Bài ôn Tập Vật lý 12: Chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

I.CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
x
Hình 1
 -A VTCB +A 
 O +
1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của 
chuyển động tròn đều:
Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A 
và tốc độ góc ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 
và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M 
và góc tạo với trục ngang 0x là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M 
xuống ox là OP có độ dài đại số . x = = Acos(wt + j) (hình 1)
Hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.
Hay x = Acos(ωt + φ)cm ; (t đo bằng s) , được biểu diễn bằng 
véctơ quay trên Vòng tròn Lượng Giác như sau:
-Vẽ một vòng tròn có bán kính bằng biên độ:R = A
-Trục Ox nằm ngang làm gốc. 
-Xác định pha ban đầu trên vòng tròn (vị trí xuất phát).
Quy ước : Chiều dương từ trái sang phải.
- Chiều quay là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
- Khi vật chuyển động ở trên trục Ox : theo chiều âm.
- Khi vật chuyển động ở dưới trục Ox : theo chiều dương.
- Có bốn vị trí đặc biệt trên vòng tròn: 
I : vị trí biên dương xmax = +A ® φ = 0 ; (đây là vị trí mốc lấy góc φ)
II : vị trí cân bằng theo chiều âm ® φ = + π/2 hoặc φ = – 3π/2
III : vị trí biên âm xmax = - A ® φ = ± π
IV : vị trí cân bằng theo chiều dương ® φ = – π/2 hoặc φ = +3π/2
II
Hình 2
III
I
O
IV
x
a
A/2
30
M1
III
I
M0
O
x
A/2
30
M1
Hình 3
M0
III
I
II
O
IV
x
a
A/2
30
III
I
II
o
IV
x
A
30
M1
I
- Chiều dài quỹ đạo của dao động điều hòa: l= 2A.
2.Quãng đường đi được trong khoảng thời gian (t2 – t1) của chất điểm dao động điều hoà:
- Quãng đường vật đi được trong 1 chu kỳ dao động( t2 – t1 =T) là: S = 4A.
- Quãng đường vật đi được trong 1/2 chu kỳ dao động ( t2 – t1 =T/2) là: S = 2A.
 a.Khi vật xuất phát từ vị trí đặc biệt: Ta chỉ xét khoảng thời gian( t2 – t1 =Dt < T/2).
 Vật xuất phát từ VTCB:(x=0) 
+ khi vật đi từ: x = 0 thì : Quãng đường đi được là: S = A/2 ( hình 2)
+ khi vật đi từ: x=0 thì : Quãng đường đi được là: S = 
+ khi vật đi từ: x=0 thì : Quãng đường đi được là: S = 
+ khi vật đi từ: x=0 thì : Quãng đường đi được là: S = A
 Vật xuất phát từ vị trí biên:()
+ khi vật đi từ: x= ±Athì : Quãng đường đi được là : S = A - ( hình 3)
+ khi vật đi từ: x= ±A thì : Quãng đường đi được là : S = A- 
+ khi vật đi từ: x = ±A thì : Quãng đường đi được là : S = A/2 
+ khi vật đi từ: x= ±A x= 0 thì : Quãng đường đi được là : S = A
]
Hình 5
Vòng tròn lượng giác 
b. Khi vật xuất phát từ vị trí bất kỳ! Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2. 
PPG: Phân tích: t2 – t1 = nT + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T) 
 + Quãng đường đi được trong thời gian nT là S1 = 4nA, trong thời gian Dt là S2. 
 + Quãng đường tổng cộng là: S = S1 + S2 . Tính S2 như sau:( Nếu )
 Xác định: (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
* Nếu v1v2 ≥ 0 Þ 
* Nếu v1v2 < 0 Þ 
Lưu ý:+ Nếu t2 – t1 = nT/2 với n là một số tự nhiên thì quãng đường đi được là S = n.2A.
 + Tính S2 bằng cách xác định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
 + Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều có thể giải bài toán đơn giản hơn.
Mô tả tính S2: Dựa vào hình chiếu của chuyển động tròn đều.Tính x1 = Acos(wt1+ j); x2 = Acos(wt2+j). 
