Bài tập Hình học không gian 11

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
Dạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của
a. (SAC) và (SBD)	b. (SAB) và (SCD)	c. (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm AC, BC; K thuộc BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của
a. (IJK) và (ACD)	b. (IJK) và (ABD)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm SB, SD; P thuộc SC sao cho PC < PS. Tìm giao tuyến của
a. (SAC) và (SBD)	b. (MNP) và (SBD)	c. (MNP) và (SAC)
d. (MNP) và (SAB)	e. (MNP) và (SAD)	f. (MNP) và (ABCD)
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi M, N là trung điểm BC, CD. Tìm giao tuyến của
a. (SAC) và (SBD)	b. (SMN) và (SAD)	c. (SAB) và (SCD)
d. (SMN) và (SAC)	e. (SMN) và (SAB)
Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm của BC, CD, SA. Tìm giao tuyến của
a. (IJK) và (SAB)	b. (IJK) và (SAD)	c. (IJK) và (SBC)
d. (IJK) và (SBD)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt nằm trên cạnh AB, AC, BD sao cho MN, BC, MP, AD. Tìm giao tuyến 2 mặt phẳng
a. (MNP) và (ABC)	b. (MNP) và (BCD)	c. (MNP) và (ACD)
Bài 7. Cho chóp S.ABCD đáy là hình thang đáy lớn AD. Gọi I là trung điểm SA, J thuộc AD sao cho JD = AD/4; K thuộc SB sao cho SK = 2BK. Tìm giao tuyến
a. (IJK) và (ABCD)	b. (IJK) và (SBD)	c. (IJK) và (SBC)
Bài 8. Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho BM = BS / 4; SN = (3/4) SA. Tìm giao tuyến
a. (OMN) và (SAB)	b. (OMN) và (SAD)	c. (OMN) và (SBC)
d. (OMN) và (SCD)
Dạng 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm K thuộc BD: KD < KB. Tìm giao điểm của:
a. CD và (MNK)	b. AD và (MNK)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh thang AD // BC. M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB, SD. Tìm giao điểm:
a. SA và (MCD)	b. MN và (SAC)	c. SA và (MNC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và M là trung điểm SC.
a. Tìm giao điểm I của AM và (SBD).
b. Tìm giao điểm J của SD và (ABM).
c. Gọi M thuộc AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, BC; P thuộc BD sao cho PB = 2PD. Tìm giao điểm của
a. AC và (MNP)	b. BD và (MNP)
Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy AB > CD. Gọi M thuộc SA, N thuộc AB, P thuộc BC. Tìm giao điểm
a. MP và (SBD)	b. SD và (MNP)	c. SC và (MNP)
Bài 6. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, AD và G là trọng tâm ΔSAD.
a. Tìm giao điểm I của GM và (ABCD)
b. Tìm giao điểm J của AD và (OMG)
c. Tìm giao diểm K của SA và (OGM)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của SA, AC; P thuộc AB sao cho 2PB = AB, N thuộc SC sao cho SC = 3SN. Tìm giao điểm
a. SI và (MNP)	b. AC và (MNP)	c. SB và (MNP)	d. BC và (MNP)
Bài 8. Cho chóp S.ABCD. Đáy có các cặp cạnh đối không song song và I thuộc SA. Tìm giao điểm
a. SD và (IBC)	b. IC và (SBD)	c. SB và (ICD)
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có M thuộc AC, N thuộc AD và P nằm bên trong ΔBCD. Tìm giao điểm
a. CD và (ABP)	b. MN và (ABP)	c. AP và (BMN)
Bài 10. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD, AB > CD. Lấy I, J, K nằm trên SA, CD, BC.
a. Tìm giao tuyến (I JK) và (SAB)	b. Tìm giao tuyến (I JK) và (SAC)
c. Tìm giao tuyến (I JK) và (SAD)	d. Tìm giao điểm của SB và (I JK)
e. Tìm giao điểm của IC và (SJK)
Bài 11. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Lấy K thuộc đoạn BC, I trung điểm SA, J thuộc đoạn AB.
a. Tìm giao điểm của KI và (SBD)
b. Tìm giao tuyến của (I JK) và (SCD)
Dạng 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Bài 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trên SA, SB, SC sao cho DE ∩ AB = I, EF ∩ BC = J, FD ∩ AC = K.
a. Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF)
b. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng
Bài 2. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC, M thuộc SB, O là giao điểm của AC và BD
a. Tìm giao điểm N của SC và (ADM)
b. DM cắt AN tại I. Chứng minh rằng S, I, O thẳng hàng
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có AB không song song với CD, M trung điểm SC.
a. Tìm giao điểm N của SD và (ABM)
b. O = AC ∩ BD. Chứng minh rằng SO, AM, BN đồng quy
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E và I, J là trung điểm SA, SB; lấy N tùy ý trên SD.
a. Tìm giao điểm M của SC và (IJN)
b. Chứng minh rằng IJ, MN, SE đồng quy
Dạng 4: THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD, BC, AD, M trung điểm SA. Tìm thiết diện của chóp và (BCM)
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD; P thuộc AD và không là trung điểm AD. Tìm thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm AD, CD; I là điểm trên SO. Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI).
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm BC, CD, SA. Tìm thiết diện của hình chóp và (IJK)
Dạng 5: TỔNG HỢP GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM VÀ THIẾT DIỆN
Bài 1. Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC.
a. Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC)
b. Tìm giao điểm SA và (MNP)
c. Xác định thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 2. Cho chóp S.ABCD, M thuộc SC; N, P trung điểm AB, AD.
a. Tìm giao điểm của CD và (MNP)
b. Tìm giao điểm của SD và (MNP)
c. Tìm giao tuyến của (SBC) và (MNP)
d. Tìm thiết diện của chóp và (MNP)
Bài 3. Cho chóp S.ABCD có I, J là hai điểm trên AD và SB.
a. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI)
b. Tìm giao điểm K của I J và (SAC)
c. Tìm giao điểm L của DJ và (SAC)
d. Chứng minh rằng A, K, L thẳng hàng
Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AD không song song với BC. I thuộc SA: SA = 3 IA, J thuộc SC; M là trung điểm SB.
a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
b. Tìm giao điểm E của AB và (I JM)
c. Tìm giao điểm F của BC và (I JM)
d. Tìm giao điểm N của SD và (I JM)
e. Gọi H = MN ∩ BD. Chứng minh rằng H, E, F thẳng hàng
Bài 5. Cho chóp S.ABCD đáy hình thang, AB là đáy lớn. I, J trung điểm SA, SB; M thuộc SD.
a. Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC)
b. Tìm giao điểm K của IM và (SBC)
c. Tìm giao điểm N của SC và (I JM)
d. Tìm thiết diện của chóp và (I JM)
Dạng 6: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm ΔABC, ΔABD. Chứng minh rằng I J // CD
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
a. Chứng minh rằng MN // CD
b. Tìm giao điểm P của SC và (AND)
c. AN cắt DP tại I. Chứng minh rằng SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD.
a. Chứng minh rằng PQ // SA
b. Gọi K là giao điểm MN và PQ. Chứng minh rằng SK // AD // BC
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC, CD, SB, SD.
a. Chứng minh rằng MN // PQ
b. Gọi I là trọng tâm ΔABC, J thuộc SA sao cho JS / JA = 1/2. Chứng minh I J // SM
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành.
a. Tìm giao tuyến của (SAD)&(SBC); (SAB)&(SCD)
b. Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm AD, SA, SB.
a. Tìm giao tuyến d của (SAD) và (SBC)
b. Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK)
c. Tìm giao điểm N của BC và mặt phẳng (MHK). Tứ giác MHKN là hình gì?
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn). Gọi I, J, K là trung điểm AD, BC, SB.
a. Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (I JK)
b. Tìm giao điểm M của SD và (I JK)
c. Tìm giao điểm N của SA và (I JK)
d. Xác định thiết diện của hình chóp và (I JK). Thiết diện là hình gì?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, SD
a. Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP).
b. Tìm giao điểm của CD và (MNP)
c. Tìm giao điểm của AB và (MNP)
d. Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy ra thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, AD // BC, AB không song song với CD. Gọi M, E, F là trung điểm AB, SA, SD.
a. Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD).
b. Tìm giao điểm BC và (MEF)
c. Tìm giao điểm SC và (MEF)
d. Gọi O = AC ∩ BD. Tìm giao điểm SO và (MEF).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm OB, SO, BC.
a. Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN)
b. Tìm giao điểm E của SA và (MNP)
c. Chứng minh rằng ME // PN
d. Tìm giao điểm MN và (SCD)
e. Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC. Cho SB = AC.
