào nước, ngoài trọng lượng P nó còn chịu tác dụng của lực đẩy Acsimet nên lực tổng hợp giảm xuống. Do đó cần phải dịch chuyển điểm treo về phía A một đoạn x để cho cánh tay đòn của quả cầu B tăng lên.
a) Vì thanh cân bằng trở lại nên ta có:
P.(l-x) = (P-F)(l+x)
ó 10D1V(l-x) = (10D1V – 10D2V)(l+x) 
(với V là thể tích của quả cầu)
ó D1(l-x) = (D1 = D2) (l+x)
ó (2D1-D)x = D2l
ó (cm)
Vậy cần phải dịch điểm treo O về phái A một đoạn x = 5,68 cm
b) Dùng qui tắc đòn bẩy + T=2P = 20.D1.V
 + T/ = 2( P- FA) =20V(D1 – D2)
Dạng 3: Trọng tâm của vật
Ví dụ 12: Có 4 viên gạch giống hệt nhau , chiều dài mỗi viên L được đặt chồng lên nhau sao cho một phần của mỗi viên gạch nhô ra ngoài viên gạch nằm dưới. Hãy tính: 
a)Các giá trị lớn nhất của các đoạn a1, a2, a3, a4 nhô ra của mỗi viên sao cho chồng gạch vẫn cân bằng
b) Khoảng cách h từ mép bàn đến mép ngoài cùng của viên gạch trên cùng nhô ra
Hướng dẫn giải:
+ Viên trên cùng nhô ra tối đa 
+Viên 3 và 4 lập thành hệ 
h
 a4
 a3
 a2
 a1
có trọng tâm là điểm đặt hợp hai trọng lực P3 và P4 cách mép phải viên 3 là a3 và để không lật thì cách mép phải viên 2 là 
+ Tương tự có 
b) 
 a
Ví dụ 13: Tìm trọng tâm của vật như hình vẽ
Bản mỏng đồng chất hình vuông cạnh 2a = 60cm khoét một phần tư có kích thước hình vuông cạnh a= 30cm
Hướng dẫn giải:
Có nhiều cách chia vật.
Hình bên là một cách chia vật thành 2 phần.
*Phần hình lớn có:
 -Trọng lượng 2P, 
 -Trọng tâm tại 
giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.
 *Hình nhỏ
- Trọng lượng P.
- Trọng tâm tại giao điểm hai đường chéo hình vuông
*Thanh hóa vật. Thanh chịu tác dụng 2 lực độ lớn 2P và P cách nhau a=30cm
Bằng phương pháp tổng hợp lực song song 
Lập hệ phương trình 
 a
O x
 y
 Giải ra có lA = 10cm; lB = 20cmà Điểm đặt trọng tâm cách cạnh bên của vật: 15+10 = 25cm
Theo trục tọa độ 0y xác định tương tự
Vậy tọa độ trọng tâm G (25,50)cm
Ví dụ 14 Tìm trọng tâm của một đĩa mỏng khối lượng phân bố đều hình tròn bán kính 6cm, bị khoét một lỗ có bán kính 3cm tiếp xúc với vành đĩa?
Hướng dẫn giải
 P1= 
 l1= 
 P2= 
l2= 
Trước khi bị khoét, đĩa có trọng tâm tại O
Khi khoét
Thanh hóa đĩa, các tác dụng như hình vẽ 
à 
Như vậy trọng tâm của vật cách tâm 0 một đoạn , cách mép ngoài của đĩa 
Dạng 4: Cân bằng của vật có trục quay cố định
Ví dụ 15 Một barie nằm ngang AB dài 5m, trụ đỡ tại O với OA = 1m. Tại A có vật nặng 50kg. Lấy g = 10m/s2
a)Bỏ qua trọng lượng của thanh.Để giữa cho thanh baire thăng bằng cần đặt vào đầu B vật thứ hai có khối lượng bao nhiêu. 
b)Thanh tiết diện đều đồng chất có khối lượng 10kg. Để giữa cho thanh baire thăng bằng cần đặt vào đầu B vật khác có khối lượng bao nhiêu. 