S2 = x2 – x1
1
2
S2 = x2 – x1
2
1
2
1
2
S2 = x1 – x2
1
1
S2 = x1 – x2
1
2
2
Xác định vị trí điểm M trên đường tròn ở thời điểm t1 và t2.Tìm S2 như các hình 5 sau đây: (Dt = t2 – t1 )
S2 = x1 + 4A – x2
1
1
2
2
S2 = x1 + 4A – x2
1
2
2
S2 = -x1 + 4A + x2
1
1
2
S2 = x1 + 2A + x2
S2 = -x1 + 4A + x2
2
2
1
1
2
2
1
S2 = 2A -x1 - x2
1
1
2
S2 = x1 + 2A + x2
2
S2 = + 2A - x1 - x2
1
1
2
S2 = x1 + 2A + x2
1
1
2
2
Hình 6: (Chú thích: Các Hình vẽ này copy từ trên mạng)
Nhận xét: Khi vật xuất phát từ VTCB hoặc vị trí biên (tức là j = 0; p; ±p/2) thì 
 +Quãng đường đi được từ thời điểm t1= 0 đến thời điểm t2 = T/4 là : S=A
 +Quãng đường đi được từ thời điểm t1= 0 đến thời điểm t2 = nT/4 là: S= nA
 +Quãng đường đi được từ t1 = 0 đến t2 = nT/4 + Dt (với 0 < Dt < T/4) là: S = nA +½x(nT/4 + Dt) - x(nT/4)½
Hình 7
3. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2:
 với và () (Hình 7) 
4. Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất đi được trong t2 – t1 =Dt (0 < Dt < T/2).
 -Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB.Vật có vận tốc nhỏ nhất khi qua vị trí biên.
 ® Trong cùng một khoảng thời gian: 
 +Quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB 
A
-A
M
M
1
2
O
P
x
P
2
1
P
Hình 8
 +Quãng đường đi được càng nhỏ khi vật càng gần vị trí biên.
 -Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều: 
 Góc quét: Dj = wDt. 
 -Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 8):
=> Trong DĐĐH ta có:	
 -Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 9)
=> Trong DĐĐH ta có:	
x
O
2
1
M
M
-A
A
P
Hình 9
 Lưu ý: +Nếu Dt > T/2 -> Tách ()
 +Trong thời gian quãng đường luôn là 2nA
 +Trong thời gian Dt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. 
5.Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2: 
 + với S là quãng đường tính như trên.
 +Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian Dt: 
 và với SMax; SMin tính như trên.
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1 : Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
1.Phương pháp 1:Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 :t2 – t1 = nT + Dt 
Bước 1: Xác định : (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
Bước 2: Phân tích : t2 – t1 = nT + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T) . (Nếu )
Quãng đường đi được trong thời gian nT là: S1 = 4nA, trong thời gian Dt là S2.
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 : 
Cách tính S2:	(Xem hình 6)	
* Nếu v1v2 ≥ 0 Þ * Nếu v1v2 < 0 Þ 
Lưu ý: + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
	+ Có thể dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và Chuyển động tròn đều giải bài toán sẽ đơn giản hơn.
 + Trong nhiều bài tập có thể người ta dùng kí hiệu: Dt = t2 – t1 = nT + Dt’ 
2.Phương pháp 2: Xác định Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2: t2 – t1 = nT + T/2 + t0 
Bước 1: - Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2:
 (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
Bước 2: - Phân tích: Δt = t2 – t1 = nT + T/2 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/2)
-Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = S1 + S2
-Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2 là: S1 = n.4A+ 2A 
-Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (0 ≤ t0 < T/2)
+ Xác định li độ và dấu của vận tốc tại thời điểm: t1 + nT + T/2
+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2
+ Nếu ( và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì : S2 = |x2 - |
+ Nếu (và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :
 > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - - x2
 0 : S2 = 2A + + x2
3.Các Ví dụ: 
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình. Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 1,1s đầu tiên.
Giải 1: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động. Ta thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.?
Ta có :=>  
Tại t = 0 :  => và có chu kỳ : 
Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x0 = 1cm theo chiều dương. 
Phân tích:. -> Quãng đườngđi được trong thời gian: nT + T/2 là: 
S1 = n.4A+ 2A => Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình. Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
Giải cách 1: Ta có :  ; Dt = 2,25s = T + 0,25(s) 
Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm.
- Tại thời điểm t = 2s :   =>  
- Tại thời điểm t = 2,25s :  =>  
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối là  .Vậy quãng đường vật đi được trong 2,25s là: S = S1 +S2 
Giải cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s).
