Bài ôn tập môn Toán học lớp 9 - Chuyên đề 1: Các phép tính về căn thức

CHUYấN ĐỀ 1: CÁC PHẫP TÍNH VỀ CĂN THỨC
Dạng 1: Tỡm điều kiện để căn thức xỏc định ( cú nghĩa)
Kiến thức ghi nhớ: xỏc định (hay cú nghĩa) khi A ≥ 0 (GV nờn nhấn mạnh chổ này vỡ một số HS hay nhầm khi viết ≥ 0)
Vớ dụ 1: Tỡm điều kiện để cỏc căn thức sau cú nghĩa:
a, b,
Vớ dụ 2: Với giỏ trị nào của x thỡ cỏc căn thức sau xỏc định:
a, b,
 ( GV nhấn mạnh HS: Phõn thức trong căn cú tử và mẫu cựng dấu nhưng mẫu phải khỏc 0)
Vớ dụ 3: Tỡm điều kiện của x để biểu thức sau cú nghĩa:
 ( Nhấn mạnh HS cỏch kết hợp điều kiện )
Vớ dụ 4 : ( Dành cho HS khỏ giỏi) Tỡm điều kiện để cỏc căn thức sau xỏc định
a, b,
Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức 
VD1: Tớnh: 
( Nhấn mạnh HS khi mở | a – b| nếu a < b thỡ | a – b | = b – a. Đổi chổ hai số )
VD2: Tớnh: a,
	b, với a ≥ 1
VD: Rỳt gọn: với x > 0, x ≠ 1
Dạng 3: Sử dụng cỏc phộp khai phương, nhõn chia căn bậc hai:
Vớ dụ: a,
 b, 
Dạng 4: Sử dụng cỏc phộp biến đổi căn bậc hai
1, Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
 với b>0
Vớ dụ 1: Rỳt gọn: a,
	 b,
Vớ dụ 2: Rỳt gọn: 
2, Khử mẫu
VD: a,; b,; c, ( a > 0)
3, Trục căn thức ở mẫu:
TH1: Phõn tớch tử chứa thừa số là mẫu:
Vớ dụ: Rỳt gọn: a,
b, c,
TH2: Nhõn thờm với căn ở mẫu
Vớ dụ: a, b, ( a > 0 )
TH3: Nhõn với biểu thức liờn hợp:
( Lưu ý HS: . Sau khi nhõn với biểu thức liờn hợp những số hạng ở mẫu nếu chứa căn thỡ mất căn, nếu khụng chứa căn thỡ phải bỡnh phương và mẫu luụn là hiệu)
Vớ dụ: a,
 b, 
 c, 
 d, 
RÚT GỌN BIỂU THỨC TỔNG QUÁT
Lưu ý HS một số cụng thức: Với a ≥ 0 thỡ:
a = ; 
Dạng 1: Phõn tớch tử thành tớch cú chứa nhõn tử là mẫu
Vớ dụ 1: Rỳt gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1;
VD2: Rỳt gọn: với a ≥ 0, a ≠ 1;
Dạng 2: Quy đồng mẫu nhưng cú một mẫu là mẫu chung
VD1: Cho M = với x > 0, x ≠ 1.
	a, Rỳt gọn M
	b, Tỡm x sao cho M ≤ 0
VD2: Cho biểu thức K = với x > 0, x ≠ 1
	a, Rỳt gọn
	b, Tớnh giỏ trị của K tại x = 
VD3: Cho P = với x ≥ 0, x ≠ 4
	a, Rỳt gọn P
	b, Tỡm x để P = 2
Dạng 3: Quy đồng mẫu với mẫu chung là tớch cỏc mẫu
VD1: Cho Q = với a > 0, a ≠ 1
	a, Rỳt gọn
	b, Tỡm x để Q ≥ -2
Dạng 4 : Dạng tổng hợp ( dành cho HS khỏ giỏi) ( GV lấy thờm cỏc vớ dụ)
VD: Cho P = với x > 0
	a, Rỳt gọn
	b, Tỡm x để P > 
CHUYấN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Giải hệ PT bằng phương phỏp cộng đại số
VD1: Giải cỏc hệ PT
a, b, 
VD2: Giải cỏc hệ PT: 
a, b, 
VD3: Giải cỏc hệ PT
a, b, 
Biện luận hệ PT
VD1: Cho hệ PT : 
Tỡm a, b để hệ đó cho cú nghiệm duy nhất (x;y) = (2; -1)
VD2: Cho hệ PT: 
a, Giải hệ với m =2
b, Chứng minh hệ cú nghiệm duy nhất với mọi m
III. Giải hệ PT bằng PP thế:
( Nếu cú thời gian cỏc đ/c tỡm thờm một số vớ dụ về cỏc hệ PT mà phải giải bằng PP thế)
CHUYấN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y = ax + b ( a ≠0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số:
Điểm cắt trục tung: x = 0; y = b (0 ; b)
Điểm cắt trục hoành: y = 0; x = - b/a ( - b/a ; 0 )
VD1: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x – 3 
VD2: Vẽ đồ thị hàm số : y = –x + 5
 ( Lưu ý HS: Nếu a > 0 thỡ đồ thị hàm số cú chiều đi lờn từ trỏi qua phải, nếu a < 0 thỡ đồ thị hàm số cú chiều đi xuống)
Dạng 2: Tỡm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến:
VD: Với giỏ trị nào của m thỡ hàm số y = ( m +2)x – 3 đồng biến trờn tập xỏc định.
