Bài tập đại số giải tích 11 chương IV

Nguyễn Anh Tuấn 1 
BÀI TẬP ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV 
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
a) 
3
3
2 3 1
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 b) 
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n

 
 c) 
3 2
3
3 2
lim
4
n n n
n
 

d) 
4 2
3 2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 e) 
2 1 2
lim
2 1
n n
n
 

 f) 
33
lim
2
n n
n


g) 
4
2
3 2
lim
2 3
n n
n n
 
 
 h) 
2 1 1
lim
3 2
n n
n
  

 i) 
( 1)(2 1)
lim
(3 2)( 3)
n n
n n
 
 
k) 3 2lim( 2 4)n n  l)  2lim 2 1n n  m)  2lim 3 2 3n n n   
Bài 2. Tính các giới hạn sau: 
a) 
1 3
lim
4 3
n
n


 b) 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


 c) 
1 24 6
lim
5 8
n n
n n
 

d) 
12 5
lim
1 5
n n
n


 e) 
1 2.3 7
lim
5 2.7
n n
n n
 

 f) 
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
n n
n n
 

g) 
4
lim
2.3 4
n
n n
 h) 
3 2.5
lim
7 3.5
n n
n


 i) 
6 8
lim
7 9.8 10
n n
n n

 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
a)  lim 3 1 2 1n n   b)  2lim 2n n n  c) 2 2
1
lim
2 4n n  
d)  2 2lim 1n n n  e)  3 2 3lim n n n  f) 
2 2
2
4 4 1
lim
3 1
n n n
n n
  
 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
1 2 3 4 ...
lim
n
n
    
 b) 
2
2 4 ... 2
lim
3 2
n n
n n
  
 
c) 
2 2 2
3
1 2 ...
lim
3 2
n
n n
  
 
 d) 
2
2
2 2 2
1 ...
3 3 3
lim
1 1 1
1 ...
5 5 5
n
n
     
                            
   
                  
e) 
 
1 1 1
lim ...
2.4 4.6 2 2 2n n
 
        
 f) 
 1 2 2
4
2.1 3.2 ... 1
lim
n n
n
   
g) 
2
2 5 3 1
lim ...
3 3 3n
n        
 h) 
 2
3
2 6 12 ...
lim
2 1
n n
n n
    
 
Bài 5: Tính các giới hạn sau (dùng nguyên lý giới hạn kẹp) 
a)
 
1
1 1
lim
2 3
n
n n
 
 
 
 
  
 b) 
  cosn1
lim
1
n
n


 c) 
3 sin 4 cos
lim
2 1
n n
n


 d) 
  11 2 cos
lim
5
n
n
n
n
Nguyễn Anh Tuấn 2 
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
1
1 1
lim
1x
x x
x
  

 b) 
2
1
3 1 2
lim
1 2x
x x
x
 

 c) 
41
2 1
lim
3x
x
x x

 
d) 
2
2
2 8
lim
3 2x
x x
x
 

 e) 
1
8 3
lim
2x
x
x
 

 f) 
2
31
3
lim
2x
x
x


g) 
5
3
4 3
lim
2 7x
x
x
      
 h) 
4
3
22
2 3 2
lim
2x
x x
x x
 
 
 i) 
3 2
2
3 4 3 2
lim
1x
x x
x
  

Bài 2. Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
22
6
lim
4x
x x
x
 

 b) 
2
24
16
lim
20x
x
x x

 
 c) 
3 2
21
1
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
d) 
2
22
3 10
lim
3 5 2x
x x
x x
 