Hướng dẫn giải:
A O B
A O B
a)Vật rắn quay quanh trục O Có 2 mô mên tác đụng vào thanh là 
Điều kiện cân bằng 
 Chọn chiều mômen dương theo chiều quay của 
à PA.OA – PB.OB = 0 à 
b) Có 4 mômen tác dụng lên thanh: 
+ Điều kiện cân bằng 
+Chọn chiều mômen dương theo tác dụng của 
à 
Trong đó PA = 50N ; OA =1m; OB = 4m
Thanh đồng chất khối lượng phân bố đều
 à POA = 20N; POB= 80N; 
 à 500.1- PB.4 + 20.0,5 - 80.2 = 0 
 à PB = 87,5 (N) à mB = 8,75 kg
Ví dụ 16 Đòn bẩy AB khối lượng bỏ qua tựa vào điểm O có OA= 80cm và OB = 20 cm. Đòn bẩy lập với phương ngang 300 bẩy tảng đá nặng 30N tại đầu B . Lấy g = 10m/s2. Để nâng tảng đá lên, phải cần lực ấn đầu A xuống có độ lớn là bao nhiêu
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng điều kiện cân bằng vật rắn quay quanh O à 
 Chọn chiều dương của mô men à à 
+Cánh tay đòn có độ dài tỉ lệ OA và OB: 
Ví dụ 17 Một thanh có trọng lượng P = 30N dài 4m có bản lề tại A. Một lực hướng thẳng đứng lên đặt tại điểm cách B 1m. Để thanh nằm ngang thì độ lớn của bằng bao nhiêu.
Hướng dẫn giải: 
Chọn trục quay đi qua bản lề. 
Có hai mô mên tác dụng vào thanh làm thanh quay quanh bản lề.
Từ điều kiện cân bằng 
à 
Ví dụ 18 Thanh dài L =50cm trọng lượng P = 20N được treo nằm ngang vào tường tại bản lề. Một trọng lượng P1 = 50N treo ở đầu thanh. Dây treo lập với thanh góc 300. Tính sức căng T của dây
Hướng dẫn giải: 
Chọn trục quay qua bản lề. 
Có 3 mô men tác dụng làm quay 
Điều kiện cân bằng 
Chọn chiều dương theo chiều tác dụng của P
à 
à T = 120N
Luyện tập: 
Bài 1 Một ngọn đèn có khối lượng 1kg được treo dưới sàn nhà bằng một sợi dây chịu được sức căng tối đa 8N. Lấy g = 10m/s2.
a) Chứng tỏ rằng không thể treo ngọn đèn này vào một đầu dây.
b) Người ta treo ngọn đèn này bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc 600
Hỏi lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đèn chịu tác dụng 3 lực:
Trọng lực của đèn, hai lực căng dây .
A
C
B
m
α
Điều kiện cân bằng: 
Bbieeur diễn lực. Từ giản đồ véc tơ à 
Bài 2 Một giá treo như hình vẽ gồm:
	-Thanh nhẹ AB = 1m tựa vào tường ở A.
	-Dây BC = 0,6m nằm ngang.
	Treo vào đầu B một vật nặng khối lượng m = 1kg. 
A
C
 B
m
 α
Khi thanh cân bằng hãy tính độ lớn của phản lực đàn hồi do tường tác dụng lên thanh AB và sức căng của dây BC?Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải:
-Các lực đồng quy tác dụng lên thanh AB là: 
	+Lực căng do trọng lựccủa vật m.
 +Lực căng dây .
 +Phản lực của tường.
Các lực này đồng quy và
 thanh AB cân bằng nên ta có:	++=	(*)
-Chiếu (*) lên các trục 
Ox: Q.cosα - T = 0	(1)
Oy: Q.sinα - P = 0	(2)
(2)=> Q = P/sinα
(1) => T = Q.cosα
 Trong đó: sinα = CA/AB	(= 0,8m)
	 cosα = CB/AB Thay số ta được: 
 Q = 1.10. = 12,5N.
	 T = 12,5.0,6 = 7,5N.
BàiA
a
B
C
O
 3 Quả cầu khối lượng m = 2,4kg, bán kính R = 7cm 
A
a
B
O
C
y
x
tựa vào tường trơn nhẵn (hình 1.3) và được giữ nằm
 yên nhờ một dây treo gắn vào tường tại A, chiều dài 
AC = 18cm. Lấy g = 10m/s2. Tính lực căng của dây 
và lực nén của quả cầu vào tường?
Hướng dẫn giải:
- Các lực tác dụng lên quả cầu đồng quy tại O gồm:
+Trọng lực .
+Phản lưc của tường 
	+Lực căng dây 
- Điều kiện cân bằng của quả cầu là:	++=	(*)
- Chiếu (*) lên các trục tọa độ
	Ox: Q – Tsina = 0 (1)
	Oy: Tcosa - P = 0 (2)
với 	sina = OB/OA = R/(AC +R) = 7/(18+7) = 0,28
	cos = = 0,96
Lực căng sợi dây là: (2) => T = P/cosa = 2,4.10/0,96 = 25N
Lực nén của quả cầu lên tường có độ lớn bằng phản lực của tường lên quả cầu: 
	(1) => Q = Tsinα = 25.0,28 = 7N.