Dạng 3: Tỡm số hạng chưa biết của hàm số:
Lưu ý HS: Cho hai hàm số y = ax + b và y = mx + n ( a, m ≠ 0). Đồ thị của hai hàm số
Cắt nhau khi a ≠ m ( Cắt nhau tại điểm trờn trục tung khi a ≠ m và b = n)
Song song với nhau khi a = m, b ≠ n
Trựng nhau khi a = m, b= n
 Đồ thị của hàm số y = ax + b song song với trục hoành khi a = 0, b ≠ 0.
VD1: Cho hàm số y = 3x + b. Tỡm b biết đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 1; -2)
VD2: Tỡm m để đường thẳng y = 2x -1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm trờn trục hoành?
VD3: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ẵ) và song song với đường thẳng 2x + y = 3 . Tỡm a và b ?
VD4: Biết đường thẳng y = ax + b điqua điểm P ( -1;2) và cắt đường thẳng y = 2x – 3
tại một điểm trờn trục tung. Tỡm a và b?
VD5: Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2; 3) và điểm B(-2; 1). Tỡm a và b?
VD6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d cú PT: y = (m -1 )x + n
	a, Với giỏ trị nào của m và n thỡ d song song với trục Ox
	b, Xỏc định phương trỡnh của d, biết d đi qua điểm A (1; -1) và cú hệ số gúc bằng -3
CHUYấN ĐỀ 4: GIẢI PHƯƠNG TRèNH ax2 + bx + c = 0
Chuyên đề 5: Phương trình bậc hai
Phần II. kiến thức cần nắm vững
1. Công thức nghiệm: 
 Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có D = b2- 4ac
+Nếu D < 0 thì phương trình vô nghiệm 
+Nếu D = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
+Nếu D > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 = 
2. Công thức nghiệm thu gọn: 
 Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có D’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu D’ < 0 thì phương trình vô nghiệm 
+Nếu D’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 
+Nếu D’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
 x1 = ; x2 = 
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét: 
 Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (aạ0)
 thì : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = 
b) ứng dụng: 
 +Hệ quả 1: 
 Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
+Hệ quả 2: 
 Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = 
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
 Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ³ 0)
Chú ý: 
 + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là D ≥ 0)
 + Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
Phần II. bài tập rèn luyện
I. Toán trắc nghiệm
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng 
a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m ạ 0) có D = .....
 Nếu D ..... thì phương trình vô nghiệm 
 Nếu D ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
 Nếu D ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
 x1 =..... ; x2 = .....