 
 e) 
2
24
5 4
lim
9 20x
x x
x x
 
 
 f) 
3 2
22
3 2
lim
6x
x x x
x x
 
 
g) 
3 2
22
4 4
lim
6x
x x x
x x
 
 
 h) 
4
21
1
lim
2 3x
x
x x

 
 i) 
6 5
21
4 5
lim
( 1)x
x x x
x
 

Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
a) 
7
9 4
lim
7x
x
x
 

 b) 
25
4 3
lim
25x
x
x
 

 c) 
2
0
1 2 ( 1)
lim
x
x x x
x
   
d) 
3
3
lim
2 10 4x
x
x

 
 e) 
21
2 3 1
lim
3 2x
x x
x x
 
 
 f) 
23
3 2
lim
3x
x x
x x
 

g) 
2
2 2
2 5 2
lim
5 3x
x x
x
 
 
 h) 
2
1 2
8 9
lim
4 3 (2 3)x
x x
x x
 
  
 i) 
22
2 1 5 2
lim
3 10 3x
x x
x x
  
 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
a) 
3
0
1 1
lim
3x
x
x
 
 b) 
2
0 3
2
lim
1 1x
x x
x

 
 c) 
1
2 1
lim
1x
x x
x
 

d) 
0
5 5
lim
x
x x
x
  
 e) 
3 23
21
2 1
lim
1x
x x x
x
   

 f) 
33 2
21
3 2 4 2
lim
3 2x
x x x
x x
   
 
Bài 5. Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
2
1
lim
2 1x
x
x x

 
 b) 
22 1
lim
2x
x x
x
 

 c) 
2
3 2
2 1
lim
3 2x
x
x x

 
d) 
24 2 1 2
lim
3 2x
x x x
x
   

 e) 
2
2
2 3
lim
4 1 2x
x x x
x x
 
  
 f) 
3 23
33
8 5 1 4
lim
3 4 8x
x x x
x x
  
  
g) 
24 3 1 2
lim
2 3x
x x
x
  

 h) 
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2x
x x x
x x
   
  
 i) 
2
2
2 4 2
lim
9 1x
x x x
x x
   
 
Bài 6. Tính các giới hạn sau: 
a) 
4
3 5
lim
1 5x
x
x
 
 
 b) 
2
2
lim
4 1 3x
x x
x
 
 
 c) 
2
0 2
4 2
lim
9 3x
x
x
 
 
Nguyễn Anh Tuấn 3 
d) 
3
30 2
1 1
lim
8 2x
x
x
 
 
 e) 
31
1
lim
1x
x
x


 f) 
364
8
lim
4x
x
x


Bài 7. Tính các giới hạn sau: 
a) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
 b) 
3
0
3 4 8 5
lim
x
x x
x
  
 c) 
3
3
1 5
lim
3x
x x
x
  

d) 
23
1
7 5
lim
1x
x x
x
  

 e) 
3
22
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
 f) 
3 2
21
3 2 4 2
lim
3 2x
x x x
x x
   
 
g) 
3
22
6 6
lim
2x
x x
x x
  
 
 h) 
3
1
9 3
lim
1x
x x
x
  

 i) 
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
  
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Bài 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: 
a) 
neáu
neáu
2 4
2
( ) 2
4 2
x
x
f x x
x
    
 
 tại 2x  b) 
2 2 3
3
( ) 3
2 1 3
x x
x
f x x
x x
     
  
neáu
neáu
 tại 3x  
c) 
neáu
neáu
2 3
2
2 7 5
2
( ) 3 2
2 3 2
x x x
x
f x x x
x x
       
  
 tại 2x  
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: 
a) 
neáu
neáu2
5
5
( ) 2 1 3
( 5) 3 5
x
x
f x x
x x
  
      
 tại 5x  b) 
neáu
neáu
3 2
1
( ) 1
2 1 1
x
x
f x x
x x
       
 tại 1x  
Bài 3. Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) 
neáu
neáu
3 3 2
1
( ) 1
3 1
x x
x
f x x
x m x
     
  
 tại 1x  b) 
neáu
neáu
2
2
2
2
( ) 2
3 3 2
x x
x
f x x
m m x
     
   
tại 2x  
c) 
neáu
neáu
1
1
( ) 2 1
2 1 1
x
x
f x x
x m x
        
 tại 1x  d) 
neáu
neáu
4 7 1
2
( ) 2
2 3 2
x
x
f x x
mx x
       
 tại 2x  
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó: 
a) 
neáu
neáu
2 16
4
( ) 4
8 4
x
x
f x x
x
    
 
 b) 
neáu
neáu
3 8
2
( ) 4 8
2 7 2
x
x
f x x
x x
    
  
c) 
neáu
neáu
3 2
1
( ) 1
7 3 1
x x
x
f x x
x x
     
  
 d) 
neáu
neáu
1
1
2( )
1
1
x
xf x
x
x
   
 
Bài 5. Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó: 
Nguyễn Anh Tuấn 4 
a) 
neáu
neáu
3 3 2
1
( ) 1
3 1
x x
x
f x x
x m x
     
  
 b) 
neáu
neáu
2 2
2
( ) 2
2 3 2
x x
x
f x x
mx x
     
  
c) 
neáu
neáu
2 2
1
( ) 1
2 5 1
x x
x
f x x
x m x
     
  
 d) 
neáu
neáu
2 3 1
( )
2 3 1
x x x
f x
mx x
   
  
IV. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 
Bài 1. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 
5 3 3 0x x   b) 5 1 0x x   
c) 
4 3 23 1 0x x x x     d) 5 3 7 0x x   
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 
32 6 1 0x x   có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng ( 2; 2) . 
Bài 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất 3 nghiệm phân biệt: 
a) 
3 3 1 0x x   b) 3 26 9 1 0x x x    c) 5 5 1 0x x   
Bài 4. Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm 
a) 4 cos 3x x  b) 2sin 1x x  c) 3 sin 2 cos 2 3 1x x x  