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn (bán kính A = 4cm) là: =>Độ dài hình chiếu là quãng đường đi được: 
Từ đó ta tìm được quãng đường mà vật đi được là: S = S1 +S2  
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình: x = 12cos(50t - π/2)cm. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = π/12(s), kể từ thời điểm gốc là (t = 0):
A. 6cm.	B. 90cm.	C. 102cm.	D. 54cm.
Giải Cách 1: Chu kì dao động : T = = = s 
tại t = 0 : Þ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương
- tại thời điểm t = π/12(s) : Vật đi qua vị trí có x = 6cm theo chiều dương.
- Số chu kì dao động : N = == = 2 + ÞThời gian vật dao động là: t = 2T + = 2T +s. 
 - Quãng đường tổng cộng vật đi được là : St = SnT + SΔt Với : S2T = 4A.2 = 4.12.2 = 96m.	
Hình 10
 Vì Þ SΔt = = 6 - 0 = 6cm
- Vậy : St = SnT + SΔt = 96 + 6 = 102cm.	Chọn : C.
Giải Cách 2: Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH
 tại t = 0 : Þ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương 
 Số chu kì dao động : N = = = = 2 + 
	Þ t = 2T + = 2T + s. Với : T = = = s 
 Góc quay được trong khoảng thời gian t : α = wt = w(2T + ) = 2π.2 + (hình 10)
 Vậy vật quay được 2 vòng +góc π/6 Þ quãng đường vật đi được là : St = 4A.2 + A/2 = 102cm. 
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos (2πt – π/3)cm. Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian t1 = 1,5 s đến t2 =13/3 s	
A. (50 + )cm B.53cm 	C.46cm 	D. 66cm
Phương pháp GIẢI BÀI NÀY :
* Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2.
- Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2:
 (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
- Phân tích: Δt = t2 – t1 = nT + T/2 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/2)
 -Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = S1 + S2
- Quãng đường S1 là quãng đường đi được trong thời gian: nT + T/2 
 S1 = n.4A+ 2A 
- Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 (0 ≤ t0 < T/2)
+ Xác định li độ và dấu của vận tốc tại thời điểm: t1 + nT + T/2
+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2
+ Nếu ( và v2 cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì : S2 = |x2 - |
+ Nếu (và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :
 > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - - x2
 0 : S2 = 2A + + x2
Hướng dẫn giải : T= 1s 
- Phân tích: Δt = t2 – t1 =13/3s -1,5s = 8.5/3 s = 2T + T/2 + 1/3 s 
 Quãng đường đi được trong khoảng thời gian Δt là: S = S1 + S2
- Quãng đường S1 : S1 = 2.4A +2A = 60cm
- Quãng đường S2 là quãng đường đi được trong thời gian t0 = 1/3 s
+ Xác định li độ và dấu của vận tốc tại thời điểm: t1 + 2T +T/2 = 4s
 Tại t = 4s 
+ Xác định li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2 =13/3s
 Tại t2 = 13/3s: 
Vì (và v2 trái dấu – vật đổi chiều chuyển động) thì :
và > 0, v2 < 0 : S2 = 2A - - x2 =2.6 -3-3=6cm
 -Vậy Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 8,5/3s: S = S1+ S2= 60+6=66(cm)
M
N
X
O
A
X2
x1
-A
Hình 11
A/2
-A/2
3
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20cm. Sau 1/12s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 10cm mà chưa đổi chiều chuyển động vật đến vị trí có li độ 5cm theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là:
Giải: Biên dộ A = 10cm. Như bài 4 ở trên ta suy ra:
Vật đi từ -A/2 đến A/ 2 ( hình vẽ 9B) 
Ứng với thời gian vật từ N đến M với góc quay Dj= p/3
Hay thời gian đi là T/6 = 1/12 Suy ra T=1/2( s ) , f= 2Hz 
Suy ra w=2pf =4p ( rad/s). Vật theo chiều dương nên:
góc pha ban đầu dễ thấy là j= - (NO3 + 3Ox) = - (p/6 +p/2)= -2p/3
Vậy phương trình dao động: x = 10 cos(4pt -2p/3) (cm)
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 1/10(s) đến t2 = 6(s) là: 
A. 84,4cm B. 333,8cm C. 331,4 cm D. 337,5cm
Giải cách 1: chu kỳ: 
Thời gian đi: t2 -t1 = 6- 1/10= 5,9(s) 
Ta có: Hay :
Quãng đường đi trong 14T là : S1 =14.4A =56.4=224cm
Quãng đường đi trong 0,75T là : S2 =3A =3.4=12cm
(vì pha ban đầu là -3p/4 nên vậy xuất phát từ vị trí cân bằng theo chiều âm)
Quãng đường đi trong 14T+ 0,75T là : S =S1 +S2 =236cm
Vậy: S =S1 +S2 =236=333,7544cm » 333,8cm . chọn B 
Giải cách 2: Dùng tích phân: Máy tinh Fx570ES.( File kèm sau nhé) 
4.Tìm quãng đường đi được của vật dao động điều hòa.( Tham khảo)
a.Vấn đề: Chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục Ox với li độ có dạng x = Acos(wt + j). Tìm quãng đường mà vật đi được từ thời điểm t = t1 đến thời điểm t = t2.
b.Kiến thức: 
-Bất kể vật xuất phát từ đâu, quãng đường vật đi sau nửa chu kì luôn luôn là 2A
-Nếu vật xuất phát từ vị trí cân bằng (x(t1) = 0) hoặc từ vị trí biên (x(t1) = ± A) thì quãng đường vật đi sau T/4 là A.
 Trong khoảng thời gian Dt (với 0 < Dt < 0,5T), quãng đi được tối đa Smax và tối thiểu Smin? 
 Độ lệch cực đại: DS = (Smax - Smin)/2 » 0,4A?
c.Phương pháp giải quyết Vấn đề: 
-Quãng đường đi được ‘trung bình’: . Quãng đường đi được thỏa mãn: .
-Căn cứ vào: 
d Tập hợp, cấu trúc kiến thức: Vận dụng giải các bài toán : 
Các ví dụ hướng dẫn.
Câu 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 1,25cos(2pt - p/12) (cm) (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được sau thời gian t = 2,5 s kể từ lúc bắt đầu dao động là
A. 7,9 cm.
B. 22,5 cm.
C. 7,5 cm.
D. 12,5 cm.
Câu 2: Một vật nhỏ dao động điều hòa dọc theo trục 0x (0 là vị trí cân bằng) có phương trình dao động x = 3.cos(3pt) (cm) (t tính bằng giây) thì đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm 3 s là
A. 24 cm.
B. 54 cm.
C. 36 cm.
D. 12 cm.
Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x = 4cos(4pt - p/2) (cm). Trong 1,125 s đầu tiên vật đã đi được một quãng đường là:
A. 32 cm.
B. 36 cm.
C. 48 cm.
D. 24 cm.
Câu 4: Một con lắc lò xo dao động với phương trình: x = 4cos4pt cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được trong thời gian 2,875 (s) kể từ lúc t = 0 là: 
A. 16 cm.
B. 32 cm.
C. 64 cm.
D. 92 cm.
Câu 5: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox (O là vị trí cân bằng) có phương trình: x = 5.sin(2pt + p/6) cm (t đo bằng giây). Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 1 (s) đến thời điểm t = 13/6 (s).
A. 32,5 cm
B. 5 cm
C. 22,5 cm
D. 17,5 cm
Câu 6: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 6cos(4pt - p/3) cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = 8/3 (s) là 
A. 134,5 cm.
B. 126 cm.
C. 69 cm.
D. 21 cm.
5.Trắc nghiệm vận dụng :
Câu 1. Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao động T, ở thời điểm ban đầu t = 0 vật đang ở vị trí cân bằng hoặc vị trí biên. Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = T/4 là
A. A/2	B. 2A	C. A	D. A/4
Câu 2. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình : x = 6cos(20t + π/3)cm. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = 13π/60(s), kể từ khi bắt đầu dao động là : 