b) Phương trình px2+qx+k = 0 (p ạ 0) có D’= .....(với q = 2q’ )
 Nếu D’ ..... thì phương trình vô nghiệm 
 Nếu D’ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
 Nếu D’ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
 x1 =..... ; x2 = .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
 A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ạ 0)
 thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = 
 B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ạ 0)
 thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = 
 C. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
 D. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
 E. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = 
 F. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = 
 G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0
 H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
 A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 
 B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = 
 C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm làvà tích hai nghiệm là 
 D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là 
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
 Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai 
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a ạ 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: D ≥ 0)
II. Toán tự luận
 Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán 
Bài 1: Giải phương trình
 a) x2 - 49x - 50 = 0 
 b) (2-)x2 + 2x – 2 – = 0
Giải:
 a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
 (a = 1; b = - 49; c = 50)
 D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
 Do D > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 ; 
 + Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
 Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 
 Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
 + Lời giải 3: D = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
 Theo định lí Viet ta có : 
 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 
 b) Giải phương trình (2-)x2 + 2x – 2 – = 0
Giải:
 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
 (a = 2-; b = 2; c = – 2 –)
 D = (2)2- 4(2-)(– 2 –) = 16; = 4
 Do D > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 ; 
 + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn 
 (a = 2-; b’ = ; c = – 2 –)
 D’ = ()2- (2-)(– 2 –) = 4; = 2
 Do D’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
 ; 
 + Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet
 Do a + b + c = 2- + 2+ (- 2 - ) = 0 
 Nên phương trình có nghiệm:
 x1 = 1; x1 = 
*Yêu cầu:
 + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
 + áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
 + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x2 – 7x - 10 = 0 
2. x2 – 3x + 2 = 0 
3. x2 – 4x – 5 = 0 
4. 3x2 – 2x – 3 = 0
5. x2 – (1+)x + = 0
6.x2 – (1-)x – 1 = 0
7.(2+)x2 - 2x – 2 + = 0
8. x2 – – 6 = 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: D’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
 Vậy u = v = 21
*Bài tập tương tự: 
1. Tìm hai số u và v biết: 
 a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 
 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2
Bài 3: Giải các phương trình sau
 (phương trình quy về phương trình bậc hai)
 a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 
 b) 
	c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
	d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
 a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
 (1) Û (x2 - 2)(x + 3) = 0 Û (x + )(x - )(x + 3) = 0
 Û x = -; x = ; x = - 3 
 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -; x = ; x = - 3
 b) Giải phương trình (2)
 Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì 
 (2) Û 2x(x- 4) = x2 – x + 8 Û x2 – 7x – 8 = 0 (*)
 Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mãn ĐK)
 Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
 c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
 Ta có: (3) Û 5x4 – 3x2 – 26 = 0
 Đặt x2 = t (t ³ 0) thì (3) Û 5t2 – 3t – 26 = 0
 Xét D = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ị = 23
 Nên: t1 =(thoả mãn t ³ 0) ;
 t2 = (loại)
 Với t = Û x2 = Û x = 
 Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = ; x2 = 
 d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
 Đặt x2+x = t . Khi đó (4) Û 3t2 – 2t – 1 = 0
 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = 
 t1 = 1Û x2+x = 1Û x2 + x – 1 = 0 
 D1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 = ; x2 =
 t2 = Û x2+x = Û 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
 D2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm 
 Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = ; x2 =
* Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
6. 
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
8. 
9. 
Bài 4: Cho phương trình x2 + x - = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . 
 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
 A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
Giải
 Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
 x1 + x2 =; x1.x2 = 
 A = ; 
 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= 
C = ; 
 D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = 
* Bài tập tương tự: 
 Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . 
 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
 A = ; B = x12 + x22 ; C = ; D = x13 + x23
 E = ; F = 
 Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
 Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ạ 0) có: 
 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0
 2. Vô nghiệm Û D < 0
 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0
 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0
 5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0
 6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0
 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0
 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S 0
 9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0
 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1
 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn Û a.c < 0 và S < 0
 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
 Û a.c 0
(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
	D’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
 Nếu D’ 1 ị phương trình vô nghiệm
 Nếu D’= 0 Û 1- k = 0 Û k = 1 ị phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
 Nếu D’> 0 Û 1- k > 0 Û k < 1 ị phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1 = 1- ; x2 = 1+
 Kết luận: 
 Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
 Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
 Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+ 
Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
 a) Tìm m để (1) có nghiệm
 b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
 c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm) 
 + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) có nghiệm Û D’ = 3m-2 ³ 0 Û m ³ 
 + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ³ thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 Û m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 Û x = (là nghiệm)
 + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: D’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2
 (1) có nghiệm duy nhất Û D’ = 3m-2 = 0 Û m = (thoả mãn m ≠ 1)
 Khi đó x = 
 +Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 
 với m = thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
 (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 Û 4m – 3 = 0 Û m = 
 Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
 Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = 
 Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
 e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
 f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta có: D’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 
 Do với mọi m; ị D > 0 với mọi m
 ị Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
 Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu Û a.c -3 
 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đó phương trình có hai nghiệm âm Û S 0
 Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
 Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =2 -2= 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
 Theo bài A ³ 10 Û 4m2 – 6m ³ 0 Û 2m(2m-3) ³ 0 
 Vậy m ³ hoặc m Ê 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
 Theo định lí Viet ta có: 
 ị x1 + x2+2x1x2 = - 8 
 Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 Û x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) Û 
 Vậy ()
Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
 a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên
Giải
a) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 
 Vậy m = 2
b) Ta có D’ = 12 – (m-1) = 2 – m
 Phương trình có nghiệm Û D ³ 0 Û 2 – m ³ 0 Û m Ê 2 (*)
 Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
 Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 Từ (1) và (3) ta có: 
 Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 Û m = - 34 (thoả mãn (*))
 Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m Ê 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm 
 Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
 Khi đó: (m≠1)
 (m≠1)
 ị y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - .y + = 0 (m≠1)
 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu: 
 + HS nắm vững phương pháp
 + HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
 + Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác
* Bài tập tương tự: 
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
 a) Định m để phương trình có nghiệm kép. 