Bài 4 Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh và khối lượng m = 1kg. Đầu O của thanh liên kết với tường bằng bản lề, còn đầu A được treo vào tường bằng một sợi dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc α = 30o (hình 1.4). Lấy g = 10m/s2. Hãy xác định:
a.Giá của phản lực của bản lề tác dụng vào thanh AB?
a
 x
y
O
G
I
b.Độ lớn lực căng dây và phản lực Q?
- Các lực tác dụng lên thanh gồm: 
	+Trọng lực .
	+Phản lưc của bản lề 
	+Lực căng dây 
	- Điều kiện cân bằng của thanh OA là:
	 ++ = 	(*)
a. Các lực ,, có giá đồng quy nên giá của không
 vuông góc với tường mà đi qua điểm I( giao điểm của giá các lực ,).
b. Độ lớn lực căng dây T và phản lực Q. 
Dễ thấy ∆OAI cân tại I, nên chiếu (*) lên các trục Ox, Oy ta được:
	Q.cosα – P.cosα = 0 	(1)
	T.sinα + Q.sinα – P = 0	(2)
 	từ (1) => Q = T thế vào (2) ta có: 2Tsinα = P 
	=> T = P/2sinα = 10N = Q.
*Nhận xét:
Đối với bài tập này ta có thể dùng định lý hàm số cosin giải như sau:
Di chuyển các lực,, về điểm đồng quy I, như hình vẽ:
	Công thức (*) có thể viết thành với 
vì tam giác AIO cân nên Q = T, ta có:
	F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α = 2T2(1-cos2α) = 2T2(2sin2α)
	=> T = F/2sinα = P/2sinα = Q
Bài 5 Một người gánh hai thúng, một thúng gạo 200N, một thúng ngô 400 N, đòn gánh dài 1,2 m. Hỏi vai người ở điểm nào và chịu tác dụng lực bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: 
 Lập hệ phương trình 
 Giải ra có lA = 80cm; lB = 40cm đặt cách bên thúng gạo 80cm. Chịu lực P = 600N
Bài 6 Một tấm ván nặng 240N bắc qua con mương. Trọng tâm của tấm ván cách đầu a của tấm ván 2,4m, cách đầu B của tấm ván 1,2m. Hãy xác định lực mà tấm ván tác dụng lên mỗi bờ mương
Hướng dẫn giải: 
 Lập hệ phương trình 
Giải ra có PA = 80N; PB = 160N
Bài 7: Một thanh sắt dài đồng chất tiết diện đều đặt trên mặt bàn sao co 1/6 chiều dài của nó nhô ra khỏi mặt bàn. Tại đầu nhô ra người ta đặt một lực hướng thẳng đứng xuống dưới. Khi lực đạt 40N thì đầu kia của thanh sắt bắt đầu bênh lên. Hỏi khối lượng của thanh sắt. ấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải: 
Trọng tâm của thanh sắt cách mép bàn L Chọ trục quay tại mép bàn
à P 
Khối lượng thanh thép 
Bài 8 Một bản mỏng đồng chất hình vuông ABCD có cạnh bằng 24 cm bị cắt mộ phần tam giác cân IBJ với IB = 12 cm như hình vẽ.
Hãy xác định trọng tâm của hình phẳng AIJCD còn lại đối với điểm G là trọng tâm của hình vuông ABCD
B
J
C
 A
 24cm
 D
I
Hướng dẫn giải: 
 H G2
 G mg/8
 G1
 G1 G G2
 mg
 7mg/8 
B
J
C
 A
 24cm
 D
I
 G2
Diện tích dẫn đến khối lượng phần cắt bỏ là m/8, phần còn lại là 7mg/8
Trọng tâm G chia trong đoạn G1G2 à 
= 
Bài 9 Một thanh nhẹ gắn vào sàn tại B. Tác dụng lên đầu A lực kéo F = 100N theo phương ngang. Thanh được giữ cân bằng nhờ dây AC. Biết α = 30o. Tính lực căng dây AC?
Hướng dẫn giải: 
-Các lực tác dụng lên thanh AB gồm:
	+ Lực kéo 
C
A
B
a
H
	+ Lực căng dây AC 
C
A
B
a
	+Phản lực của sàn tác dụng lên AB.
-Xét trục quay tạm thời tại B (), 
điều kiện cân bằng của thanh AB là:	 = 
	 F.AB = T.BH với BH = AB/2
	=> = 2F = 200N	
C
A
a
O
Bài 10 Thanh OA có khối lượng không đáng kể, có chiều dài 20cm, quay dễ dàng quanh trục nằm ngang O. Một lò xo gắn vào điểm giữa C. Người ta tác dụng vào đầu A của thanh một lực F = 20N hướng thẳng đứng xuống dưới. 
Khi thanh ở trạng thái cân bằng, lò xo có hướng vuông góc với OA, và OA làm với đường nằm ngang một góc a = 30o(hình 2.2).
a.Tìm phản lực N của lò xo lên thanh.
b.Tính độ cứng k của lò xo, biết lò xo ngắn đi 8cm so với lúc không bị nén.
c.Tính phản lực của trục O lên thanh OA.
C
A
a
O
B
B
I
Hướng dẫn giải: 
-Các lực tác dụng lên thanh OA gồm:
	+ Lực 
	+ Phản lực đàn hồi của lò xo. 
	+Phản lực của trục O tác dụng lên AB.
a. Phản lực của lò xo lên thanh OA
Ta vận dụng quy tắc mô men lực để tìm N. Điều kiện cân bằng của thanh OA quanh trục O là:
	 = 
	F.OB = N.OC với OB = 2OC.cosα 
	 => N = F.OB/OC = 2F.cosα 
	 = 2.20. = 20N	b. Độ cứng của lò xo
 	Ta có: N = k.Δl => k = N/Δl = 20/(8.10-2) = 433N/m
c. Phản lực Q của trục O lên thanh OA.
	-Điều kiện cân bằng lực là: ++ = 
	-Do các lực tác dụng lên OA có giá đồng quy nên, giá của 	 cũng phải đi qua I. Dễ thấy ΔOAI cân tại I nên Q = F = 20N.
BàiA
a
O
 11 Để giữ thanh nặng OA có thể nằm nghiêng với sàn một góc α = 30o, ta kéo đầu A bằng sợi dây theo phương vuông góc với thanh, còn đầu O được giữ bởi bản lề (hình 2.3). Biết thanh OA đồng chất, tiết diện đều trọng lượng là P = 400N.
	a. Tính độ lớn lực kéo F .
	b. Xác định giá và độ lớn của phản lực của trục O.
Hướng dẫn giải: 
-Các lực tác dụng lên OA gồm:
	+Lực kéo 
	+Trọng lực 
	+Phản lực của trục O
I
γ
α
G
I
H
A
a
O
β
a. Độ lớn lực F tác dụng lên thanh OA
	Điều kiện cân bằng của OA là:
	 = (vì = 0)
	F.OA = P.OH với OH = OG.cosa = OA.cosα
	=> 	F = = cosα = .400. = 100N
b. Xác định giá và độ lớn của phản lực của trục O. 
	-Do thanh OA không chuyển động tịnh tiến nên ta có 
điều kiện cân bằng là: 	++ = 	(*)
	Các lực, có giá đi qua I, nên cũng có giá đi qua I.
	Trượt các lực ,, về điểm đồng quy I như hình vẽ, theo định lý hàm số cosin ta có:	
	Q2 = F2 + P’2 – 2F.P’.cosα 
= (100)2 + 4002 – 2.100.400./2 à Q ≈ 265N
-Theo định lý hàm số sin ta có:
	 với γ = π/2 – (α+β)
=> 	 ≈ 0,327 
=>	γ ≈ 19o => β = π/2 - γ - α ≈ 90o - 19o - 30o 
	 β ≈ 41o
	Vậy có độ lớn Q = 265N và có giá hợp với thanh OA một góc β =41o. 	
Bàih
h
I
O
K
H
Hình 2.4
 12 Bánh xe có bán kính R = 50cm, khối lượng m = 50kg (hình 2.4). Tìm lực kéo F nằm ngang đặt trên trục để bánh xe có thể vượt qua bậc có độ cao h = 30cm. Bỏ qua ma sát. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải: 
-Các lực tác dụng lên bánh xe bao gồm:
	+Lực kéo 
	+Trọng lực 
	+Phản lực của sàn tại điểm I
-Điều kịên để bánh xe có thể lăn lên bậc thềm là:	
	 ≥ (đối với trục quay tạm thời qua I, )
	F.IK ≥ P.IH với IK= R – h;= 
	Þ	F ≥ mg≈1145N