A. 6cm.	B 90cm.	C102cm.	D. 54cm.
Câu 3. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x với phương trình x = 6.cos(20t - p/3) cm (t đo bằng giây). Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 0,7π/6 (s) là 
A. 9cm	 B. 15cm	 C. 6cm	 D. 27cm
Câu 4. Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng 40 N/m và vật có khối lượng 100 g, dao động điều hoà với biên độ 5 cm. Chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng. Quãng đường vật đi được trong 0,175π (s) đầu tiên là 
A. 5 cm	B. 35 cm	C. 30 cm	D. 25 cm
Câu 5. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(8pt + p/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 1,5 (s) là 
A. 15 cm	B. 135 cm	C. 120 cm	D. 16 cm
Câu 6. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 3cos(4pt - p/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 2/3 (s) là 
A. 15 cm	B. 13,5 cm	C. 21 cm	D. 16,5 cm
Câu 7. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(pt +2p/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 19/3 (s) là: 
A. 42.5 cm	B. 35 cm	C. 22,5 cm	D. 45 cm
Câu 8. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(pt + 2p/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 17/3 (s) là: 
A. 25 cm	B. 35 cm	C. 30 cm	D. 45cm
Câu 9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(pt + 2p/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 2 (s) đến thời điểm t2 = 29/6 (s) là: 
A. 25 cm	B. 35 cm	C. 27,5 cm	D. 45 cm
Câu 10. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 7cos(5pt + p/9) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 = 2,16 (s) đến thời điểm t2 = 3,56 (s) là: 
A. 56 cm	B. 98 cm	C. 49 cm	D. 112 cm
Câu 11. Vật dao động điều hòa theo phương trình: . Vận tốc cực đại của vật là vmax = 8p cm/s và gia tốc cực đại amax = 16p2 cm/s2. Trong thời gian một chu kỳ dao động, vật đi được quãng đường là:
A. 20cm; B. 16cm; C. 12cm;	 D. 8cm.
Câu 12. Một con lắc lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm và chu kì 1s. Tại t = 0, vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ. Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc là:
A. 48cm B. 50cm	 C. 55,76cm D. 42cm
Dạng 2 : Xác định thời điểm- số lần vật đi qua một vị trí xác định 
I.Để xác định thời điểm một vật dao động điều hoà đi qua một điểm đã cho x hoặc v, a, F, Wđ, Wt.
1.Phương pháp : Phương trình dao động có dạng: x = Acos(wt + φ) cm
 Phương trình vận tốc: v = –Awsin(wt + φ) cm/s
Tính số chu kỳ dao động từ thời điểm t1 đến t2 : N = = n + với T = 
Trong một chu kỳ : 	+ vật đi được quãng đường 4A 
	+ Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần
 * Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: ST = n.4A
	 + Số lần vật đi qua x0 là MT = 2n
 * Nếu m ¹ 0 thì : + Khi t = t1 ta tính x1 = Acos(wt1 + φ)cm và v1 dương hay âm (không tính v1)
	 + Khi t = t2 ta tính x2 = Acos(wt2 + φ)cm và v2 dương hay âm (không tính v2)
Sau đó vẽ hình của vật trong phần lẽ chu kỳ rồi dựa vào hình vẽ để tính Slẽ và số lần Mlẽ vật đi qua x0 tương ứng.
 Khi đó:	+ Quãng đường vật đi được là: S = ST +Slẽ 
	+ Số lần vật đi qua x0 là: M= MT + Mlẽ
 II.Xác định Số lần vật đi qua vị trí cho trước xo trong khoảng thời gian Dt= t1 đến t2 
1.Phương pháp 1: Phương trình dao động có dạng: x = Acos(wt + φ) cm
Bước 1: -Xác định vị trí của vật tại thời điểm t1 là x1 và tại thời điểm t2 là x2 
O
x
M1
M2
A
-A
x0
Hình 12
x2
x1
.
 và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t1 và t2: (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
Bước 2: -Phân tích: Δt = t2 – t1 = nT + Dt0 (n ЄN; 0 ≤ Dt0 < T)
Bước 3: -Từ hình vẽ ta xác định được trong khoảng thời gian Dt0 vật
 chuyển động từ M1 -> M2 qua vị trí x0 no lần.
Suy ra số lần vật đi qua vị trí x0 trong khoảng thời gian từ t1 là t2 là N= 2n+ n0. 
Phương pháp 2: 
 Xác định trong khoảng thời gian Δt vật qua một vị trí cho trước bao nhiêu lần.
 + Biểu diễn trên vòng tròn , xác định vị trí xuất phát.
 + Xác định góc quét Δφ = Δt.ω
 + Phân tích góc quét Δφ = n1.2π + n2.π + Δφ’ ; n1 và n2 : số nguyên ; ví dụ : Δφ = 9π = 4.2π + π
 + Biểu diễn và đếm trên vòng tròn.
- Khi vật quét một góc Δφ = 2π (một chu kỳ thì qua một vị trí bất kỳ 2 lần , một lần theo chiều dương , một lần theo chiều âm )
M
N
N’
M’
CÁCH NHỚ NHANH SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU CỦA 2 VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA KHÔNG CÙNG BIÊN ĐỘ VÀ CÓ CÙNG TÂN SỐ GÓC
a.CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
Hai vật phải cùng vị trí cân bằng, biểu diễn bằng hai đường tròn đồng tâm như hình vẽ.
Khi gặp nhau thì hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau. 
Phần chứng minh dưới đây sẽ cho thấy:
Chúng gặp nhau hai lần liên tiếp cách nhau T/2
Giả sử lần gặp nhau ban đầu hai chất điểm ở vị trí M, N .
Do chúng chuyển động ngược chiều nhau, nên có thể giả sử M chuyển động ngược 
chiều kim đồng hồ còn N chuyển động thuận chiều kim đồng hồ.
Nhận xét: 
-Lúc đầu MN ở bên phải và vuông góc với trục hoành ( hình chiếu của chúng trên trục hoành trùng nhau)
-Do M,N chuyển động ngược chiều nhau nên chúng gặp nhau ở bên trái đường tròn
-Khi gặp nhau tại vị trí mới M’ và N’ thì M’N’ vẫn phải vuông góc với trục hoành
-Nhận thấy tam giác OMN và OM’N bằng nhau, và chúng hoàn toàn đối xứng qua trục tung
-Vậy thời gian để chúng gặp nhau lần 1 là T/2, 
b.CÔNG THỨC TÍNH SỐ LẦN HAI VẬT GẶP NHAU:
Từ cơ sở lí thuyết trên,ta hoàn toàn tính được tổng quát số lần gặp nhau:
Gọi thời gian đề bài cho là t, T/2= i. Số lần chúng gặp nhau sau thời gian t:
 bằng phần nguyên của t chia nửa chu kì.
Chú ý: Xem lúc t=0 chúng có cùng vị trí hay không, nếu cùng vị trí và tính cả lần đó thì số lần sẽ là n+1
c.VÍ DỤ:
 M
 300
Hình 13
 -6 0 +6
Cho 2 vËt dao ®éng theo 2 ph­¬ng tr×nh x1 = 3 cos (5- ) cm vµ x1 = cos (5- ) cm . Trong 1s kÓ tõ t = 0,2s vËt gÆp nhau mÊy lÇn? 
Giải: Chu kì T=0,4s, T/2=0,2s. Sau t= 1s :
Ban đầu hai vật ở cùng vị trí x=3/2cm ; Số lần gặp nhau kể từ đó: n =1/0,2=5
Vậy nếu không kể tại vị trí t=0 thì có 5 lần, nếu kể cả t=0 thì có 6 lần
2.CácVí dụ : 
Ví dụ 1: Vật d.đ.đ.d với phương trình : x = 6cos(5πt + π/6)cm (1)
a.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trí x = 3cm mấy lần.
b.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương mấy lần.
-6 0 3 +6
 M
 P
 Q
 N
 300
Hình 14
c.Trong khoảng thời gian 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương mấy lần.
d.Trong khoảng thời gian 2s vật qua vị trí cân bằng mấy lần.
Giải:
Trước tiên ta biểu diễn pt (1) trên vòng tròn, với φ = π/6(rad)
-Vật xuất phát từ M , theo chiều âm. (Hình 13 )
a.Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s 
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2 
Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 14)
-6 0 +4 +6
 M
 N
Hình 15
- trong một chu kỳ vật qua x = 3cm được 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương ) 
- trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua x = 3cm được 6.2 = 12 lần
- còn lại Δφ2 = π/2 từ M →N vật qua x = 3cm một lần tại P(chiều âm ) 
 Vậy: Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua x = 3cm được 13 lần
b.Trong khoảng thời gian Δt = 2 s 
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π 
-6 0 +6
 M
 N
 P
Hình 16
Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)
Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 15)
- trong một chu kỳ vật qua vị trí x = +4cm theo chiều dương được một lần , tại N
Vậy : trong 5 chu kỳ thì vật qua vị trí x = 4cm theo chiều dương được 5 lần
c.Trong khoảng thời gian Δt = 2,5s 
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2 
Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 16)
- Trong một chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần tại N.
- Trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần tại N.
- Còn lại Δφ2 = π/2 từ M →P vật qua không qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần nào.
Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2,5s vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương 6 lần.
-6 0 +6
 M
Hình 17
 P
 Q
d.Trong khoảng thời gian Δt = 2s 
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π 
 Vật thực hiện được 5 chu kỳ (quay được 5 vòng)
 Từ vòng tròn ta thấy: (Hình 17)
- Trong một chu kỳ vật qua vị trí vị trí cân bằng 2 lần tại P(chiều âm ) và Q(chiều dương ) . 
- Vậy trong khoảng thời gian Δt = 2s vật qua vị trí vị trí cân bằng 10 lần . 
O
x
M1
M2
A
-A
M0
Hình 18
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2pt) cm. Thời điểm thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng là:
A) 	B) 	C) 	D) 
Giải Cách 1: Vật qua VTCB: x = 0 Þ 2pt = p/2 + kp Þ 
 Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 Þ t = 1/4 (s)
Giải Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M1 hoặc M2.(Hình 18)
Vì j = 0, vật xuất phát từ M0 nên thời điểm thứ nhất vật qua VTCB ứng với vật qua M1.
Khi đó bán kính quét góc Dj = p/2 Þ 
O
x
M1
M2
A
-A
M0
Hình 19
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4pt + ) cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương.
A) 9/8 s	 B) 11/8 s	C) 5/8 s	 D) 1,5 s
Giải Cách 1: Ta có 
Þ . 	Thời điểm thứ 3 ứng với k = 3 Þ 
Giải Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.Vật qua x = 2 theo chiều dương là qua M2.Qua M2 lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng (qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M0 đến M2.(Hình 19)
Góc quét Dj = 2.2p + Þ 
O
x
M1
M2
A
-A
M0
Hình 20
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4pt +)cm. Thời điểm thứ 2013 vật qua vị trí x=2cm.
A) 	B) 	C) 	D) Đáp án khác
Giải Cách 1:
Vật qua lần thứ 2013(lẻ) ứng với nghiệm trên 
Þ -> Đáp án A
Giải Cách 2: Vật qua x =2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là 2 lần.
 Qua lần thứ 2013 thì phải quay 1006 vòng rồi đi từ M0 đến M1.(Hình 20)
 Góc quét Đáp án A
Hình 21
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà với x=8cos(2pt-) cm. Thời điểm thứ 2012 vật qua vị trí có v= -8p cm/s.
A) 1005,5s 	B)1005s	C)2012 s	D) 1005,5s
Bài gỉai: Cách 1: Ta có v = -16psin(2pt-) = -8p
Thời điểm thứ 2012 ứng với nghiệm dưới 
Cách 2: Ta có .Vì v < 0 nên vật qua M1 và M2; Qua lần thứ 2012 thì phải quay 1005 vòng rồi đi từ M0 đến M2. Góc quét Dj = 1005.2p + p Þ t = 1005,5 s . (Hình 21)
Hình 22
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2pt-) cm. Thời điểm thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng.
A) 	 B) 	C) 	 D) 1,5s
Giải Cách 1:Wđ = Wt Þ 
Thời điểm thứ nhất ứng với k = -1 Þ t = 1/24 s
Giải Cách 2: Wđ = Wt Þ Þ có 4 vị trí M1, M2, M3, M4 trên đường tròn.
Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí Wđ = Wt ứng với vật đi từ M0 đến M4 .(Hình 22)
Góc quét:
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(pt-) cm. 
Hình 23
Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng.?
Giải Cách 1: Wđ = 3Wt Þ 
Qua lần thứ 2010 ứng với nghiệm dưới k = 1005 Þ s
Giải Cách 2: Wđ = 3Wt Þ Þ có 4 vị trí trên đường tròn M1, M2, M3, M4.
Qua lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng (mỗi vòng qua 4 lần) rồi đi từ M0 đến M2. .(Hình 23)
Góc quét . =>
3.Trắc nghiệm:
Câu 1: Cho một vật dao động điều hòa có phương trình chuyển động (cm). Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên vào thời điểm 
A. s. 	 B. s. 	C. s. 	 D. s.	
Câu 2: Một vật dao động điều hoà với ly độ trong đó t tính bằng (s) .Vào thời điểm nào sau đây vật đi qua vị trí x = 2cm theo chiều dương của trục toạ độ
A. t = 1s. 	 B. t = 2s. 	 C. t = s. D. t = s.
Câu 3: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2t +)cm thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ 3 là
A.s.	 B.s. 	C.1s. 	D.s. 
Câu 4: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí x = 4 lần thứ 2 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động.