 Tính nghiệm kép này
 b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
 a) Định m để phương trình có nghiệm.
 b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
 a) Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm 
 khi m thay đổi
 b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
 b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
	a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9
	b) Tìm m sao cho A=27
 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
 nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
 a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
 b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
 c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: 
 y1 + y2 = x1 + x2 và 
7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn : > 7
8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
 a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
 b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
 * Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
 * Tìm m sao cho 
Bài 174
 Cho phương trình có ẩn số x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0
 1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
 2) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình 
 thoả mãn điều kiện x12+x22 10.
Bài 175
 Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
 1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
 2) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
	a) Chứng minh A= 8m2 – 18m + 9
	b) Tìm m sao cho A=27
 3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
 nghiệm kia
Bài 176
 Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
 a) Định m để phương trình có nghiệm kép. 
 Tính nghiệm kép này
 b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 177
 Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
 a) Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm 
 khi m thay đổi
 b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
 1 < x1 < x2 <6
Bài 178
 Cho hai phương trình: 	x2 + x + a = 0 (1)
	x2 + ax2 + 1 = 0 (2)
 Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
 a) Tương đương với nhau.
 b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
 a) Chứng minh rằng đẳng thức:
	(m2 + m + 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
 b) Cho phương trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm 
 phân biệt khác -1
Bài 180
 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: 	x2 + px + 1 = 0
 Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình: 	y2 + qy + 1 = 0
 Chứng minh hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2
Bài 181
 Giả sử a và b là hai nghiệm của phương trình x2+px+1 = 0
 Giả sử c và d là hai nghiệm của phương trình x2+qx+1 = 0
 Chứng minh hệ thức: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2
Bài 182
 Cho phương trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0
 1) Chứng minh rằng, phương trình có nghiệm với mọi m.
 2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
 Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
 a) Định m để phương trình có nghiệm.
 b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
Bài 184
 Cho phương trình : x2 – 2mx + m + 2 = 0
 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm
 b) Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E=theo m 
Bài 185
 Cho phương trình : 3x2 – mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2
Bài 186
 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x - m = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m.
 b) Với m 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn:
Bài 187
 Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x12 – x22 = 5/9
Bài 188
 Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
 a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
 b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
 c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài 189
 Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
 c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn: y1 + y2 = x1 + x2, 
Bài 190
 Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn : > 7
Bài 191
 Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
 a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2
 b) Chứng minh rằng các nghiệm x1, x2 thoả mãn: 
Bài 192
 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0)
 Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2
Bài 193
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bc + c = 0 (a 0). 
 Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2ac
Bài 194
 Chứng minh rằng phương trình :
 (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c.
Bài 195
 Co hai phương trình :	x2 + mx + 2 = 0 (1)
	X2 + 2x + m = 0 (2)
 a) Định m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung
 b) Định m để 2 phương trình tương đương
 c) Xác định m để phương trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 196
 Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai: (2a + 1)x2 – (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
 (b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
 Có hai nghiệm chung
Bài 197
 Với giá trị nào của tham số k thì hai phương trình sau có nghiệm chung :	 2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0
 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Bài 198
 Với giá trị nào của số nguyên p , các phương trình sau đây có nghiệm chung 3x2 - 4x + p – 2 = 0
 x2 – 2px + 5 = 0
Bài 199
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỷ, a 0, có một nghiệm là 1 + . 
 Hãy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
 Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: 
 kx2 – ( 1-2k) + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 201
 Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0
xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 
Bài 202
 Cho biết phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm là a và b,phương trình: x2 + qx + 2 = 0 có hai nghiệm là b và c
chứng minh hệ thức : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bài 203
 Cho các phương trình :	x2 - 5x + k = 0 (1)
	x2 - 7x + 2k = 0 (2)
 Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 một trong các nghiệm của phương trình (1)
Bài 204
 Cho các phương trình : 	2x2 + mx – 1 = 0 (1)
	mx2 - x + 2 = 0 (2)
 Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung
Bài 205
 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: 
 3x2 - cx +2c - 1 = 0. 