a. Tìm giao điểm E của SA và (MNP)
b. Chứng minh rằng NP // ME // SB. Tứ giác MNPE là hình gì?
c. Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)
d. Tìm giao điểm SM và (ANP)
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD, OD.
a. Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìm giao điểm J của CD và (AMN)
b. Tìm giao điểm K của SA và (CMN)
c. Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC)
d. Tìm giao điểm của SC và (NPK)
e. Tìm thiết diện hình chóp và (AMN)
Dạng 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, CD, SA.
a. Chứng minh MN // (SBC); MN // (SAD).
b. Chứng minh SB // (MNP); SC // (MNP).
c. Gọi I, J là trọng tâm. Chứng minh rằng I J // (SAB), I J // (SAD), I J // (SAC).
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔABD, M thuộc BC sao cho MB = 2 MC. Chứng minh rằng MG // (ACD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm BC, SC. K thuộc SD sao cho SK = KD.
a. Chứng minh OJ // (SAD), OJ // (SAB)
b. Chứng minh IO // (SCD), I J // (SBD)
c. Gọi M là giao điểm của AI và BD. Chứng minh rằng MK // (SBC)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SO, OD
a. Chứng minh rằng MN // (ABCD), MO // (SCD)
b. Chứng minh rằng NP // (SAD), NPOM là hình gì?
c. Gọi ISD sao cho SD = 4 ID. Chứng minh rằng PI // (SBC), PI // (SAD)
Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J.
a. Chứng minh I J // (ADF) và I J // (BCE)
b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm ΔACE và ΔADF. Chứng minh rằng MN // (CDEF)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (α) qua MN và song song SA.
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (α); (SAC) và (α)
b. Xác định thiết diện của hình chóp và (α)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M là trung điểm AB, mặt phẳng (α) qua M và song song BD, SA. Xác định thiết diện hình chóp và (α)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên BC. Mặt phẳng (α) chứa MN và song song CD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng (α)
Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Điểm M tùy ý trên BC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với AC, BD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng (α).
Dạng 8: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm SA, SD, AB, ON.
a. Chứng minh (OMN) // (SBC)	b. Chứng minh PQ // (SBC)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SA, CD, AD.
a. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC)
b. Gọi I là điểm trên MP. Chứng minh rằng OI // (SCD)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, SB, AD.
a. Chứng minh (MNP) // (SAC)
b. Chứng minh PQ // (SCD)
c. Gọi I là giao điểm AM và BD, J thuộc SA sao cho AJ = 2 JS. Chứng minh rằng I J // (SBC)
d. Gọi K thuộc AC. Tìm giao tuyến (SKM) và (MNC)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm DC, AB, SB, BG, BI.
a. Chứng minh rằng (IJG) // (SAD)
b. Chứng minh rằng PQ // (SAD)
c. Tìm giao tuyến của (SAC) và (I JG)
d. Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD)
Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng. Gọi I, J, K là trung điểm AB, CD, EF. Chứng minh (ADF) // (BCE) và (DIK) // (JBE)
Dạng 9: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP CỤT
Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ là trung điểm BC, B’C’.
a. Chứng minh rằng AM // A’M’
b. Tìm giao điểm A’M // (AB’C’)
c. Tìm giao tuyến d của (AB’CD) và (BA’C’)
d. Tìm giao điểm của d với (AMA’)
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm A’B’.
a. Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
b. Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A’BC)
c. Chứng minh rằng d // (BB’C’C)
Bài 3. Cho chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ với ABC là đáy lớn. Gọi S là điểm đồng quy của 3 đường thẳng AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng SA’ / SA = SB’ / SB = SC’ / SC
Dạng 10: BÀI TẬP TỔNG HỢP QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SA, CD
a. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC)
b. Tìm giao điểm I của ON và (SAB)
c. Gọi G = SI ∩ BM, H là trọng tâm ΔSCD. Chứng minh rằng GH // (SAD)
d. Gọi J là trung điểm AD, E thuộc MJ. Chứng minh rằng OE // (SCD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD, SC.
a. Chứng minh rằng (MNP) // (SBD)
b. Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)
c. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP)
d. Gọi I = AP ∩ SO, J = AM ∩ SO. Chứng minh rằng I J // (MNP)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, BC
a. Chứng minh rằng I J // (SCD), (I JK) // (SCD)
b. Chứng minh rằng (I JK) // SD
c. Tìm giao điểm AD và (I JK)
d. Xác định thiết diện hình chóp và (I JK)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểm BC, SB; P thuộc AD sao cho 2PD = PA.
a. Chứng minh rằng MN // (SCD).
b. Tìm giao điểm SA và (MNP)
c. Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC ∩ BD)
d. Gọi G là trọng tâm ΔSAB. Chứng minh rằng GP // (SBD)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I lần lượt là trung điểm BC, AD, SD, SB.
a. Chứng minh rằng FO // (SBC).
b. Chứng minh rằng AI // (QEF).
c. Tìm giao điểm J của SC và (QEF). Chứng minh rằng (I JE) // (ABCD)
d. Tìm thiết diện hình chóp và (I JF). Thiết diện là hình gì?
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC; lấy điểm P thuộc SA.
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b. Tìm giao điểm SD và (MNP)
c. Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình gì?
d. Gọi J thuộc MN. Chứng minh rằng OJ // (SAD)
Dạng 11: VECTOR TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD, BC. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là trọng tâm của ΔBCD; G là điểm thỏa . Chứng minh A, G, E thẳng hàng. Tính GE/GA.
Bài 3. Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’. Chứng minh rằng hai tứ diện có cùng trọng tâm khi và chỉ khi 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD; lần lượt lấy M, N thuộc các đoạn AB, CD sao cho: MA = 2MB và ND = 2NC. Các điểm I, J, P lần lượt thuộc các đoạn AD, MN, BC sao cho IA/ID = JM/JN = PB/PC = k. Chứng minh ba điểm I, J, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng 
Bài 6. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’. Đặt . Gọi G’ là trọng tâm A’B’C’. Hãy phân tích theo 
Bài 7. Cho hình chóp SABC. Lấy M thuộc SA, N thuộc BC sao cho . Chứng minh rằng đồng phẳng.
Bài 8. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi K là giao điểm AD’ và DA’. I là giao điểm BD’ và DB’. Chứng minh đồng phẳng.
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Lấy M thuộc AD, N thuộc BC sao cho: . Chứng minh rằng đồng phẳng.
Bài 10. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’; lấy K thuộc đoạn B’C’ sao cho: KC’ = 2KB’. Chứng minh bốn điểm A, I, J, K đồng phẳng.
Dạng 12: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là ABC vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC)
a. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b. Kẻ đường cao AD của SAB và đường cao AE của SAC. Chứng minh ΔADE vuông và SC vuông góc với DE.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD).
a. Chứng minh rằng BC vuông góc với (SAB); CD vuông góc với (SAD)
b. Chứng minh rằng BD vuông góc với (SAC)
c. Kẻ AE vuông góc với SB. Chứng minh rằng SB vuông góc với (ADE)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD.
a. Chứng minh rằng SO vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC)
b. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng AB vuông góc với (SOI)
c. Kẻ đường cao OJ của SOI. Chứng minh rằng SA vuông góc với OJ
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA vuông góc với (ABCD) và SA = a√(3)
a. Chứng minh ΔSBC, ΔSCD là các tam giác vuông
b. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (SAD)
c. Vẽ AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. Chứng minh rằng AH vuông góc với (SBC); SC vuông góc với (AHK)
d. Chứng minh rằng BD vuông góc với (SAC). Tính góc giữa SD và (SAC).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Hai tam giác SAB và SAC vuông ở A, cho SA = a, AC = 2a√(3)
a. Chứng minh rằng SA vuông góc với (ABCD)
b. Chứng minh rằng BD vuông góc với SC
c. Vẽ AH là đường cao của SAO. Chứng minh rằng AH vuông góc với (SBD)
d. Tính góc giữa AO và (SBD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO vuông góc với (ABCD), SO = a√(3), AB = a√(2).
a. Chứng minh rằng BD vuông góc với SA; AC vuông góc với SB
b. Vẽ CI vuông góc với SD, OJ vuông góc với SC. Chứng minh rằng SD vuông góc với (ACI); SC vuông góc với (BDJ)
c. Gọi K là trung điểm SB. Chứng minh rằng OK vuông góc với OI.
d. Tính góc giữa SA và (ABCD)
Dạng 13: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD)
b. Gọi BE, DF là đường cao ΔSBD. Chứng minh (AEF) vuông góc với (SAC)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD)
a. Chứng minh các cặp mặt phẳng sau vuông góc nhau: (SAB) và (SAD); (SBC) và (SAB); (SCD) và (SAD)
b. Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (AI J)
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD)
Bài 3. Cho tứ diện ABCD, AD vuông góc với (ABC), DE là đường cao của ΔBCD
a. Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (ADE)
b. Vẽ đường cao BF và đường cao BK của ΔABC và ΔBCD. Chứng minh rằng (BFK) vuông góc với (BCD)
c. Gọi I, K lần lượt là trực tâm của ΔABC, ΔBCD. Chứng minh rằng IK vuông góc với (BCD).
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S.
a. Chứng minh rằng BC vuông góc với (SAB), CD vuông góc với (SI J), (SAB) vuông góc với (SI J)
b. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng (SIM) vuông góc với (SBD)
c. Cho SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a.
a. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD), (SIO) vuông góc với (SCD).
b. Gọi OJ là đường cao SOI. Chứng minh rằng OJ vuông góc với SB
c. Gọi BK là đường cao SBC. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (BDK)
d. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với (ABCD). Cho AB = a, AD = a√(2).
a. Chứng minh rằng SA vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (SCD)
b. Gọi AH là đường cao tam giác SAB. Chứng minh AH vuông góc với (SBC), (SBC) vuông góc với (AHC)
c. Chứng minh rằng DH vuông góc với SB
d. Tính góc giữa (SAC) và (SAD)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB) vuông góc với (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD).
a. Chứng minh rằng SA vuông góc với (ABCD), BD vuông góc với (SAC)
b. Gọi AH, AK là đường cao. Chứng minh rằng AH vuông góc với BD, AK vuông góc với (SCD)
c. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (AHK)
d. Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a)
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD), SA = a.
a. Chứng minh các mặt bên hình chóp đều là tam giác vuông
b. Chứng minh rằng BD vuông góc với SC
c. Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD)
d. Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). Tính diện tích hình chiếu của ΔSCD trên (ABCD)
Dạng 14: KHOẢNG CÁCH
Bài 1. Cho tứ diện SABC, ΔABC vuông cân tại B, AC = SA = 2a và SA vuông góc với (ABC)
a. Chứng minh rằng (SAB) vuông góc với (SBC)
b. Tính d(A, (SBC))
c. Gọi O là trung điểm AC. Tính d(O, (SBC))
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a; dựng BK vuông góc với SC.
a. Chứng minh rằng SC vuông góc với (DBK)
b. Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC))
c. Tính d(BD, SC); d(AD, BK)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đều, O là tâm hình vuông ABCD, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD.
a. Chứng minh rằng (SI J) vuông góc với (SAB)
b. Tính d(O, (SCD)); d(I, (SCD))
c. Tính d(SC, BD); d(AB, SD)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc A = 60°, đường cao SO = a.
a. Tính d(O, (SBC))
b. Tính d(AD, SB)
Dạng 15: DIỆN TÍCH – HÌNH CHIẾU
Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a, nằm trong mặt phẳng (α). Trên đường vuông góc với (α) tại B, C. Vẽ BD = a√(2) / 2, CE = a√(2) nằm cùng phía với mặt phẳng (α).
a. Chứng minh rằng tam giác ADE vuông.
b. Tính diện tích tam giác ADE.
c. Tìm góc giữa (ADE) và (α).
Bài 2. Cho tam giác ABC có B, C là hình chiếu của E, F lên (α) sao cho tam giác ABF là tam giác đều cạnh a, CF = a, BE = a/2.
a. Gọi I = BC ∩ EF. Chứng minh rằng AI vuông góc với AC
b. Tính diện tích tam giác ABC.
c. Tính góc giữa (ABC) và mặt phẳng (α).
Bài 3. Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC vuông góc với (α), đường cao a√(3). D là hình chiếu của A lên (α) sao cho tam giác DBC vuông tại D. Tìm góc giữa (ABC) và (α).
Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa ABC. Lấy D, E, F nằm cùng phía đối với mặt phẳng chứa ABC sao cho AD = a, BE = 2a, CF = x.
a. Tìm x để tam giác DEF vuông tại D.
b. Với x vừa tìm được ở câu trên, tìm góc giữa (ABC) và (DEF).