A. 2/30s. 	 B. 7/30s.	C. 3/30s.	D. 4/30s.
Câu 5: Một vật dao động điều hòa với phương trình thời gian ngắn nhất từ lúc vật bắt đầu dao động đến lúc vật qua vị trí có li độ lần thứ 3 theo chiều dương là 
A. 7s.	 	 B. 9s.	 	C. 11s.	 	 D.12s.
Câu 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4pt + π/6) cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương.
A. 9/8 s	 B. 11/8 s	 C. 5/8 s	 D.1,5 s
Câu 7: Vật dao động điều hòa có ptrình : x = 5cosπt (cm).Vật qua VTCB lần thứ 3 vào thời điểm :
A. 2,5s.	 B. 2s.	 	 C. 6s.	D. 2,4s
Câu 8: Vật dao động điều hòa có phương trình: x = 4cos(2πt - π) (cm, s). Vật đến vị trí biên dương lần thứ 5 vào thời điểm 
A. 4,5s. 	 B. 2,5s.	 C. 2s. 	D. 0,5s.
Câu 9: Một vật dao động điều hòa có phương trình : x = 6cos(πt - π/2) (cm, s). Thời gian vật đi từ VTCB đến lúc qua điểm có x = 3cm lần thứ 5 là 
A. 61/6s. 	 B. 9/5s. 	C. 25/6s. 	D. 37/6s.
Câu 10: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt(cm). Thời điểm vật đi qua vị trí x = 4(cm) lần thứ 2008 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động là :
A. (s).	 B. (s)	C. (s)	D. (s)
Câu 11: Một vật dao động với phương trình cm. Khoảng thời gian kể từ thời điểm t = 0 đến thời điểm vật có li độ x = 5 cm lần thứ 5 bằng
A. 2,04 s.	B. 2,14 s.	C. 4,04 s.	D. 0,71 s.
Giải: T= 1s . Vật qua vị trí x= 5 cm 5 lần ứng 2 vòng tròn( 2.2p) và 1/24 vòng ( 150) :
 Từ vòng tròn lượng gíac suy ra: t = 2T + T/24 = 2.1 +1/24=2,04s
Dạng : Xác định số lần vật đi qua vị trí có li độ x0 bất kì
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hoà có vận tốc bằng không tại hai thời điểm liên tiếp là t1=2,2 (s) và t2= 2,9(s). Tính từ thời điểm ban đầu ( t1 = 0 s) đến thời điểm t2 chất điểm đã đi qua vị trí cân bằng
A. 4 lần.	B. 6 lần . 	C. 5 lần . 	D. 3 lần .
Câu 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 2cos(2t - /2) cm. Sau thời gian 7/6 s kể từ thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí x = 1cm
A. 2 lần 	B. 3 lần 	C. 4lần 	D. 5lần
Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3 cos (5πt + π/6)(x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = + 1 cm
A. 7 lần. 	B. 6 lần. 	C. 4 lần. 	D. 5 lần.
Câu 4: Một vật dao động theo phương trình x = 2cos(5pt + p/6) + 1 (cm). Trong giây đầu tiên kể từ lúc vật bắt đầu dao động vật đi qua vị trí có li độ x = 2cm theo chiều dương được mấy lần?
 A. 2 lần	 B. 4 lần	 C. 3 lần	 D. 5 lần
Câu 5: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1cm
	 A. 7 lần. B. 6 lần. C. 4 lần. 	D. 5 lần.
Dạng : Xác định vị trí của vật tại thời điểm khi biết li độ của vật tại thời điểm t
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình: cm và đang chuyển đông theo chiều âm. Vào thời điểm tvật có li độ x = cm. Vào thời điểm t + 0,25s vật đang ở vị trí có li độ
A. -2cm.	B. 2cm.	C. .	D. -.
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình: cm và đang chuyển đông theo chiều dương. Vào thời điểm tvật có li độ x =cm. Vào thời điểm trước đó 0,25s vật đang ở vị trí có li độ
A. 2cm.	B. -cm.	C. -cm.	D. cm.
Câu 3: Một con lắc lò xo dao động với phương trình cm. Tại thời điểm t vật có vận tốc và li độ của vật đang giảm. Vào thời điểm 0,125s sau đó vận tốc của vật là
A. 0cm/s.	 B. -cm/s.	C. cm/s.	D. - cm/s.
Câu 4: Một con lắc lò xo có m = 100g, lò xo có độ cứng k = 100N/m. Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang vớ