 Tính theo c giá trị của biểu thức: S = 
Bài 206
 Xác định a để hai phương trình sau có nghiệm chung : 
x2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0	
Bài 207
 Tìm tất cả các số nguyên k để các phương trình bậc hai:
2x2 + (3k – 1)x – 3 = 0
6x2 – (2k – 3)x – 1 = 0
 a) Có nghiệm chung
 b) Tương đương với nhau
Bài 208
 Cho phương trình bậc hai: 2x2 + 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 
Bài 209
 Cho biết x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0, a,b,c R). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là : 
Bài 210
 Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 . Hãy việt phương trình bậc hai nhân x13 và x23 làm hai nghiệm
Bài 211
 Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + 1 
 a) CMR: phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2
Bài 212
 Cho phương trình : x2 -2(m + 1)x + m2 + m - 6 = 0
 a) Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm
 b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
Bài 213
 CMR: phương trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 
 Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 214
 Cho phương trình bậc hai: x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x12 + x22 = 72
Bài 215
 Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai phương trình: x2 + ax + 2b = 0 (1)
 x2 + bx + 2a = 0 (2)
 Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1) và (2) là nghiệm chung của phương trình : x2 + 2x + ab = 0
Bài 216
 Cho hai phương trình : x2 + ax + 2b = 0 (1)
 x2 + bx + ac = 0 (2)
( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
 Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. Chứng minh rằng hai nghiệm còn lại của phương trình (1) và (2) là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0
Bài 217
 Cho phương trình: x2 – (m – 1)x – m2 + m - 2 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m
 b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 218
 Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1)
 x2 + a2x + b2 = 0 (2)
 Cho biết a1a2 2(b1 + b2). Chứng minh một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 219p
 Cho ba phương trình: ax2 + 2bx + c = 0 (1)
 bx2 + 2cx + a = 0 (2)
 cx2 + 2ax + b = 0 (3)
 với a,b,c ≠ 0. Chứng minh rằng, ít nhất một trong ba phương trình trên đây phải có nghiệm
Bài 220
 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0
 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm pân biệt x1, x2 thoả mãn: 
 b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
Bài 221
 Cho phương trình: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0
 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức : x12 + x22 = x1 + x2
 b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
 c) Viết một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
 x1 = , x2 = 
Bài 222:
 Cho phương trình: x2 + (m+1) + m = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
 b) Xác định m để biểu thức: E = x12+x22 đạt giá trị bé nhất.
Bài 223
 Cho phương trình; (a – 3)x2 – 2(a – 1)x a – 5 = 0
 a) giải phương trình khi a =13
 b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Bài 224
 Cho phương trình bậc hai: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luông luôn có nghiệm với mọi m
 b)Tìm m để phương trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó
 c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân x1, x2 thoả mãn: -1 < x1 < x2 <1
d) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2, hãy lập một hệ thức giữa x1 và x2 không có m.
Bài 225
 Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x m + 3 = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
 b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 226
 Cho phương trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 – x2 = 5 và x13 + x23 = 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
 Giả sử phương trình x2 + ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai nghiệm phân biệt trong đó đúng một nghiệm dương x1 thì phương trình bậc hai: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó có t1 > 0 thoả mãn: x1 + t1 2
Bài 228
 Cho 2 phương trình : 	ax2 + bx + c = 0 (1)
	cx2 + bx + a = 0 (2)
 (a, b, c ạ 0 ). Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm tương đương x1, x2 thì (2) cũng có hai 2 nghiệm tương đương x3, x4. 
 Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 4
Bài 229
 Không giải phương trình: 3x2 + 17x – 14 = 0 (1)
 Hãy tính giá trị của biểu thức: S= 
 Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Bài 230
 a) Không giải phương trình, hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình 
 X2 - 
b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phương trình: ax2 + (2a – 1)x + a – 2 = 0 là các số hữu tỷ?
Bài 231
 Cho phương trình: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0
a) Giải phương trình khi m =9
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.
Bài 232
 Cho phương trình bậc hai: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm a và b
Bài 233
 Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1)
 a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình đó
 b) Xác định m để m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương
 c) Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1x2 lập một hệ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 thoả mãn hệ thức:
Hãy tính giá trị của biểu thức: E = 
Bài 235
 Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình